02. La Probabilità Classica e la Probabilità Quantistica

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1 c La probabilità quantistica Un gatto di Schrödinger

2 02. Contenuti.

3 slide#3 Max Born Germania, John Stuart Bell Irtlanda del Nord, M. Born fu uno dei padri della Meccanica Quantistica moderna. Fu coautore, con Heisenberg e Pascual, della formulazione della meccanica delle matrici e diede un contributo fondamentale allo studio delle proprietà quantistiche del legame chimico e allo sviluppo della Fisca dello stato solido. Nel 1954 ricevette il Nobel per l interpretazione probabilistica della Meccanica Quantistica. J. Bell diede, a partire dagli anni 60, un fortissimo impulso alla riconsiderazione delle interpretazioni della meccanica quantistica. Il suo lavoro teorico, verificato da una serie di esperimenti di ottica quantistica a partire dagli anni 90 in poi, ha dimostrato la base intrinsecamente probabilistica e non classica della teoria.

4 slide#4 La Meccanica Quantistica è una teoria probabilistica, nel senso che non permette di prevedere il risultato delle misure, ma la probabilità che si ottenga un certo risultato da una certa misura. Resta però aperta la questione: operativamente, il termine probabilità ha lo stesso significato in meccanica quantistica e in meccanica classica? La risposta è no: usiamo il termine probabilità in modo equivoco; cioè, questa parola indica operativamente e concettualmente cose diverse nei due ambiti. Per capirlo, consideriamo due distinti problemi che riguardano la molecola HCl. Cl H 1. Consideriamo una singola molecola. Con che probabilità lo ione Idrogeno e lo ione Cloro si trovano alla distanza x? 2. Consideriamo un gas di HCl alla temperatura T. Con che probabilità troviamo una molecola HCl nello stato fondamentale, nel primo stato eccitato vibrazionale, ecc.?

5 slide#5 Un solo oscillatore 1. Consideriamo una singola molecola. Con che probabilità lo ione Idrogeno e lo ione Cloro si trovano alla distanza x? Cl H La molecola HCl è un oscillatore armonico quantistico. La distribuzione di probabilità della variabile aleatoria x è una gaussiana: lo scopriamo risolvendo l equazione fondamentale della meccanica quantistica, l equazione di Schrödinger. Qui col termine probabilità, in questo caso intendiamo che: Interpretazione di Born della MQ Indipendentemente da come realizziamo l esperimento e da quanto accuratamente abbiamo preparato lo stato iniziale della molecole, non è possibile in alcun modo prevedere con esattezza il risultato di una successiva misura della variabile aleatoria x. E unicamente possibile conoscere la probabilità che una misura di x restituisca un certo valore fissato.

6 slide#6 2. Consideriamo un gas di HCl alla temperatura T. Con che probabilità troviamo una molecola HCl nello stato fondamentale, nel primo stato eccitato vibrazionale, ecc.? Un insieme di molte particelle p(e) hω o 2 E o E 1 E 2 3hωo 2 5hωo 2 Con misure accurate, in linea di principio potremmo misurare il livello di energia di ogni singola molecola. Scopriremmo che, a causa dell interazione con la sorgente a temperatura T, alcune molecole si trovano nello stato fondamentale, altre nel primo eccitato, ecc. La distribuzione statistica delle popolazioni sarà uguale alla distribuzione di Boltzmann con Ω(Ε) 1 : E p ( E) e E k T B Z Col termine probabilità, in questo caso intendiamo che: E possibile conoscere con esattezza il valore della variabile aleatoria E per una molecola ben determinata. Tuttavia le molecole sono tante. Per questo è interessante studiare la distribuzione statistica della popolazione in termini della variabile aleatoria E.

7 slide#7 Il caso proposto mette in luce la profonda differenza tra l ambito della Fisica classica e quello della Meccanica quantistica: In Fisica classica, se conosciamo accuratamente lo stato iniziale di un sistema, possiamo prevederne accuratamente l evoluzione. La Fisica classica è deterministica. Se ricorriamo agli strumenti della Meccanica statistica, lo facciamo per convenienza e non per motivi di principio, quando il sistema che studiamo contiene molte particelle. In Meccanica quantistica, se anche conosciamo accuratamente lo stato iniziale di un sistema, non possiamo prevederne accuratamente l evoluzione. La Meccanica quantistica non è deterministica. Non si tratta dunque di convenienza: ricorriamo all analisi statistica perché non possiamo in nessun modo fare di meglio. La meccanica quantistica ci dice molte cose, ma non ci fa penetrare più a fondo il segreto del Grande Vecchio. In ogni caso, sono convinto che Dio non giochi a dadi col mondo. R. Feynman Un punto di vista corretto A. Einstein Un punto di vista sbagliato La natura, così come oggi siamo in grado di capirla, si comporta in modo tale che risulta fondamentalmente impossibile prevedere esattamente cosa succederà in un dato esperimento. È una cosa orribile. Infatti i filosofi avevano stabilito come uno dei requisiti fondamentali della scienza che nelle stesse condizioni debba verificarsi la stessa cosa. Questo è semplicemente falso.

8 slide#8 I quantoni Il fisico J Levy-Leblond ha coniato il termine quantone per identificare una particella quantistica. Le proprietà fondamentali dei quantoni non dipendono dalla loro natura: possiamo parlare indifferentemente di elettroni, protoni, neutroni, in alcuni esperimenti anche di interi atomi o molecole; oppure invece fotoni, o altre particelle elementari. Nelle prossime slide si mettono a confronto le proprietà di una particella classica, di un onda e di un quantone in un famoso esperimento di pensiero : la doppia fenditura. Particella classica Onda Quantone Localizzabile Discreta Non localizzabile Continua Non localizzabile Discreto

9 slide#9 Il rivelatore R può essere traslato MC N S N S N D N D N S D SD Un esperimento di Meccanica Classica P probabilità che R faccia clic Consideriamo tre esperimenti di MC, cioè condotti con particelle macroscopiche di cui possa essere seguita la traiettoria: configurazione S la particella passa a sinistra ; configurazione D la particella passa a destra ; configurazione SD la particella passa a sinistra oppure a destra. In MC gli eventi S, D sono mutuamente esclusivi e le probabilità si sommano: p(s D) p(s) + p(d)

10 slide#10 Esercizio Un fascio di N particelle classiche incide su uno schermo, di dimensioni a L. Lo schermo è dotato di un rivelatore suddiviso in pixel di dimensioni a x. pixel Noto il numero N(x) di particelle che incidono sul pixel posto in x, determinare: a) la distribuzione di probabilità lineare p(x) ; b) La distribuzione di probabilità areale p (x). La probabilità p che una particella cada nell intervallo di larghezza x è il rapporto tra casi favorevoli e casi totali: p ( ) N N x D altronde. le distribuzioni di probabilità p(x) e p (x) sono definite dalle relazioni: p p ( x) x ; p p' ( x) S p' ( x) a x Confrontando le relazioni, si ottiene: p ( x) p x ( ) N x N x ; p' ( x) p a x ( ) N x a N x

11 slide#11 N S N D N Q N S D SD Un esperimento di Meccanica Quantistica Ripetiamo l esperimento con particelle microscopiche: i quantoni. Otterremo un risultato diverso: la mappa corrispondente a SD non è la somma delle mappe corrispondenti a S e a D! Si manifesta invece il fenomeno dell interferenza e appaiono frange chiare e scure alternate.

12 slide#12 N S N D N Q N S D SD Un esperimento di Meccanica Quantistica Le regole della Probabilità Quantistica sono diverse dalle regole della Probabilità Classica: Regola di Born Ampiezza di probabilità p 2 Distribuzione di probabilità Per ciascun evento, si introduce un numero complesso, detto ampiezza di probabilità. La probabilità è pari al modulo quadro di.

13 slide#13 N S N D N Q N S D SD Un esperimento di Meccanica Quantistica Principio di sovrapposizione: Si sommano le ampiezze di probabilità Evento Evento Evento "S" "D" "S D" s d sd s + d

14 slide#14 N S N D N Q N S D SD Un esperimento di Meccanica Quantistica Il modulo quadro della somma è diverso dalla somma dei moduli quadri: le probabilità non si sommano. Evento "S D" sd s + d Termine di interferenza p * * ( S D) s d s d s d s d

15 slide#15 Particelle macroscopiche Onde in una vasca A differenza delle particelle macroscopiche, per le onde non c è aut aut: le onde passano contemporaneamente attraverso le due fenditure La doppia fenditura: MC e MQ a confronto MC p(s D) p(s) + p(d) S e D sono mutuamente esclusivi MQ p(s D) p(s) + p(d) S e D non sono mutuamente esclusivi Come le onde, i quantoni non sono localizzabili: infatti, visto che S e D non sono mutuamente esclusivi, possono realizzarsi insieme: I quantoni possono passare contemporaneamente attraverso entrambe le fenditure. Le particelle classiche, invece, sono localizzabili.

16 1.a La probabilità classica e la probabilità quantistica Probabilità Quantistica Quando il quantone raggiunge un pixel del rivelatore, o c è un clic, o niente: non si può mai rivelare mezzo quantone. Un onda, invece, è rivelabile su tutto il suo fronte contemporaneamente. Nei fenomeni di assorbimento (ma anche di emissione), il comportamento del quantone è quindi identico a quello delle particelle classiche: i quantoni sono discreti. Le onde, invece, sono continue.

17 slide#17 Principio di complementarietà Per descrivere il comportamento dei quantoni, Bohr enunciò il Principio di complementarietà : un quantone si comporta come una particella o come un onda, mai entrambe le cose insieme. Il punto di vista moderno è diverso. A livello fondamentale, un quantone non è né onda, né particella classica. Piuttosto si può affermare che abbiamo due modelli fisici ( onda e particella classica ), ciascuno dei quali va bene in alcune situazioni e non in altre. Ha senso in Fisica chiedersi quale sia natura fondamentale del quantone? No: la Fisica descrive ciò che noi osserviamo, non la natura fondamentale delle cose! Ci resta un piccolo elenco di domande Abbiamo anticipato che in meccanica quantistica le le mappe di probabilità sono determinate a partire dalla funzione d onda. Ma in che modo? Perché è detta funzione d onda? Come si calcola per un sistema quantistico? Quali sono le proprietà di, sul piano matematico e sul piano della fisica? Che relazione c è tra e i risultati delle misure delle grandezze fisiche del sistema?