Lez. 6 Corso di Elementi di Fisica UniMC Prof. M. Bellesi LEZIONE 6 I FLUIDI -Pressione e pressione atmosferica - Principio di Pascal -Legge di Stevin

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1 Lez. 6 Corso di Elementi di Fisica UniMC Prof. M. Bellesi LEZIONE 6 I FLUIDI -Pressione e pressione atmosferica - Principio di Pascal -Legge di Stevin(o) -Legge di Archimede - Applicazioni

2 CHI SONO I FLUIDI? Con questo termine si indicano in generale liquidi e gas. Tra questi due stati della materia c è un enorme differenza, ma per quello che servirà ai nostri scopi il comportamento è abbastanza simile. Per noi l unica differenza importante è il fatto che un liquido si considera praticamente INCOMPRIMIBILE, mentre un gas può essere compresso, riducendo anche di molto il suo volume iniziale.

3 DEFINIZIONE DI PRESSIONE La pressione è definita come il rapporto P = Forza / superficie E importante NON confondere la pressione con la forza! L unità di misura di P è il Newton/m 2, che prende il nome di Pascal (Pa), in onore al matematico, fisico e e filosofo Blaise Pascal ( )

4 Un primo esempio del significato di pressione Consideriamo un uomo (M = 90 kg) e una donna (m = 50 kg), con misure di scarpa rispettivamente 44 e 36 (col tacco!). Il rapporto tra i loro pesi è Mg/mg = (90 9,8) / (50 9,8) = 1,8 Con le misure di scarpa fornite le superfici di appoggio sono circa S ~ 450 cm 2 e s ~ 160 cm 2 (da convertire in m 2!). Il secondo valore Le pressioni esercitate sul terreno sono allora P = Mg/S = Pa e p = mg/s = Pa

5 L esempio precedente spiega perché le scarpe di una donna - col tacco affondino nel terreno morbido (fango, cemento fresco) più facilmente di quelle di un uomo che pesa quasi il doppio. La definizione data per la pressione porta inoltre a comprendere perché, per esempio, un ago di siringa penetri facilmente nella pelle e un bastoncino no, anche se spinto con forza molto maggiore.

6 LA BOTTE DI PASCAL Si tratta di un esperimento realizzato da Pascal, che riuscì a rompere una botte semplicemente con l aiuto di un imbuto lungo e sottile. La quantità di acqua aggiunta è trascurabile ma la sua pressione NO!

7 L esperimento precedente è realizzabile anche con una bottiglia (DI PLASTICA!), riempita fino all orlo e chiusa con un tappo di sughero che poi viene spinto in basso con un colpo di martello.

8 LEGGE DI STEVIN(O) Anche se la quantità di liquido nei recipienti (che raggiunge la stessa altezza h) è diversa, la pressione alla base è SEMPRE la stessa. In ogni caso conta infatti la colonna di liquido che si trova direttamente sopra la base.

9 LEGGE DI STEVIN(O) 1 2 Considerando le due colonne 1,2 di fluido in figura e indicando con m, V e S le rispettive masse, volumi e superfici, dalla definizione di pressione = peso/superficie ricaviamo (δ è la densità del fluido): p 1 = m 1 g / S 1 = δ V 1 g / S 1 = δ S 1 h g / S 1 = δ h g p 2 = m 2 g / S 2 = δ V 2 g / S 2 = δ S 2 h g / S 2 = δ h g Si può dimostrare che il risultato è generale: la pressione sul fondo NON dipende dalla forma del recipiente, ma solo dall altezza del livello, dall accelerazione di gravità e dalla densità del fluido p = δ g h

10 DA STEVINO AD ARCHIMEDE 1 La dimostrazione che segue NON rispetta lo sviluppo storico della disciplina (Archimede precede Stevino di 17 secoli). Consideriamo un fluido a riposo in un recipiente, e un cubetto d acqua (di lato L) in mezzo a esso. Notiamo che esso è in equilibrio in mezzo al fluido: sul cubetto agisce il suo stesso peso, ma esso non affonda! Deve quindi esistere una forza che contrasta la gravità, ed essa è fornita dalla legge di Stevino. La pressione sulla parte inferiore del cubetto (a profondità h) è p inf = p atm + δ g h, mentre quella sulla parte superiore (a profondità h L) sarà p sup = p atm + δ g (h L).

11 DA STEVINO AD ARCHIMEDE 2 Poiché la pressione è p = F/S, ciò implica che la forza è F = p S. Nel nostro caso è S = L 2, e il cubetto è sottoposto a due forze, una che spinge sulla faccia inferiore verso l alto: p inf = p atm + δ g h, e una sulla faccia superiore, verso il basso: p sup = p atm + δ g (h L). La forza risultante è dunque F = p inf S p sup S = = (p inf p sup ) L 2 = [p atm + δ g h p atm δ g (h L)] L 2 = δ g L 3, che è diretta verso l alto e fisicamente rappresenta il peso di un volume di fluido pari a quello del cubetto.

12 DA STEVINO AD ARCHIMEDE 3 Quanto visto ci permette di esprimere la legge di Archimede nella sua forma «letteraria», quella meglio conosciuta: «UN CORPO IMMERSO IN UN FLUIDO RICEVE UNA SPINTA DAL BASSO VERSO L ALTO, PARI AL PESO DEL VOLUME DI FLUIDO SPOSTATO»

13 DA STEVINO AD ARCHIMEDE 4 Finché c è solo il fluido non succede altro; le cose cambiano quando il nostro cubetto è un oggetto reale con densità δ o diversa da quella del fluido in cui si trova immerso. È immediato dedurre che per δ o > δ la spinta di Archimede non riesce a equilibrare il peso dell oggetto, che pertanto affonda. Per δ o < δ invece la spinta prevale sul peso e l oggetto sale verso l alto. A un certo punto, però, esso emerge in superficie: la diminuzione del volume immerso abbassa a sua volta la spinta di Archimede. Il sistema si assesta in modo da compensare esattamente la spinta e il peso.

14 APPLICAZIONI Lez. 6 Corso di Elementi di Fisica UniMC Prof. M. Bellesi 1) Il fondo dello scafo di una nave si trova a 5 m di profondità sotto il livello del mare (densità dell acqua di mare: 1030 kg/m 3 ). Se si produce nello scafo una falla di 50 cm 2 quanta forza occorre esercitare per richiuderla? La pressione sull esterno dello scafo a h = 5 m di profondità è p 0 + δ H2 O g h, dove la pressione atmosferica p 0 vale circa Pa. La pressione all interno è invece solo quella atmosferica p 0. La forza esercitata sulla falla è allora F = Δp S = (p 0 + δ H2 O g h - p 0 ) S = δ H2 O g h S =1030 9, = 252,35 N, una forza non trascurabile (corrisponde al peso di circa 25 kg)

15 APPLICAZIONI Lez. 6 Corso di Elementi di Fisica UniMC Prof. M. Bellesi 2) Un tubo a U contiene in un ramo acqua dolce (δ H2 O = 1000 kg/m 3 ) e nell altro mercurio (δ Hg = kg/m 3 ).I due liquidi non si mescolano tra loro e le estremità del tubo sono aperte. Se l altezza del mercurio nel tubo è 2,5 cm, quale sarà l altezza raggiunta dall acqua nell altro ramo? Prendendo come punto di partenza per le misure il punto A dove i liquidi si trovano a contatto, osserviamo che le Estremità aperte del tubo garantiscono che la superficie dei liquidi si trova alla pressione atmosferica p 0. Siamo in una situazione di equilibrio, quindi la pressione esercitata dall acqua e dal mercurio su A devono essere uguali (altrimenti i fluidi si muoverebbero). Applicando Stevino si ha δ H2 O g h H2 O = δ Hg g h Hg, da cui ricaviamo: g hhg 0,025 h H2O = = = 0,34 m = 34 cm H O 2

16 APPLICAZIONI Lez. 6 Corso di Elementi di Fisica UniMC Prof. M. Bellesi 3) Un cubo di legno (δ L = 700 kg/m 3 ), avente spigolo l = 15 cm, galleggia in una vasca riempita con acqua dolce (δ H2 O = 1000 kg/m 3 ). Di quanti cm sporge fuori dall acqua? Il cubo galleggia perché la densità del legno è minore di quella dell acqua; si può allora scrivere che il peso del cubo è controbilanciato dalla spinta di Archimede sulla sua parte immersa. Il peso è mg = δ L Vg =δ L l 3 g, dove V= l 3 è il volume, mentre la spinta è δ H2 O V imm g (il peso della massa di acqua spostata, che ha volume V imm = l 2 (l- x)). Pertanto δ L l 3 g = δ H2 O l 2 (l- x) g, e semplificando sia g sia l 2 troviamo L l L l- x = x = l 1- = H2O H2O 0,045 m = 4,5 cm

17 APPLICAZIONI Lez. 6 Corso di Elementi di Fisica UniMC Prof. M. Bellesi 4) Sullo stesso cubo dell esercizio precedente si appoggia una massa M, e si vede che il cubo emerge di soli 3 cm fuori dall acqua. Trovare il valore di M. Rispetto al caso precedente si è aggiunto il peso extra della massa M, che quindi richiede una spinta di Archimede maggiore il cubo deve affondare di più: Mg + δ L l 3 g = δ H2 O l 2 (l- x )g (x = 0,03 m). Questa volta si può semplificare solo g, e ricaviamo allora: M = δ H2 O l 2 (l- x )-δ L l 3 = ,15 2 (0,15-0,03) -7 0,15 3 = 0,3375 kg A rigore si dovrebbe considerare che anche l aria esercita una spinta di Archimede sulla parte emersa del cubo; poiché però la densità dell aria è 773 volte più bassa di quella dell acqua tale contributo è quasi sempre trascurabile (salvo il caso in cui l esercizio non richieda espressamente di includerlo nel calcolo)

18 APPLICAZIONI Lez. 6 Corso di Elementi di Fisica UniMC Prof. M. Bellesi 5) Un corpo immerso nell acqua di mare (δ H2 O = 1030 kg/m 3 ) perde il 35% del proprio peso. Qual è la sua densità? A rigore, il peso del corpo rimane sempre lo stesso e quindi l affermazione precedente è un po impropria. In realtà è la spinta di Archimede che si oppone al peso, ma questa volta non è abbastanza forte da permettere al corpo di galleggiare: esso affonda perché ha densità maggiore dell acqua (e la spinta agirà allora su tutto il suo volume). Il testo va dunque interpretato così: la spinta di Archimede è solo il 35% del peso del corpo. Pertanto, indicata con δ la densità del corpo e V il suo volume, = 2943 kg/m 0,35 2 δ H2 O V g = 0,35 δv g H O 3