Soluzione degli esercizi dello scritto di Meccanica del 17/06/2019

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1 Soluzione degli esercizi dello scritto di Meccanica del 17/06/2019 Esercizio 1 Un corpo rigido è formato da un asta di lunghezza L = 2 m e massa trascurabile, ai cui estremi sono fissati due corpi puntiformi, entrambi di massa M = 0.5 kg. Il corpo rigido è fermo e appoggiato senza vincoli su un piano orizzontale privo di attrito. Un corpo di massa 2M e dimensioni trascurabili viene lanciato sul piano orizzontale con velocità v 0 = v 0 û y, con v 0 = 9m/s, perpendicolare all asta come in figura. Il corpo urta il corpo rigido ad uno dei suoi estremi, rimanendovi attaccato. Determinare: a) La posizione r CM e la velocità v CM del centro di massa del sistema un istante dopo l urto. b) La velocità angolare ω del sistema un istante dopo l urto. c) L energia cinetica K tot totale del sistema un istante dopo l urto. Si tratta di un urto completamente anelastico non vincolato. Si conservano quindi la quantità di moto del sistema e il momento angolare. É conveniente descrivere il moto del sistema dopo l urto come composizione della traslazione del centro di massa -con velocit a v CM - e rotazione del sistema rigido rispetto al centro di massa -con velocit a an- golare ω-. Ci serve quindi determinare la posizione del centro di massa, e rispetto ad esso calcoleremo il momento angolare. a) Dopo l urto il sistema è composto dall asta con una massa pari a 3M ad un estremo e una massa M all altro: imponendo che l intero sistema si trovi a y = 0 al momento dell urto (tutte le masse hanno lo stesso valore di y in quel momento, e che l estremo urtato si trovi nell origine (x = 0) si ricava quindi che la coordinata x del centro di massa è: a) x CM = M L 3M + M = L = 0.5 m (1) b) Conservazione della quantità di moto (vettore diretto lungo l asse y, motivo per cui possiamo omettere la notazione vettoriale): p i = 2Mv 0 = M T OT v CM = Mv CM = p f v CM = v 0 /2 (2) Conservazione del momento angolare (vettore diretto lungo l asse z, motivo per cui omettiamo la notazione vettoriale) rispetto al CM del sistema: L i = 2M v 0 L/ = L f = I T OT ω. (3) 1

2 da: Il momento d inerzia totale del corpo rigido, dopo l urto, rispetto a un asse passante per il CM è dato I T OT = 3M ( ) L 2 + M combinando le ultime due equazioni otteniamo quindi: ( ) 3L 2 = M L 2 3 () b) M v 0 L 2 = M L2 3 ω ω = 2v 0 3L = 3 rad/s (5) c) L energia cinetica totale è data dalla somma dell energia cinetica rotazionale e quella traslazionale del CM. Quindi, basandosi sui risultati ottenuti in precedenza: K tot = K t + K r = 1 2 M T OT v 2 CM I T OT ω 2 = 1 2 M v ML2 v2 0 9L 2 (6) e quindi: c) K tot = 1 2 Mv Mv2 0 = 2 3 Mv2 0 = 27 J. (7) 2

3 Esercizio 2 Un corpo puntiforme di massa M =.5 kg si trova inizialmente fermo in cima ad un piano inclinato scabro. Il piano è inclinato di un angolo θ = 35 e alto h = 1 m. Il corpo è collegato tramite una corda inestensibile di massa trascurabile ad una carrucola cilindrica di massa m = 1.6 kg e raggio R = 9 cm, su cui la corda si srotola senza scivolare. a) Calcolare il valore del coefficiente di attrito µ d tra il corpo e il piano inclinato, se si osserva che il corpo scende lungo il piano con un accelerazione pari, in modulo, ad a = 2. m/s 2. In fondo al piano inclinato il corpo si stacca dalla corda e procede sul piano orizzontale liscio fino ad incontrare una molla di costante elastica k = 162 N/m. b) Determinare la massima compressione della molla x. c) Supponendo che il corpo rimanga attaccato alla molla e che si realizzi un moto di tipo armonico, determinare il periodo T di oscillazione. k a) Consideriamo un sistema di riferimento in cui cui l asse x sia parallelo al piano inclinato in direzione discendente, l asse y in direzione perpendicolare al piano, l asse z sia uscente dal foglio. Scomponiamo le forze che agiscono sul corpo di massa M lungo gli assi x e y: {ûx : Mgsinθ T F A = Ma M û y : N = Mgcosθ, (8) (9) dove T è la tensione esercitata dalla fune e F A è la forza di attrito, F A = µ D N. Oltre a µ D, anche la tensione T non è nota, ma possiamo ricavarla analizzando il moto della carrucola. Il momento delle forze che agiscono su di essa, calcolati rispetto al suo centro, è un vettore diretto lungo l asse z di modulo pari a T R = Iα = I a R (10) con α negativo nel sistema di riferimento considerato (rotazione in senso orario). Si ottiene quindi: T = Ia R 2 = 1/2mR2 a R 2 = ma 2 (11) 3

4 Il peso della carrucola e la reazione del vincolo che la sostiene (e che impedisce una sua traslazione) hanno momento nullo rispetto al suo centro. Si ottiene quindi, sostituendo nella 8 da cui si ricava Mgsinθ ma 2 µ DMg cos θ = Ma (12) ( m ) a) µ D = tan θ 2M + 1 a g cos θ = 0.35 (13) b) Poiché l accelerazione del corpo è costante, si può calcolare la velocità alla fine del piano inclinato v f tramite la relazione v 2 f = v2 i + 2as. Nel nostro caso a è un dato del problema, v i = 0 e s = h/ sin θ. Il piano orizzontale che segue è liscio, quindi non agendo forze l oggetto conserva la propria velocità fino a quando colpisce la molla. Quando lo fa, ha un energia cinetica pari a: K = 1 2 Mv2 f = Mah sin θ (1) questa energia cinetica viene, nel punto di massima compressione, convertita completamente in energia potenziale, quindi: b) Mah sin θ = K = U max = 1 2Mah 2 k x2 max x max = = 8 cm (15) k sin θ c) Il moto è di tipo armonico semplice, non essendoci attrito. La pulsazione sarà quindi pari a k/m, e di conseguenza il periodo: c) T = 2π ω = 2π M k = 1.07 s (16)

5 Esercizio 3 Un pianeta, chiamato a, orbita intorno ad una stella di massa M = kg percorrendo una traiettoria circolare. a) Determinare il raggio orbitale r a del pianeta in modo che il suo periodo di rivoluzione sia T a = 1 anno terrestre. b) Si consideri ora anche un pianeta b che orbita circolarmente intorno alla stessa stella con un periodo T b = 6 anni terrestri. Supponendo che al tempo t = 0 la posizione angolare dei pianeti rispetto alla direzione û x, siano φ a = π/2 e φ b = 0 determinare dopo quanto tempo t i due pianeti si troveranno alla minima distanza tra di loro. c) Sia r b la distanza del pianeta b dal centro della stella e sia m b = 20m a la massa del pianeta b rispetto a quella del pianeta a, calcolare il rapporto tra le energie potenziali Ua U b dei due pianeti. a r a y M r b b x a) Il pianeta si muove di moto circolare uniforme sotto effetto della Gravità come unica forza presente, che agisce come forza centripeta. si avrà quindi F c = m a ω 2 r a = F g = G m am r 2 a (17) tenendo conto che ω = 2π/T con T = s, otteniamo: GM GMT 2 a) r a = 3 ω 2 = 3 π 2 = m (18) b) Entrambi i pianeti si muovono di moto circolare uniforme, quindi seguiranno una legge del tipo φ = ωt + φ 0, tenuto conto che convenzionalmente si prende ω negativo in caso di moto orario. Per il pianeta a conosciamo già ω, mentre per il pianeta b dobbiamo convertire il periodo in velocità angolare come visto sopra. Imponendo quindi che si trovino allo stesso angolo (punto di minima distanza) otteniamo 2π T a t + φ a = 2π T b t + φ b t = φ a φ b 2π T b + 2π = T at b (φ a φ b ) 2π(T T a b T a ) = 0.25 anni (19) c) sapendo che U a = GMm a r a (20) 5

6 e analogamente per b, otteniamo: U a U b = m ar b m b r a (21) il rapporto delle masse è dato dal problema, mentre dobbiamo ricavare r b. Ci conviene direttamente calcolare r b /r a rifacendosi all equazione 18 otteniamo: e quindi: r b r a = ( Tb T a ) 2/3 (22) U a = 1 U b 20 ( Tb T a ) 2/3 = 5 (23) 6