INFORMAZIONI

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1 INFORMAZIONI La secoda provetta è il gioro Martedì 10 Geaio alle ore 14:00. Il primo appello è il gioro Luedì 23 Geaio alle ore 14:00 Il secodo appello è il gioro Giovedì 16 Febbraio alle ore 14:00 Seguirao poi altri 3 appelli: Giugo, Luglio e Settembre. Sia alla secoda provetta che agli appelli valgoo le solite regole: o electroics, solo foglio A4 frote/retro, pea e documeto idetità valido co foto.

2 INFORMAZIONI Alla secoda provetta soo ammessi coloro che hao preso almeo 16 alla prima provetta. Agli appelli può partecipare chiuque, idipedetemete da esiti egativi di precedeti prove. Il voto fiale co le due provette verrà pubblicato i tempo per iscriversi evetualmete al primo appello. Gli argometi della secoda provetta sarao solo quelli svolti dopo la prima provetta (più o meo dalla covessità compresa i poi). Gli argometi degli appelli sarao ivece su tutto il programma svolto. Sia la secoda provetta che gli appelli cosistoo di 8 domade a risposta multipla e di 3 esercizi da svolgere, il tutto i u tempo di 3 ore. Il voto della prima provetta e il voto della secoda provetta verrao mediati co pesi diversi: tedezialmete la secoda pesa u po di più (co pesi da decidere a posteriori).

3 INFORMAZIONI L orale è facoltativo ma, seza far l orale, il voto registrato è quello otteuto allo scritto (media pesata dei voti delle due provette o voto dell appello) riscalato secodo la seguete tabella:

4 INFORMAZIONI

5 INFORMAZIONI Alla prova orale si chiedoo geeralmete, defiizioi, euciati, dimostrazioi e esempi e/o cotroesempi. L esito della prova orale può modificare il voto dello scritto (quello vero) i positivo o i egativo o ache dare esito respito (ma fiora o e mai successo ) La prova orale va sosteuta etro la medesima sessioe della prova scritta: a Geaio o a Febbraio per le due provette e il primo appello; a Febbraio per il secodo appello; a Giugo o a Luglio per il terzo appello; a Luglio per il quarto appello; a Settembre per il quito appello. Le date delle prove orali verrao comuicate al mometo della pubblicazioe dei voti dello scritto degli appelli. La prova orale della secoda provetta coiciderà co quella del primo o del secodo appello. Chi viee respito alla prova orale e chi rifiuta il voto sia dello scritto che quello dopo l evetuale prova orale, deve rifare lo scritto.

6 INFORMAZIONI Chi supera la prova scritta co le due provette deve comuque iscriversi al primo appello (perché solo gli appelli soo verbalizzati su Esse3) e verrà reiserito il voto otteuto co le due provette. Il voto agli appelli verrà iserito ella forma silezio asseso, e quidi ci sarao 15 giori di tempo per accettare o rifiutare il voto. Passati i 15 giori i voti o rifiutati verrao cosiderati come accettati e quidi verbalizzati. All itero dei quidici giori ci sarao la presa visioe degli elaborati corretti e le evetuali prove orali. Chi desidera sosteere la prova orale el secodo appello dispoibile (sempre però all itero della medesima sessioe: iverale, estiva, autuale) deve comuicarlo ufficialmete per e quidi rifiutare il voto su Esse3 che verrà quidi ricaricato per l appello successivo.

7 INFORMAZIONI E possibile ritetare il compito seza perdere il voto già acquisito? Sì alle segueti codizioi: La cosa può essere fatta solo all itero della stessa sessioe di esami (iverale: provette, primo appello, secodo appello; estiva: terzo appello, quarto appello; autuale quito appello). Ovvero: si può riprovare lo scritto seza perdere il voto delle provette al primo appello e al secodo appello; si può riprovare lo scritto seza perdere il voto del primo appello al secodo appello; o si può riprovare lo scritto seza perdere il voto del secodo appello. Si può riprovare lo scritto seza perdere il voto del terzo appello al quarto appello; o si può riprovare lo scritto seza perdere il voto del quarto appello. Dopo il quito appello o è possibile ritetare lo scritto. Per ritetare uo scritto seza ecessariamete perdere u voto precedete occorre: rifiutare il voto precedete su Esse3, iscriversi all appello utile successivo, comuicare al docete per che si itede riprovare lo scritto seza perdere il voto già acquisito., comuicarlo ache il gioro dell appello stesso. All appello del ritetativo: 1) cosego: il compito viee corretto e il voto precedete o è più valido (è perso) e vale solo il voto del ritetativo (qualuque esso sia: positivo, egativo, migliore, peggiore ); 2) mi ritiro: scrivo R sul compito, cosego l elaborato, comuico al docete i aula la mia decisioe; l elaborato o viee corretto e rimae valido il voto precedete, che sarà reiserito su Esse3.

8 INFORMAZIONI Metterò sulla mia pagia queste slides di iformazioi. Per altre (se ecessarie!) iformazioi scrivetemi: Dopo Natale ricevimeto su apputameto

9 DUE SLIDES DUE SULLE SERIE DI FOURIER Abbiamo visto che talvolta è possibile scrivere ua fuzioe come serie di poteze (tramite la sua serie di Taylor). Questo vorrebbe dire approssimare la fuzioe co poliomi che cambiao uo dall altro solo per l aggiuta del termie di poteza -esima. Le codizioi per questa possibilità soo però molto strigeti: esisteza di tutte le derivate di ogi ordie, e o solo. Ioltre, i poliomi o tegoo ecesseriamete coto di altre proprietà delle fuzioi, quali ad esempio la periodicità, o altre criticità, tipo discotiuità.. L idea delle serie di Fourier è quella di approssimare o co i ormali poliomi (algebrici) ma co i cosiddetti poliomi trigoometrici. U poliomio trigoometrico è ua scrittura del del tipo 3cos( x) 2si( x) 4cos(2x) 2si(2x) cos(3x) 6si(4x) o k 0 più 0 a cos( x) b si( x) a cos( x) b si( x) i geerale : poliomio a 2 trigoometrico k 1 di grado k

10 DUE SLIDES DUE SULLE SERIE DI FOURIER Si dice serie di Fourier di coefficieti a 0, a, b >0, la scrittura a 0 a cos( x) b si( x) 2 1 Le domade soo: questa serie coverge per qualche x?, data ua fuzioe f è possibile scriverla come ua serie di Fourier? Cioè a f ( x) 2 0 a cos( x) b si( x) 1 I tal caso chiamiamo il secodo membro serie di Fourier di f. Se sì, come faccio a determiare i coefficieti a, b? Notiamo subito che se vale l uguagliaza qui sopra allora f deve essere 2 - periodica. Come per le serie di Taylor, data ua fuzioe, possiamo forse idividuare i cadidati coefficieti, ma poi questo o garatirà che la serie coverge e che coverge proprio alla fuzioe data. Se le due serie dei coefficieti a, b soo assolutamete covergeti, allora la serie di Fourier coverge per ogi x reale; questo discede immediatamete dal teorema del cofroto per serie e dalla disuguagliaza a cos( x) b si( x) a b

11 Se,m soo umeri aturali, valgoo le segueti relazioi (che si possoo provare co u po di coti come quelli fatti a lezioe per calcolare ua primitiva di seo al quadrato). Notare che gli itegrali defiiti soo su u periodo [-,] 0 cos( x)cos( mx) dx 2 se m se m 0 se m 0 cos( x)si( mx) dx 0, m 0 si( x)si( mx) dx 0 se m se m 0 se m 0

12 Sia quidi f ua fuzioe 2 - periodica. Suppoiamo a che sia esprimibile i serie di Fourier f ( x) a cos( x) b si( 2 1 e che si possa itegrare termie a termie. Allora, per u fissato umero aturale k (k>0 el secodo caso), per le relazioi precedeti, otteiamo f ( x)cos( kx) dx a0 2 1 f ( x)si( kx) dx a0 2 a0 2 1 cos( kx) dx a cos( x)cos( kx) dx b 1 1 a0 2 si( kx) dx a cos( x)si( kx) dx b a a 1 cos( x) b cos( x) b si( x) si( x) cos( kx) dx si( x)cos( kx) dx a si( kx) dx si( x)si( kx) dx b 0 x) k k

13 Ne seguoo le segueti relazioi fodametali a 1 f ( x)cos( x) dx b 1 Quidi, per calcolare i coefficieti di Fourier di ua fuzioe 2 - periodica, basta calcolare gli itegrali qui sopra. Notiamo che affiché quegli itegrali ( e quidi i coefficieti di Fourier) esistao, basta la sola itegrabilità di f. I geerale o serve emmeo la sua cotiuità! U possibile risultato di covergeza è il seguete: Sia f ua fuzioe 2 - periodica itegrabile e cotiua a tratti (cioè è possibile dividere l itervallo ]-,[ i u umero fiito di sotto-itervalli aperti su cui f è cotiua e salta sugli estremi). I particolare f può essere cotiua. Allora la serie di Fourier di f coverge a f(x) i ogi puto x di cotiuità di f e coverge al puto medio del salto ei puti di salto. f ( x)si( x) dx

14 Dete di Sega La fuzioe qui affiaco è 2 periodica e discotiua. Essa è l'idetità su [, ] e poi replicata per periodicità (attezioe a scale diverse sul grafico). cosiderati (è il programma che li disega). E' dispari e quidi la sua serie di Fourier coterrà solo sei. Essa è (calcolarla per esercizio) : 1 2( 1) 1 si( x) I trattiverticali o vao

15 Dete di Sega e 1 1 2( 1) 1 si( x) 2si( x)

16 Dete di Sega e 2 1 2( 1) 1 si( x) 2si( x) si(2x)

17 Dete di Sega e 3 1 2( 1) 1 si( x) 2si( x) si(2x) 2 3 si(3x)

18 Dete di Sega e 7 1 2( 1) 1 si( x)

19 Dete di Sega e ( 1) 1 si( x)

20 Oda Quadra La fuzioe qui affiaco è 2 periodica e discotiua. Essa vale1 su ]0, [ per periodicità (attezioe a scale diverse sul grafico). I trattiverticali o vao cosiderati (è il programma che li disega) E' dispari e quidi la sua serie di Fourier coterrà solo sei. Essa è (calcolarla per esercizio) : 0 4 si((2 1) x) (2 1) e 1su ],0[ e poi replicata

21 Oda Quadra e (2 1) si((2 1) x) 4 si( x)

22 1 4 (2 1) Oda Quadra e 4 si((2 1) x) si( x) si 3x

23 Oda Quadra e (2 1) si((2 1) x) 4 si( x) 4 si 3x 3 4 si(5x) 5

24 Oda Quadra e (2 1) si((2 1) x)

25 Oda Quadra e (2 1) si((2 1) x)