Informazioni personali Si prega di indicare il proprio nome, cognome e numero di matricola nei seguenti campi.

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI VERONA CORSO DI LAUREA IN SCIENZE E TECNOLOGIE VITICOLE ED ENOLOGICHE Esame di MATEMATICA San Flrian, /7/7 Infrmazini persnali Si prega di indicare il prpri nme, cgnme e numer di matricla nei seguenti campi. Nme e cgnme: Matricla: Si prega inltre di cmpilare i seguenti campi, in base alla scelta che si intende fare. Chied che la mia prva d'esame venga crretta e valutata. Il vt che cnsegu cn questa prva annulla eventuali vti già cnseguiti in appelli d'esame precedenti. (segnare l pzine prescelta) APPELLO ORDINARIO: quesit n. + altri quesiti a scelta parte A + quesiti a scelta parte B COMPITINO A: tutti i quesiti della parte A COMPITINO B: tutti i quesiti della parte B Firma: Numer di fgli cnsegnati: Intend ritirarmi; chied che la mia prva nn venga crretta nè valutata. Firma: INDICAZIONI PER I CANDIDATI DURANTE LA PROVA NON È CONSENTITO AGLI STUDENTI COMUNICARE TRA LORO O CON L ESTERNO; PERTANTO I TELEFONI CELLULARI ED I DISPOSITIVI MULTIMEDIALI DEVONO RESTAREE SPENTI! Scrivete le vstre rispste in md rdinat, utilizzand la penna stilgrafica la penna a sfera; disegnate a matita i grafici delle funzini. In cas di errre, tracciate un segn sulla rispsta scrretta e scrivete accant ad essa quella crretta. NON È AMMESSO L USO DELLA CANCELLINA NÉ DELLA PENNA ROSSA! Si pssn, invece, utilizzare penne di qualsiasi clre divers dal ROSSO; è ammess l us della calclatrice scientifica nn prgrammabile grafica. Alle rispste e alle crrezini scritte in md illeggibile verrann assegnati punti. Utilizzate i fgli della minuta (che dvrann essere pprtunamente cntrassegnati) sl per l'impstazine delle sluzini, in quant essi nn verrann sttpsti a valutazine. Le rispste devn riprtare tutt il prcediment attravers il quale si giunge alla sluzine, cn i calcli intermedi e le vstre deduzini. Abbiate fiducia in vi stessi e nelle vstre capacità. Bun lavr! Lrenz Meneghini Test della prva d'esame Parte A QUESITO ( /7) Studiare la funzine f = +, determinand esplicitamente dmini, parità, segn ed eventuali + intersezini cn gli assi, eventuali asintti, mntnia ed eventuali estremi. Dp aver verificat che f " determinare cncavità ed eventuali flessi. Disegnare il grafic della funzine.

2 QUESITO ( /) Data la funzine f ( ) =, calclare l equazine della retta r tangente al grafic nel su punt di ascissa =. Determinare l equazine dell ulterire tangente parallela a r e le crdinate del punt di tangenza. Esistn tangenti rtgnali a r? Mtivare. QUESITO ( /) Determinare gli asintti della funzine f = QUESITO ( /) Verificare che la funzine f = + sddisfa le iptesi del terema di Rlle nell intervall [ ] affermativ, determinare l ascissa del punt ( dei punti) che verifica il T. di Rlle nell intervall indicat. QUESITO 5 ( /) Studiare la derivabilità della funzine f e =, determinand anche gli estremi (relativi/assluti),. In cas QUESITO 6 ( /) Dp aver disegnat i grafici delle funzini f = ln e g ammette una sluzine reale in [,] e determinala cn precisine. =, dimstra che l equazine ln = QUESITO 7 ( /) Determinare il valre di c il md che sia minima la smma dei quadrati delle sluzini dell equazine: + c = Parte B QUESITO 8 ( /7) SOLO PARTE B NO APPELLO k k k Si cnsideri la matrice reale A = k. Calclare il rang di A al variare di k. Determinare i valri di k k + k per cui A è invertibile. Calclare, inltre, le sluzini del sistema mgene assciat alla matrice per i valri di k per cui A nn ha rang massim. QUESITO 9 ( /) Dp averne tracciat i grafici, trvare le intersezini delle parable di equazine y = + + e y = ( ) e calclare l area della regine piana delimitata dai due grafici. QUESITO ( /) Rislvere l equazine differenziale y" + y ' 6y = e QUESITO ( /) Calclare la traspsta e il determinante della seguente matrice, dire se è invertibile e, in cas affermativ, calclarne l inversa:

3 QUESITO ( /) Dp aver intersecat la parabla di equazine y = + cn l asse determina il vlume del slid di base R, le cui sezini cn piani perpendiclari all asse sn: a) quadrati; b) triangli di base f e altezza h =. QUESITO ( /) Studiare la cnvergenza degli integrali imprpri: + a) d b) + d QUESITO ( /) Rislvere i seguenti sistemi lineari: y z a) y z 7y z b) y + z = y + z = + z = Punteggi ttale: /

4 Sluzine N. f = + + DOMINIO: D = PARITÀ: f ( ) = + = + la funzine nn è né pari né dispari + ( ) ( ) + f ( ) = la funzine passa per (,) SEGNO: ASINTOTI: CRESCENZA: f + ( + ) + + lim f = + = y = asintt rizzntale + f ' = =... = min: M ( ), ma: f = + = + CONCAVITÀ: ( + ) ( + ) M (, ) + + ; in particlare f = = + + f " = = =... = f = + = + + f = + = + Flessi: F,, F,+ e F (, ) GRAFICO: N. f ( ) = Punt di ascissa = : f = = (, )

5 f ' = m = f ' = La retta tangente in (, ) ha equazine: y + = ( ) y + = + y = Per trvare l eventuale ulterire tangente parallela a quella appena calclata dbbiam rislvere l equazine: m = = = = ± Calcliam quindi f ( ) = = punt di tangenza: (, ) La retta tangente in (, ) ha equazine: y + = ( + ) y = 5 Affinchè la tangente pssa essere rtgnale a quella appena trvata il su cefficiente anglare dev essere m = ; d altra parte l equazine = nn ammette sluzini reali. Pertant nn è pssibile trvare una retta tangente che sia perpendiclare a quelle appena trvate. N. Asintti di f = f è definita per. Pertant: lim f = lim = asintt verticale = Dal mment che pssiam scrivere: N. lim = lim = lim = lim = lim = asintti rizzntali f lim = lim = lim = lim = lim = f m = + + lim f m = lim = lim = lim = lim = asintt bliqu: y = + f = + ha dmini: f f ' = + è cntinua in D = [ ] = D = [, ],, piché smma di funzini ivi cntinue. ha dmini D = (, ) ; pertant f è derivabile in (, ) la funzine nn ha q =

6 f ( ) = e f = f ( ) = f Valgn le iptesi del Terema di Rlle. f '( ) = = = = = Punt stazinari: f = + = (, ) N. 5 è una funzine derivabile per, piché cmpsizine di funzini ivi derivabili e è una funzine derivabile in f = e è una funzine derivabile per Studiamne la derivabilità in = : Derivand tteniam: lim f ' = lim e = e + + lim f ' = lim e = e f ha un put angls in = STUDIO CRESCENZA: f f f ' e = e < e > = e < Min: = f = (, ) Ma: = f ( ) = (,) N. 6 La funzine = ln + è cntinua per > in particlare è cntinua in [, ] = ln + = < = ln + = + ln > Per il Terema degli zeri delle funzini cntinue, la funzine ammette almen un zer in [, ] l equazine ln = ammette almen una sluzine in [, ]

7 Apprssimiam la sluzine cercata mediante il metd di bisezine: La sluzine cercata è, N. 7 c Ricerchiam le sluzini dell equazine + c =. Otteniam, = ± ; esse sn reali per c. Pertant: c c c c f ( c) = + = + + = c c + =... = c f c è decrescente + è minima per c = f '( c ) = la funzine Il valre minim della smma dei quadrati delle radici dell equazine data è: f = = OSSERVAZIONE: Per le nte frmule relative alla smma ed al prdtt delle radici di un equazine di grad (studiate nel bienni della scula superire) risulta: N. 8 k k k Cnsideriam la matrice A = k. k + k k k k k k c + = ( + ) = = c det A = k k = k k k k + k = k k k =... = k k k + k k + k det A = k = k = Pertant, la matrice A ha rang per k k. k = : la matrice diventa A = ed ha rang piché = In tal cas: Quindi le sluzini del sistema mgene assciat alla matrice sn: k,, k, k k = : la matrice diventa A = ed ha rang piché =

8 N. 9 In tal cas: Quindi le sluzini del sistema mgene assciat alla matrice sn: k,, k, k Cnsideriam le parable fianc. Intersecand i grafici: Calcliam l area: y = + + y = ( ) y = + + e y = ( ), nel grafic a 6 8 (,) e (,) + + d = d = = 8 u = = N. Per rislvere l equazine differenziale y" + y ' 6y = e (*) trviam dapprima gli zeri del plinmi caratteristic: = = + ± = 5 = La sluzine dell equazine differenziale mgenea assciata è: ce = c e + Per trvare l integrale generale dell equazine data dbbiam aggiungere a ϕ un integrale particlare di tale equazine; l cerchiam tra le funzini del tip f = ke, piché gli zeri del plinmi caratteristic sn diversi da. Sstituend nella (*): f ' = f " = ke ke + ke 6ke = e ke = e 5 k = Pertant la sluzine generale della (*) è: y = ce + ce e N. T La traspsta della matrice data è A =. Calcliam il determinante della matrice A = : = A è invertibile

9 Determiniamne i cmplementi algebrici: A = = A = = A A = = A = = = = A = = A = = A A = = = = = Quindi: e, di cnseguenza: cfa = A = N. La parabla y = + taglia l asse nei punti (,) e (, ). a) In quest cas S ( ) ( ) ( ) dv = ( + ) d Applicand il metd delle fette: = + = + = +. Pertant l element di vlume è: 5 6 V = + d = + = 6... u + = = b) In quest cas S ( )( ) ( )( ) ( ) N. a) vlume è Applicand il metd delle fette: d = d alim a + = + = + =. Pertant l element di ( ) dv = d 5 6 V = d = =... u = = d = d 9 a a = a = = a a d d a ( a ) + + = lim = lim 9 = 9 a a l integrale dat è cnvergente a 9 d b b) d = lim b + 6

10 A B A + B + A A + B = = + =... = (per il Principi di Identità dei pinmi) A = A = B = Pertant: = + + b d d b b b b = = ln ln + = ln = ln ln = ln + ln b + b + e quindi: + b b ln d = lim d = lim ln + ln = ( ln+ ln ) = + + b + b + b + l integrale dat è cnvergente a ln N. y z a) Per rislvere il sistema y z applichiam il metd di Gauss: 7y z 7 Il sistema diviene: + z = = z y z = y = z Sluzini: ( k, k, k ), k y + z = b) Per rislvere il sistema y + z = applichiam il metd di Gauss: + z = Sluzini:, 9, 9 7