Le scuole fondazionali

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1 Le scuole fondazionali Francesco Paoli Filosofia della scienza, Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) Le scuole fondazionali 1 / 24

2 Gottlob Frege ( ) Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) Le scuole fondazionali 2 / 24

3 Frege: una cronologia sommaria 1879: Begriffsschrift. Frege presenta un simbolismo adeguato alla completa esplicitazione dei passi e delle ipotesi del processo deduttivo. 1884: Grundlagen der Arithmetik. La prima delle due grandi opere in cui Frege espone il suo programma logicista di fondazione della matematica. 1892: Begriff und Gegenstand, Sinn und Bedeutung, Funktion und Begriff. I saggi in cui Frege fonda la filosofia analitica e la moderna filosofia del linguaggio : Grundgesetze der Arithmetik. La più compiuta e sistematica tra le opere fondazionali fregeane. Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) Le scuole fondazionali 3 / 24

4 Frege: l Ideografia L Ideografia di Frege è il primo calcolo logico in senso moderno, un sistema di assiomi per la logica dei quantificatori e dell identità espresso in una notazione simbolica formale (benché molto ingombrante e complicata). Frege intende creare, più che un calcolo limitato alla logica tradizionalmente intesa, un linguaggio destinato a esprimere compiutamente tutta la matematica. Per Frege non esiste una separazione netta tra logica dei termini e logica delle proposizioni. Introduce la distinzione tra proposizioni e funzioni proposizionali e (più avanti) quantifica anche su variabili per funzioni proposizionali (ottenendo un potere espressivo pari a quello della logica del secondo ordine). Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) Le scuole fondazionali 4 / 24

5 Il programma logicista di Frege Frege intende: definire in termini puramente logici i concetti della matematica pura, in particolare i concetti primitivi, irriducibili, come quello di numero naturale; derivare le verità della matematica pura a partire da principi meramente logici, impiegando metodi di ragionamento del tutto esplicitati. Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) Le scuole fondazionali 5 / 24

6 Frege: concetto, rappresentazione, oggetto I concetti sono oggettivi, se ne occupa la logica; le rappresentazioni sono soggettive, se ne occupa la psicologia. Gli oggetti hanno una natura satura, completa, mentre i concetti sono insaturi. A livello simbolico, a un oggetto corrisponde un nome proprio, a un concetto un nome di funzione.(un predicato) In Funzione e concetto, Frege identifica i concetti con le funzioni il cui valore è, per qualsiasi argomento, un valore di verità (Vero o Falso). Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) Le scuole fondazionali 6 / 24

7 Frege: i principi di estensionalità e di comprensione Per Frege, le estensioni di due concetti sono identiche sse sotto di essi cadono gli stessi oggetti (principio di estensionalità). Inoltre, dato un qualsiasi concetto, esiste l insieme di tutti e soli gli oggetti che cadono sotto quel concetto (principio di comprensione). Questi principi sono impliciti nella teoria degli insiemi cantoriana, ma non vengono esplicitati. Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) Le scuole fondazionali 7 / 24

8 Frege: la definizione di numero naturale Frege: il numero cardinale di un insieme A è la classe di equivalenza di A rispetto alla relazione di equipotenza. In particolare: lo 0 è la classe di equivalenza dell insieme vuoto; il successore del numero cardinale di A è il numero cardinale della classe formata da A assieme a un elemento x che non appartiene ad A; un numero naturale è qualunque oggetto possa essere ottenuto dallo 0 applicando ripetutamente l operazione di successore. In base a questa definizione, Frege è in grado di dimostrare gli assiomi di Peano. Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) Le scuole fondazionali 8 / 24

9 Bertrand Russell ( ) Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) Le scuole fondazionali 9 / 24

10 Russell e i fondamenti della matematica Partito da posizioni filosofiche neo-idealiste (era allievo di F.H. Bradley), dopo l incontro con Peano al Congresso Internazionale di Filosofia del 1900 rivaluta la logica simbolica e si dedica a rivisitare il programma logicista fregeano. Le sue opere principali sui fondamenti della matematica sono i Principi della matematica (1903) e soprattutto i Principia Mathematica ( ), scritti con A.N. Whitehead. Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) Le scuole fondazionali 10 / 24

11 Il paradosso di Russell In base al principio fregeano di comprensione, esiste l insieme R = {x : x / x} Si vede facilmente che R R se e solo se R / R. Frege viene annichilito dalla scoperta di questa antinomia e si ritira dalla ricerca logica attiva: A uno scrittore di scienza ben poco può giungere più sgradito del fatto che, dopo completato un lavoro, venga scosso uno dei fondamenti della sua costruzione. rancesco Paoli (Filosofia della scienza, ) Le scuole fondazionali 11 / 24

12 Russell: la diagnosi delle antinomie Per Russell, la radice comune di tutte le antinomie è la nozione di autoriferimento: Antinomia di Russell: se tutte le classi che non sono elementi di se stesse sono elementi di una classe R, questo vale in particolare per R. Antinomia di Cantor: l insieme il cui numero cardinale causa la diffi coltà e proprio l insieme di tutti gli insiemi. Russell vuole escludere l esistenza di totalità che, se ammesse come legittime, potrebbero essere ampliate mediante l aggiunta di elementi definiti in termini delle totalità stesse (principio del circolo vizioso). Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) Le scuole fondazionali 12 / 24

13 Russell: la teoria dei tipi L universo insiemistico viene stratificato in tipi (individui, insiemi di individui, insiemi di insiemi di individui, ecc.): quando parliamo di tutti gli oggetti che soddisfano una data condizione, dobbiamo intendere tutti gli oggetti di un determinato tipo che soddisfano quella condizione. Se ad esempio x n rappresenta un insieme di tipo n, un enunciato del tipo x n x n+1 è sintatticamente ben formato, mentre x n x n no. L enunciato che dà luogo all antinomia di Russell, quindi, è un errore sintattico. A questa gerarchia dei tipi, Russell affi anca una parallela gerarchizzazione degli insiemi in ordini, volta a proibire definizioni di insiemi che possano violare il principio del circolo vizioso. Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) Le scuole fondazionali 13 / 24

14 La teoria dei tipi: pro e contro Pro Si risolvono tutte le antinomie Contro Non si dimostra più il teorema di Cantor Non è possibile definire la nozione di numero reale Non si può dare una definizione soddisfacente di identità Non si può parlare di tutti i reali che soddisfano una certa condizione Per ovviare a queste pecche, Russell introduce il controverso assioma di riducibilità. L altro assioma controverso è quello dell infinito, che afferma l esistenza di almeno un insieme infinito (assiomi esistenziali sono particolarmente problematici per una fondazione logicista della matematica). Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) Le scuole fondazionali 14 / 24

15 David Hilbert ( ) Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) Le scuole fondazionali 15 / 24

16 I Fondamenti della geometria (1899) Nel 1899 Hilbert dà una fondazione assiomatica completa alla geometria euclidea tridimensionale, colmando certe lacune del sistema assiomatico di Euclide. Per i geometri pre-hilbertiani (Riemann, Helmholtz, Klein), la geometria è ancora la scienza dello spazio reale, e la sua organizzazione deduttiva dipende strettamente da tale interpretazione privilegiata: le sue proposizioni fondamentali hanno un contenuto precisamente individuato. Per Hilbert (anticipato in ciò da Peano), gli assiomi geometrici non esprimono nessun contenuto che non sia quello delle loro mutue relazioni di tipo puramente logico. Gli assiomi sono definizioni implicite dei concetti in essi contenuti. Qualunque sistema di enti che soddisfa gli assiomi ha lo stesso diritto di essere chiamato e inteso come costituito di punti, piani e rette. Non sono gli oggetti specifici che contano in geometria, ma le loro relazioni, le strutture che esse formano. Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) Le scuole fondazionali 16 / 24

17 Metodo assiomatico e dimostrazione di coerenza Grazie ad un assioma di continuità che introduce nel suo calcolo, Hilbert può dimostrare la categoricità del calcolo stesso: ogni suo modello è isomorfo al modello che si ottiene prendendo come punti le triple ordinate di numeri reali. Hilbert ritiene essenziale un indagine metamatematica che abbia per oggetto i sistemi assiomatici stessi. L esistenza di un ente che non sia concretamente dato è solo un espressione metaforica per dire che le condizioni che lo specificano non sono contraddittorie, e questa dimostrazione spetta alla metamatematica. Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) Le scuole fondazionali 17 / 24

18 La coerenza dell aritmetica In un lavoro del 1904 (Sui fondamenti della logica e dell aritmetica), Hilbert individua come problema metamatematico fondamentale la dimostrazione della coerenza dell aritmetica: tutte le altre teorie matematiche sono state dimostrate coerenti relativamente all aritmetica, ma in quest ultimo caso non è più possibile scaricare il problema su un altra teoria. Hilbert fornisce anche un intelaiatura generale di una prova di coerenza per un calcolo C: mostrare che gli assiomi di C godono di una certa proprietà P; mostrare che le regole di inferenza di C preservano la proprietà P; mostrare che le contraddizioni non godono della proprietà P. Per far ciò è essenziale ridurre l aritmetica a un calcolo formale PA di formule su cui operare per derivazioni. Le dimostrazioni stesse divengono oggetti matematici le cui proprietà possono essere studiate. Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) Le scuole fondazionali 18 / 24

19 Il finitismo Tra il 1917 e il 1928, Hilbert scrive i suoi lavori fondamentali di filosofia della matematica, tra cui Il pensiero assiomatico (1917) e Sull infinito (1926). Le antinomie indicano che il concetto di infinito, se pur indispensabile per l edificio matematico, è quello in cui si annidano i pericoli per la sua coerenza. Per Hilbert, i modi di inferenza che impiegano l infinito devono in generale essere sostituiti con processi finiti che danno precisamente lo stesso risultato. Nella riduzione della matematica a un insieme di calcoli formali ciò che va assunto come dato sono certi oggetti extralogici intuitivamente presenti come esperienza immediata antecedente a ogni pensiero [...] Dev essere possibile osservare questi oggetti completamente in tutte le loro parti, e il fatto che essi occorrano, e che essi differiscano l uno dall altro e che si susseguano, o siano concatenati, è immediatamente dato in modo intuitivo, assieme agli oggetti, come qualcosa che [non] può essere ridotta a qualcos altro. Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) Le scuole fondazionali 19 / 24

20 La soluzione proposta Per Hilbert, non è necessario che ogni singolo enunciato sia interpretabile finitisticamente, ma è il sistema assiomatico nel suo complesso che va analizzato e giustificato. Per fare questo, è necessario fornirne una dimostrazione di coerenza di PA che utilizzi solo i metodi intuitivamente giustificati che appartengono al pensiero finitista. Questo avviene in due passi: 1 Formalizzare l aritmetica concreta entro specifici linguaggi in cui le regole di formazione delle espressioni e le regole di dimostrazione siano specificate in modo dominabile; 2 Prendere la teoria matematica formalizzata PA come oggetto di indagine matematica e dimostrare con metodi finitisti che in PA non esiste nessuna formula α tale che PA α, PA α. Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) Le scuole fondazionali 20 / 24

21 Vantaggi del progetto finitista Gli oggetti dell indagine metamatematica termini, formule, dimostrazioni, derivazioni sono oggetti finiti, a differenza degli enti matematici di cui parlano. Hilbert è quindi convinto di poter condurre il suo progetto rimanendo nell ambito del finito. Per la legge di Duns Scoto α (α β), inoltre, dimostrare la coerenza di PA equivale a far vedere che, ad esempio, la formula 0 = 1 non è dimostrabile in essa. Quindi, la condizione di coerenza implica che la matematica delle proposizioni ideali è un estensione conservativa della matematica delle proposizioni reali: se PA contiene una contraddizione, questa è già presente nella sua parte reale. Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) Le scuole fondazionali 21 / 24

22 Altre applicazioni della metamatematica Oltre che a dimostrare la coerenza di PA, la metamatematica dovrebbe anche servire a dimostrarne la completezza sintattica: per ogni enunciato α formulato nel linguaggio dell aritmetica formalizzata, o α o α dev essere dimostrabile in PA. Se PA è corretta, ossia dimostra solo enunciati veri nel modello standard dei numeri naturali, allora la completezza sintattica di PA equivale alla sua completezza semantica: ogni enunciato α vero nel modello dei numeri naturali è dimostrabile in PA. Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) Le scuole fondazionali 22 / 24

23 Kurt Gödel ( ) Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) Le scuole fondazionali 23 / 24

24 Il fallimento del programma hilbertiano In una celebre memoria del 1931, Gödel fa crollare tutti i capisaldi del progetto fondazionale hilbertiano. Dimostra infatti che: 1 Il sistema PA è sintatticamente incompleto: esistono enunciati aritmetici α indecidibili tali che PA non è in grado di dimostrare né α, né α. Quindi PA, se corretto, è anche semanticamente incompleto: esistono enunciati aritmetici veri che non sono dimostrabili in PA. Tale risultato, inoltre, si estende a tutti i sistemi formali che presentano certe caratteristiche. In particolare, PA è dunque anche incompletabile: l aggiunta di ulteriori assiomi, purché fatta in modo ricorsivo, produce nuovi enunciati indecidibili. 2 Non è possibile dimostrare la coerenza di PA utilizzando metodi formalizzabili all interno del sistema stesso (quindi, in particolare, usando metodi finitisti). Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) Le scuole fondazionali 24 / 24