STRUMENTI MATEMATICI PER L ANALISI DEI SISTEMI DISCRETI

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1 INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica STRUMENTI MATEMATICI PER L ANALISI L DEI SISTEMI DISCRETI Ing. Cristian Secchi Tel secchi.cristian@unimore.it Richiami di Controlli Automatici Il comportamento ingresso-uscita dei sistemi a tempo continuo può essere descritto da equazioni differenziali, che in generale hanno la forma: Molti sistemi di interesse possono essere descritti da equazioni differenziali lineari a parametri concentrati caratterizzate dalla seguente forma semplificata. I sistemi descritti da queste equazioni sono detti sistemi Lineari Tempo Invarianti (LTI). Se il sistema che si sta modellando è caratterizzato da un solo ingresso e una sola uscita, si parlerà di sistemi single input single output (SISO). Cristian Secchi Introduzione -- 2 Cristian Secchi Pag. 1

2 Richiami di Controlli Automatici Nel corso di Controlli Automatici sono stati trattati sistemi LTI SISO. E possibile passare da una rappresentazione nel dominio dei tempi a una nel dominio complesso e viceversa tramite le operazioni di Trasformata e Antitrasformata di Laplace. Il vantaggio principale nel passare al dominio complesso è che un equazione differenziale viene trasformata in un equazione algebrica più semplice da gestire. Cristian Secchi Introduzione -- 3 Richiami di Controlli Automatici Un sistema LTI-SISO può essere descritto nel dominio complesso tramite una Funzione di Trasferimento. La rappresentazione mediante funzione di trasferimento è molto comoda e ha consentito di sviluppare un analisi approfondita del comportamento del sistema, un analisi delle specifiche e svariate tecniche per il progetto di controllori. Cristian Secchi Introduzione -- 4 Cristian Secchi Pag. 2

3 Richiami di Controlli Automatici Lo schema di controllo finale è: r(t) e(t) u(t) G c (s) G p (s) y(t) - Sia il plant che il controllore sono rappresentati da funzioni di trasferimento e, quindi, sono sistemi a tempo continuo. Ma l azione di controllo deve essere implementata su un calcolatore che è un sistema a tempo discreto Occorre sviluppare un framework per la modellazione dei sistemi discreti in modo da poter costruire un azione di controllo che sia implementabile su di un sistema a microprocessore. Cristian Secchi Introduzione -- 5 Descrizione di Sistemi a tempo discreto SISTEMI TEMPO-CONTINUI Equazioni differenziali A/D SISTEMI TEMPO-DISCRETI Equazioni alle differenze Trasformata di Laplace D/A Trasformata Z Cristian Secchi Introduzione -- 6 Cristian Secchi Pag. 3

4 Equazioni alle differenze Si supponga di voler elaborare una sequenza di dati discreti e k =e(kt), con k=1,2,, per ottenere una sequenza u k =u(kt). Elaborazione In generale: Se la funzione f( ) è lineare e dipendente solo da un valore finito di valori passati di u k ed e k, l elaborazione può essere rappresentata da: equazione lineare alle differenze di ordine n Cristian Secchi Introduzione -- 7 Equazioni alle differenze Il termine equazione alle differenze deriva dal fatto che si può riscrivere l equazione usando le differenze così definite: Cristian Secchi Introduzione -- 8 Cristian Secchi Pag. 4

5 Equazioni alle differenze - Esempio Uscita attuale campione precedente 2 campioni precedenti ingresso attuale Il valore a pedice di u indica l istante a cui il valore u k è riferito Ponendo: Cristian Secchi Introduzione -- 9 Soluzione delle equazioni alle differenze Trovare la soluzione delle equazioni alle differenze è semplice. Basta conoscere le condizioni iniziali. Si consideri ad esempio: Condizioni iniziali: Cristian Secchi Introduzione Cristian Secchi Pag. 5

6 Soluzione delle equazioni alle differenze Nel caso generale, si ipotizza che la sequenza soluzione sia nella forma: Sostituendo la soluzione candidata nell equazione si ottiene: Dividendo per cz k si ottiene Poiché l equazione è lineare, si ha che la combinazione lineare di due soluzioni è ancora una soluzione. Quindi è ancora una soluzione Cristian Secchi Introduzione Soluzione delle equazioni alle differenze Le costanti c 1 e c 2 si determinano imponendo specifiche condizioni iniziali. da cui Cristian Secchi Introduzione Cristian Secchi Pag. 6

7 Soluzione delle equazioni alle differenze L equazione che si ottiene dopo la sostituzione u k =z k è detta equazione caratteristica dell equazione alle differenze. Se una delle radici dell equazione caratteristica ha modulo maggiore di 1, allora la corrispondente equazione alle differenze è instabile (cioè la sua soluzione divergerà al crescere del tempo per qualsiasi condizione iniziale finita). Se tutte le radici dell equazione caratteristica hanno modulo minore di 1, allora la corrispondente equazione alle differenze è stabile (cioè la sua soluzione convergerà a 0 al crescere del tempo per qualsiasi condizione iniziale finita). stabile 1 instabile Cristian Secchi Introduzione Equazione caratteristica L equazione caratteristica (associata all equazione) è data da L equazione alle differenze è instabile. Infatti la soluzione è divergente Cristian Secchi Introduzione Cristian Secchi Pag. 7

8 La trasformata Z La trasformata Z è un metodo utilizzato per studiare i sistemi discreti. Essa rappresenta essenzialmente l'analogo della trasformata di Laplace per i sistemi continui. DEFINIZIONE: Sia data una sequenza di valori x k R, definita per k = 0, 1, 2, e nulla per k < 0. La Z-trasformata (unilatera) della sequenza x k è la funzione di variabile complessa z definita come: La Z-trasformata è definita in una regione del piano complesso z detta dominio di convergenza, cioè nell'insieme dei punti z per i quali la serie converge. Cristian Secchi Introduzione La trasformata Zeta Nel caso in cui la sequenza di valori x k sia ottenuta campionando uniformemente con periodo T un segnale continuo descritto dalla funzione x(t), t 0, si avrà che x k = x(kt) (o più semplicemente x k = x(k), k = t/t = 0, 1, 2, ) e corrispondentemente si scriverà DIPENDE DAL PERIODO (T) DI CAMPIONAMENTO Cristian Secchi Introduzione Cristian Secchi Pag. 8

9 Nei casi di interesse ingegneristico, X(z) ha una espressione razionale fratta p 1, p 2,, p n sono i poli di X(z) mentre z 1,z 2,,z m sono gli zeri di X(z) Cristian Secchi Introduzione Raccogliendo z n sia al numeratore che al denominatore si ottiene una rappresentazione più utilizzata nelle applicazioni controllistiche in cui compaiono solo potenze di z -1 : Il termine z -k è interpretabile come un ritardo z -k ritardo di t = kt Cristian Secchi Introduzione Cristian Secchi Pag. 9

10 Funzioni elementari Impulso discreto unitario. Sia data la funzione, detta anche funzione delta di Kronecker δ 0 (t): Gradino unitario. Sia data la funzione Serie convergente per z > 1 Cristian Secchi Introduzione Funzioni elementari Rampa unitaria. Si consideri la funzione rampa unitaria: Poichè x(kt) = kt, k = 0, 1, 2,, la Z-trasformata è Serie convergente per z > 1 Cristian Secchi Introduzione Cristian Secchi Pag. 10

11 Funzioni elementari Funzione potenza a k. Sia data la funzione: a costante reale o complessa Dalla definizione si ha Serie convergente per z > a Cristian Secchi Introduzione Funzioni elementari Funzione esponenziale. Sia data la funzione: a costante reale o complessa Poichè x(kt) = e -akt, k = 0, 1, 2,, si ha Convergente per z > e -Re(a)T Cristian Secchi Introduzione Cristian Secchi Pag. 11

12 Funzioni elementari Funzione sinusoidale. Sia data la funzione: Dalle formule di Eulero: Convergente per z > 1 Cristian Secchi Introduzione Funzioni elementari Funzione cosinusoidale. Sia data la funzione: Analogamente a prima, con le formule di Eulero Convergente per z > 1 Cristian Secchi Introduzione Cristian Secchi Pag. 12

13 Le trasformate delle funzioni di maggior interesse sono solitamente riportate in tabelle che vengono consultate per la determinazione di Z- trasformate di funzione generiche, in modo analogo a quanto avviene per le tabelle delle trasformate di Laplace. Tramite le tabelle si possono determinare le Z-trasformate di funzioni di maggior complessità, scomponendo tali funzioni in somme di funzioni più semplici e ricomponendo successivamente le corrispondenti Z-trasformate. Esempio: Determinare la Z-trasformata di Cristian Secchi Introduzione Tabelle delle Z-Trasformate Cristian Secchi Introduzione Cristian Secchi Pag. 13

14 Tabelle delle Z-Trasformate Cristian Secchi Introduzione Dato un segnale x(t) e il periodo di campionamento T, si ottiene una unica X(z) A una X(z) possono corrispondere molte funzioni continue x(t) Questa ambiguità non sussiste se sono verificate le condizioni restrittive su T del teorema di Shannon y0, y1 1 x x x x x x t (s) Cristian Secchi Introduzione Cristian Secchi Pag. 14

15 Teoremi e proprietà Linearità: La Z trasformata è un operatore lineare Moltiplicazione per a k : Siano X(z) la Z-trasformata di x(t) e a una costante. La Z-trasformata di a k x(k) è data da X(a -1 z): Cristian Secchi Introduzione Teoremi e proprietà Teorema della traslazione nel tempo: Sia dato un segnale x(t), nullo per t<0, e sia X(z) = Z[x(t)]. Per n = 0, 1, 2, si ha che: ritardo anticipo In pratica spesso si scrive, con un certo abuso di notazione: Cristian Secchi Introduzione Cristian Secchi Pag. 15

16 Teoremi e proprietà Teorema del valore iniziale: Se X(z) = Z[x(t)] ed esiste allora il valore iniziale x(0) di x(t) è dato da: Infatti si ha che: Cristian Secchi Introduzione Teoremi e proprietà Teorema del valore finale: Sia X(z) = Z[x(t)] e siano tutti i poli di X(z) entro al cerchio unitario, con al più un polo semplice in z =1. Allora il valore finale di x(k), cioè il valore di x(k) per k è dato da: Cristian Secchi Introduzione Cristian Secchi Pag. 16

17 Teoremi e proprietà Esempio: Si consideri il segnale descritto da X(kT) = 0, , , , , , , , , , , , , , , , , ,. (T = 1 sec) Cristian Secchi Introduzione Teoremi e proprietà Differenziazione complessa Da cui si deduce che: Questa relazione permette di calcolare Z-trasformate di funzioni a partire da Z-trasformate già note. Cristian Secchi Introduzione Cristian Secchi Pag. 17

18 Teoremi e proprietà Esempio: Gradino unitario. La Z-trasformata del gradino unitario è Si può usare il teorema della differenziazione complessa per calcolare la Z-trasformata della rampa unitaria x(kt) = kt: Cristian Secchi Introduzione Teoremi e proprietà Integrazione complessa: Si consideri la sequenza dove x(k)/k è finito per k=0 e sia Z[x(k)]=X(z). La Z-trasformata di x(k)/k è data da: Cristian Secchi Introduzione Cristian Secchi Pag. 18

19 Teoremi e proprietà Trasformazione di funzioni periodiche Sia data una successione x p (k) periodica di periodo pt e sia x(k) la successione dei campioni relativi al primo periodo e nulla per k>p Se X(z) è la Z-trasformata di x(k), allora: Cristian Secchi Introduzione Teoremi e proprietà Teorema della convoluzione reale: Siano date due funzioni x 1 (t) e x 2 (t), con x 1 (t) = x 2 (t) = 0 per t< 0, e siano X 1 (z) e X 2 (z) le corrispondenti Z-trasformate. Allora: Cristian Secchi Introduzione Cristian Secchi Pag. 19

20 La antitrasformata Z X(z) x(k) La relazione tra X(z) e x(k) è biunivoca: è possibile ottenere la sequenza di dati x(k) a partire dalla X(z) e viceversa. L antitrasformata Z permette di passare da una Z-trasformata X(z) alla corrispondente sequenza x(k). Esistono diversi metodi per antitrasformare una funzione X(z) Metodo della lunga divisione Metodo computazionale Metodo della scomposizione in fratti semplici Metodo dell integrale di inversione Cristian Secchi Introduzione La antitrasformata Z x(k) x(t) La corrispondenza tra la sequenza campionata x k e il segnale originale x(t) NON è biunivoca. Se è soddisfatto il Teorema di Shannon sul campionamento, la funzione continua x(t) può essere determinata univocamente a partire dalla sequenza x k y0, y x x x x x x t (s) Cristian Secchi Introduzione Cristian Secchi Pag. 20

21 La antitrasformata Z lunga divisione Con questa tecnica si espande la X(z) in una serie di potenze in z-1. Il metodo viene applicato quando non si riescono a trovare espressioni in forma chiusa per x(k) e nel caso in cui si sia interessati a ricavare solo un numero finito di termini di x(k). Si divide per il polinomio a denominatore con la regola di Euclide da cui, ricordando la definizione di Z-trasformata, si ricava che Cristian Secchi Introduzione La antitrasformata Z lunga divisione Esempio: Cristian Secchi Introduzione Cristian Secchi Pag. 21

22 La antitrasformata Z lunga divisione Questa tecnica è poco usata perché raramente consente di ricavare l espressione del generico termine k-esimo della succesione x(kt). Non consente cioè di ricavare in forma chiusa l espressione del k-esimo termine e, quindi, solitamente si calcolano solo un numero finito, relativamente piccolo, di termini x(kt). Cristian Secchi Introduzione La antitrasformata Z Il metodo computazionale Si consideri ad esempio la seguente Z trasformata: Essa può essere riscritta come: Dove U(z) è la Z-trasformata dell impulso unitario discreto e vale 1 Cristian Secchi Introduzione Cristian Secchi Pag. 22

23 La antitrasformata Z Il metodo computazionale Considerando l operatore z -1 come un ritardo unitario possiamo riscrivere l espressione precedente sotto forma di equazione alle differenze: da cui Le condizioni iniziali, necessarie per risolvere l equazione alle differenze, sono: Cristian Secchi Introduzione La antitrasformata Z Il metodo computazionale La soluzione dell equazione alle differenze ci dà i termini della sequenza x(kt) Si ottengono gli stessi risultati numerici ottenuti con il metodo della lunga divisione. Il vantaggio di questo metodo è che l equazione alle differenze da risolvere per trovare la sequenze può essere facilmente scritta in forma ricorsiva in qualsiasi linguaggio di programmazione. Cristian Secchi Introduzione Cristian Secchi Pag. 23

24 La antitrasformata Z fratti semplici E l analogo nel discreto della tecnica della scomposizione in fratti semplici utilizzate con le trasformate di Laplace. Infatti, poichè la Z-trasformata è un operatore lineare, è possibile scomporre l'espressione di una X(z) in termini elementari, dai quali si può ricavare l'antitrasformata tramite tabelle, e sommare i vari elementi così ottenuti. In gerale, sia data una Z-trasformata: Per prima cosa occorre calcolare i poli, le radici del polinomio A(z) e riscrivere X(z) come: Cristian Secchi Introduzione La antitrasformata Z fratti semplici CASO 1: Tutti i poli di X(z) sono semplici In questo caso si pone: dove i coefficienti c i sono detti residui e sono dati da: Cristian Secchi Introduzione Cristian Secchi Pag. 24

25 La antitrasformata Z fratti semplici Se in X(z) vi è almeno uno zero nell origine, si usa X(z)/z: Quando sono presenti poli complessi coniugati, i coefficienti c i sono anch'essi complessi. In questo caso si ricorre alle formule di Eulero per ottenere funzioni trigonometriche a coefficienti reali. L espressione della sequenza x(k) è in forma chiusa ed è data da: Cristian Secchi Introduzione La antitrasformata Z fratti semplici CASO 2 Vi sono poli multipli in X(z) o in X(z)/z Siamo nella situazione in cui si ha: Possiamo scrivere Dove i residui si calcolano mediante la seguente formula: Cristian Secchi Introduzione Cristian Secchi Pag. 25

26 La antitrasformata Z fratti semplici Esempio: Calcolare l'antitrasformata della funzione I due poli risultano z 1 = 1 e z 2 = 0.6. Inoltre, la X(z) puo` essere scritta come Si utilizza quindi la X(z)/z da cui Dalle tabelle si ha quindi che Cristian Secchi Introduzione La antitrasformata Z fratti semplici Esempio: Antitrasformare la funzione Si ha che e quindi e Cristian Secchi Introduzione Cristian Secchi Pag. 26

27 INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica STRUMENTI MATEMATICI PER L ANALISI L DEI SISTEMI DISCRETI Ing. Cristian Secchi Tel secchi.cristian@unimore.it Cristian Secchi Pag. 27