TEMA Della seguente matrice, calcolare i complementi algebrici e il determinante: a + b 1 a 2 S = a + b + 3 a + 2b. x = t. f = x 2 + 2xy 3y 2,

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1 Prova scritta di MATEMATICA B1 Vicenza, 17 marzo 008 TEMA A = Stabilire se il seguente sottoinsieme di M(, R): {( ) a + b 1 a S = a, b R}, a + b + 3 a + b è un sottospazio di M(, R). Trovare una base di S. 3. Dati nello spazio i punti A(1,, 3), B(0, 0, 1) e la retta x = t r : y = 1 3t z =, t R, calcolare la distanza tra le rette AB e r. 4. Data la seguente forma quadratica: f = x + xy 3y, intesa come funzione del piano in cui sia definito un RC(Oij), trovare le equazioni di una rotazione d assi rispetto alla quale f sia in forma diagonale. Stabilire la natura di O(0, 0) per f. f(x, y) = x 3 xy 4x + 4x + x y,

2 Prova scritta di MATEMATICA B1 Vicenza, 17 marzo 008 TEMA 1 1 A = Stabilire se il seguente sottoinsieme di M(, R): {( ) a + b 1 b S = a, b R}, a b + 3 a + b è un sottospazio di M(, R). Trovare una base di S. 3. Dati nello spazio i punti A(, 1, 3), B(0, 0, 1) e la retta x = 1 3t r : y = t z =, t R, calcolare la distanza tra le rette AB e r. 4. Data la seguente forma quadratica: f = 3x + xy + y, intesa come funzione del piano in cui sia definito un RC(Oij), trovare le equazioni di una rotazione d assi rispetto alla quale f sia in forma diagonale. Stabilire la natura di O(0, 0) per f. f(x, y) = x y + xy + y 3 4y + 4y,

3 Prova scritta di MATEMATICA B1 Vicenza, 17 marzo 008 TEMA A = Stabilire se il seguente sottoinsieme di M(, R): {( ) a + b a S = a, b R}, a + b + 4 a + b + è un sottospazio di M(, R). Trovare una base di S. 3. Dati nello spazio i punti A( 1,, 3), B(0, 0, 1) e la retta x = t r : y = 1 3t t R, z =, calcolare la distanza tra le rette AB e r. 4. Data la seguente forma quadratica: f = x xy + 3y, intesa come funzione del piano in cui sia definito un RC(Oij), trovare le equazioni di una rotazione d assi rispetto alla quale f sia in forma diagonale. Stabilire la natura di O(0, 0) per f. f(x, y) = x 3 x y xy + 4x + 4x,

4 Prova scritta di MATEMATICA B1 Vicenza, 17 marzo 008 TEMA A = Stabilire se il seguente sottoinsieme di M(, R): {( ) a + b + 1 b S = a, b R}, a b + 1 a + b + è un sottospazio di M(, R). Trovare una base di S. 3. Dati nello spazio i punti A(4,, 6), B(0, 0, ) e la retta x = 3t r : y = t z = 4, t R, calcolare la distanza tra le rette AB e r. 4. Data la seguente forma quadratica: f = 3x xy y, intesa come funzione del piano in cui sia definito un RC(Oij), trovare le equazioni di una rotazione d assi rispetto alla quale f sia in forma diagonale. Stabilire la natura di O(0, 0) per f. f(x, y) = x y xy + y 3 + 4y + 4y,

5 Prova scritta di MATEMATICA B1 Vicenza, settembre 008 TEMA A = Stabilire se il seguente sottoinsieme di M(, R): {( ) a + b 1 a S = a, b R}, a + b + 3 a + b è un sottospazio di M(, R). Trovare una base di S. 3. Dati nello spazio i punti A(1,, 3), B(0, 0, 1), C(0, 1, ), D( 1,, ), calcolare la distanza del punto A dal piano BCD. 4. Data la seguente forma quadratica: f = x xy + 3y, intesa come funzione del piano in cui sia definito un RC(Oij), trovare le equazioni di una rotazione d assi rispetto alla quale f sia in forma diagonale. Stabilire la natura di O(0, 0) per f. f(x, y) = x 3 3x + tan(y ),

6 Prova scritta di MATEMATICA B1 Vicenza, settembre 008 TEMA 1 1 A = Stabilire se il seguente sottoinsieme di M(, R): {( ) a + b a b S = a, b R}, a + b + 3 a + b è un sottospazio di M(, R). Trovare una base di S. 3. Dati nello spazio i punti A(, 1, 3), B(0, 0, 1), C(1, 0, ), D(, 1, ), calcolare la distanza del punto A dal piano BCD. 4. Data la seguente forma quadratica: f = 3x + xy + y, intesa come funzione del piano in cui sia definito un RC(Oij), trovare le equazioni di una rotazione d assi rispetto alla quale f sia in forma diagonale. Stabilire la natura di O(0, 0) per f. f(x, y) = x 3 + 3x tan(y ),

7 Prova scritta di MATEMATICA B1 Vicenza, 1 o aprile 008 TEMA 1 1. Discutere, al variare del parametro reale t, il seguente sistema lineare: tx = t x + (1 + t)y = t x + y = t 1.. Sia L l endomorfismo di R 3 soddisfacente le relazioni L(1, 0, 0) = (1,, 3), L(1, 1, 0) = (3,, 1), L(1, 1, 1) = (0, 0, 0). Determinare l antiimagine, mediante L, di (1, 1, 1). 3. Dati nello spazio i punti A(1,, 3), B(0, 0, 1) e la retta { 3x y + z 1 = 0 r 1 : 3x y z + 3 = 0, trovare, se esistono: a) l equazione del piano π, contenente i punti A e B e parallelo alla retta r 1 ; b) l equazione del piano π 3, contenente i punti A e B e ortogonale alla retta r 1 ; c) la distanza di r 1 dalla retta contenente i punti A e B. trovare una base ortogonale di autovettori di A A = , f(x, y) = x 3 3x + tan(y ),

8 Prova scritta di MATEMATICA B1 Vicenza, 1 o aprile 008 TEMA 1. Discutere, al variare del parametro reale t, il seguente sistema lineare: tx = t x + (1 t)y = t x + y = t 1.. Sia L l endomorfismo di R 3 soddisfacente le relazioni L(0, 0, 1) = (1,, 3), L(0, 1, 1) = (3,, 1), L(1, 1, 1) = (0, 0, 0). Determinare l antiimagine, mediante L, di (1, 1, 1). 3. Dati nello spazio i punti A(, 1, 3), B(0, 0, 1) e la retta { x 3y + z 3 = 0 r 1 : x 3y z + 1 = 0, trovare, se esistono: a) l equazione del piano π, contenente i punti A e B e parallelo alla retta r 1 ; b) l equazione del piano π 3, contenente i punti A e B e ortogonale alla retta r 1 ; c) la distanza di r 1 dalla retta contenente i punti A e B. trovare una base ortogonale di autovettori di A A = , f(x, y) = x 3 + 3x + tan(y ),

9 Prova scritta di MATEMATICA B1 Vicenza, 1 o aprile 008 TEMA 3 1. Discutere, al variare del parametro reale t, il seguente sistema lineare: (1 + t)x + (1 + t)y = 0 x + (1 + t)y = t x + y = t 1.. Sia L l endomorfismo di R 3 soddisfacente le relazioni L(1, 0, 0) = (0, 0, 0), L(1, 1, 0) = (1, 1, 1), L(1, 1, 1) = (,, ). Determinare l antiimagine, mediante L, di (1, 1, 1). 3. Dati nello spazio i punti A(1,, 3), B(0, 0, 1) e la retta { x y z + = 0 r 1 : x 3y + z + = 0, trovare, se esistono: a) l equazione del piano π, contenente i punti A e B e parallelo alla retta r 1 ; b) l equazione del piano π 3, contenente i punti A e B e ortogonale alla retta r 1 ; c) la distanza di r 1 dalla retta contenente i punti A e B. trovare una base ortogonale di autovettori di A A = , f(x, y) = x 3 3x + e y,

10 Prova scritta di MATEMATICA B1 Vicenza, 1 o aprile 008 TEMA 4 1. Discutere, al variare del parametro reale t, il seguente sistema lineare: (1 + t)x + (1 t)y = t x + (1 t)y = t x + y = t 1.. Sia L l endomorfismo di R 3 soddisfacente le relazioni L(0, 0, 1) = (0, 0, 0), L(0, 1, 1) = (1, 1, 1), L(1, 1, 1) = (,, ). Determinare l antiimagine, mediante L, di (1, 1, 1). 3. Dati nello spazio i punti A(, 1, 3), B(0, 0, 1) e la retta { x z = 0 r 1 : x y + z = 0, trovare, se esistono: a) l equazione del piano π, contenente i punti A e B e parallelo alla retta r 1 ; b) l equazione del piano π 3, contenente i punti A e B e ortogonale alla retta r 1 ; c) la distanza di r 1 dalla retta contenente i punti A e B. trovare una base ortogonale di autovettori di A A = , f(x, y) = x 3 + 3x + e y,

11 Prova scritta di MATEMATICA B1 Vicenza, 16 luglio 008 TEMA 1 1. Discutere, al variare del parametro reale a, il seguente sistema lineare: x + 5y + 3z = 1 x + 7y + 4z = 4 x + y + a z = a Sia L l endomorfismo di R 3 soddisfacente le relazioni L(0, 0, 1) = (0, 0, 0), L(0, 1, 1) = (1, 1, 1), L(1, 1, 1) = (a, b, c). Determinare l antiimagine, mediante L, di (1, 1, 1), al variare dei parametri reali a, b, c. 3. Dati nello spazio i punti A(, 1, 3), B(0, 0, 1) e la retta x = + 4t r 1 : y = + 3t, t R, z = 3t, trovare, se esistono: a) l equazione del piano π, contenente i punti A e B e parallelo alla retta r 1 ; b) l equazione del piano π 3, contenente i punti A e B e ortogonale alla retta r 1 ; c) la distanza di r 1 dalla retta contenente i punti A e B. trovare una base ortogonale di autovettori di A. 1 3 A = 3 1, 3 1 f(x, y) = 4 + x 3 + y 3 3xy,

12 Prova scritta di MATEMATICA B1 Vicenza, 17 settembre 008 TEMA A = Al variare del parametro reale a, determinare una base dell immagine dell endomorfismo L di R 3 definito da L(x, y, z) = (x + 5y + 3z, x + 7y + 4z, x + y + a z) per ogni x, y, z R. 3. Determinare gli eventuali piani passanti per l origine, distanti 1 dalla retta r : { x y + z = 3 z = A = 0 1 0, 1 0 trovare, se esiste, una matrice ortogonale H tale che H T AH = diag(1, 3, 1). f(x, y) = 4 + x + y + x y,

13 Prova scritta di MATEMATICA B1 Vicenza, 17 settembre 008 TEMA 1 1 A = Al variare del parametro reale a, determinare una base dell immagine dell endomorfismo L di R 3 definito da L(x, y, z) = (5x + y + 3z, 7x + y + 4z, x + y + a z) per ogni x, y, z R. 3. Determinare gli eventuali piani passanti per l origine, distanti 1 dalla retta r : { x y z = 3 z = A = 0 1 0, 1 0 trovare, se esiste, una matrice ortogonale H tale che H T AH = diag(1, 3, 1). f(x, y) = 4 + x + y + xy,