FISICA GENERALE I - 10/12 CFU NP II appello di Febbraio A.A Cognome Nome n. matr.

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1 FISICA GENERAE I - / CFU NP II appello di Febbraio A.A Cognome Nome n. matr. Corso di Studi Docente Voto 9 crediti crediti crediti Esercizio n. Due masse puntiformi scivolano senza attrito su un piano inclinato di un angolo θ (vedi figura). a prima parte da ferma con velocità iniziale nulla, mentre la seconda parte dallo stesso punto, con un ritardo t rispetto alla prima e con una velocita iniziale v. Calcolare l istante t* in cui la seconda massa raggiunge la prima. Si effettuino i calcoli per θ ; t s θ e v. m/s. m Scegliendo come asse x un asse parallelo al piano e diretto verso il basso, si ha: ( ) + ( ) a massa partita in ritardo avrà raggiunto l altra se, al tempo t*, le rispettive coordinate saranno identiche. Imponendo tale condizione: ( ) ( ) Visto che t*< t, la seconda massa non raggiungerà mai la prima. Esercizio n. Un parallelepipedo di massa m, a sezione quadrata, di altezza, profondità e larghezza tripla, viene posto in rotazione intorno ad un asse passante per il suo centro di massa (vedi figura) tramite l applicazione di un momento costante M. Calcolare la velocità angolare del parallelepipedo all istante t*. Si effettuino i calcoli per m kg, m, M Nm e t* 5s. Applicando la seconda equazione cardinale della meccanica, si ha: Per determinare il momento di inerzia del parallelepipedo, si può procedere in modi. Svolgendo l integrale di volume: ( + ) ( + ) nella quale ρ è la densità del parallelepipedo, oppure notando che il parallelepipedo è di fatto composto da cubi adiacenti di lato : 8 + nella quale si è utilizzato I CM del cubo ed il teorema di Huygens Steiner. In entrambe i modi si ottiene: 5 6 ( ) 6 5 6

2 Esercizio n. Un recipiente di sezione S è riempito di acqua fino alla quota h. Ad un certo istante, viene praticato sul fondo del recipiente un foro di sezione s molto minore di S (vedi figura). acqua defluisce liberamente dal foro sotto l azione dell accelerazione di gravità. Considerando l acqua come un fluido ideale, si calcoli la sezione del tubo di flusso a distanza h dal fondo del recipiente. Si effettuino i calcoli per s cm, h cm ed h cm. S acqua s* s h h Utilizziamo il teorema di Torricelli per il calcolo della velocità di efflusso: h Imponendo che la portata del tubo di flusso sia costante, si ha: nella quale v* rappresenta la velocità dell acqua a distanza h dal fondo del recipiente. Dalla conservazione dell energia si ha: + h Sostituendo, si ottiene infine: +h h +h h +h.95 h Esercizio n. 4 Un recipiente complessivamente adiabatico è diviso in tre parti di volumi V, V e V (vedi figura) da due setti diatermici muniti di rubinetti R ed R. All istante V V V iniziale il volume a sinistra contiene una mole di gas perfetto, mentre gli altri due sono vuoti. Viene aperto il rubinetto R, il gas si espande liberamente nel volume adiacente R R fino a raggiungere l equilibrio. A questo punto si chiude il rubinetto R e si apre il rubinetto R. Di nuovo, il gas si espande liberamente fino al raggiungimento del nuovo equilibrio. Si calcoli la variazione di entropia complessiva del gas. Il gas esegue delle espansioni libere per le quali, in generale, si può scrivere: Di conseguenza, nelle due trasformazioni si ha: ; Nella quale / rappresenta il numero di moli di gas contenute nel volume V dopo la prima trasformazione. a variazione di entropia totale sarà allora:

3 FISICA GENERAE I - 9 CFU NP II appello di Febbraio A.A Cognome Nome n. matr. Corso di Studi Docente Voto 9 crediti crediti crediti Esercizio n. Due masse puntiformi scivolano senza attrito su un piano inclinato di un angolo θ (vedi figura). a prima parte da ferma con velocità iniziale nulla, mentre la seconda parte dallo stesso punto, con un ritardo t rispetto alla prima e con una velocita iniziale v. Calcolare l istante t* in cui la seconda massa raggiunge la prima. Si effettuino i calcoli per θ ; t s θ e v. m/s. m Scegliendo come asse x un asse parallelo al piano e diretto verso il basso, si ha: ( ) + ( ) a massa partita in ritardo avrà raggiunto l altra se, al tempo t*, le rispettive coordinate saranno identiche. Imponendo tale condizione: ( ) ( ) Visto che t*< t, la seconda massa non raggiungerà mai la prima. Esercizio n. Un parallelepipedo di massa m, a sezione quadrata, di altezza, profondità e larghezza tripla, viene posto in rotazione intorno ad un asse passante per il suo centro di massa (vedi figura) tramite l applicazione di un momento costante M. Calcolare la velocità angolare del parallelepipedo all istante t*. Si effettuino i calcoli per m kg, m, M Nm e t* 5s. Applicando la seconda equazione cardinale della meccanica, si ha: Per determinare il momento di inerzia del parallelepipedo, si può procedere in modi. Svolgendo l integrale di volume: ( + ) ( + ) nella quale ρ è la densità del parallelepipedo, oppure notando che il parallelepipedo è di fatto composto da cubi adiacenti di lato : 8 + nella quale si è utilizzato I CM del cubo ed il teorema di Huygens Steiner. In entrambe i modi si ottiene: 5 6 ( ) 6 5 6

4 Esercizio n. Una corda di lunghezza è fissata ai due estremi e compie oscillazioni trasversali stazionarie con quattro nodi oltre ai punti vincolati alle sue estremità. a frequenza delle oscillazioni è ν. Calcolare la velocità V di propagazione delle onde sulla corda e la massima velocità trasversale che raggiunge un punto della corda che oscilli con ampiezza A*. Si effettuino i calcoli con m, ν 5 Hz, A* 5 mm. Nel caso considerato, si ha: 5 ; λ ; λν ν Per rispondere alla seconda domanda, basta ricordare che in un onda stazionaria ogni punto di coordinata x esegue un oscillazione armonica la cui espressione è: ξ(, ) cos() Derivando e massimizzando il risultato per un punto x* che oscilla con ampiezza A*, si ottiene la velocità massima richiesta: ξ (,) sin() ν 5.7 Esercizio n. 4 Un recipiente complessivamente adiabatico è diviso in tre parti di volumi V, V e V (vedi figura) da due setti diatermici muniti di rubinetti R ed R. All istante V V V iniziale il volume a sinistra contiene una mole di gas perfetto, mentre gli altri due sono vuoti. Viene aperto il rubinetto R, il gas si espande liberamente nel volume adiacente R R fino a raggiungere l equilibrio. A questo punto si chiude il rubinetto R e si apre il rubinetto R. Di nuovo, il gas si espande liberamente fino al raggiungimento del nuovo equilibrio. Si calcoli la variazione di entropia complessiva del gas. Il gas esegue delle espansioni libere per le quali, in generale, si può scrivere: Di conseguenza, nelle due trasformazioni si ha: ; Nella quale / rappresenta il numero di moli di gas contenute nel volume V dopo la prima trasformazione. a variazione di entropia totale sarà allora:

5 FISICA GENERAE CFU VP II appello di Febbraio A.A Cognome Nome n. matr. Corso di Studi Docente Voto 9 crediti crediti crediti Esercizio n. Due masse puntiformi scivolano senza attrito su un piano inclinato di un angolo θ (vedi figura). a prima parte da ferma con velocità iniziale nulla, mentre la seconda parte dallo stesso punto, con un ritardo t rispetto alla prima e con una velocita iniziale v. Calcolare l istante t* in cui la seconda massa raggiunge la prima. Si effettuino i calcoli per θ ; t s θ e v. m/s. m Scegliendo come asse x un asse parallelo al piano e diretto verso il basso, si ha: ( ) + ( ) a massa partita in ritardo avrà raggiunto l altra se, al tempo t*, le rispettive coordinate saranno identiche. Imponendo tale condizione: ( ) ( ) Visto che t*< t, la seconda massa non raggiungerà mai la prima. Esercizio n. Un recipiente complessivamente adiabatico è diviso in tre parti di volumi V, V e V (vedi figura) da due setti diatermici muniti di rubinetti R ed R. All istante iniziale il volume a sinistra contiene una mole di gas perfetto, mentre gli altri due sono vuoti. Viene aperto il rubinetto R, il gas si espande liberamente nel volume adiacente fino a raggiungere l equilibrio. A questo punto si chiude il rubinetto R e si apre il rubinetto R. Di nuovo, il gas si espande liberamente fino al raggiungimento del nuovo equilibrio. Si calcoli la variazione di entropia complessiva del gas. V V V R R Il gas esegue delle espansioni libere per le quali, in generale, si può scrivere: Di conseguenza, nelle due trasformazioni si ha: ; Nella quale / rappresenta il numero di moli di gas contenute nel volume V dopo la prima trasformazione. a variazione di entropia totale sarà allora:

6 Esercizio n. Tre fili indefiniti con densità di carica λ, λ e λ sono vincolati a formare un triangolo equilatero di lato posto su un piano verticale. a carica puntiforme q, di massa m, sottoposta alla forza di gravità si trova in equilibrio al centro del triangolo. Si determini il valore della carica q e della densità λ. Effettuare i calcoli con: λ µc/m, λ µc/m, cm, m g, r 6 Affinché la forza esercitata sulla carica abbia componente nulla lungo un asse orizzontale i due campi elettrici E ed E devono avere lo stesso modulo e quindi λ λ. e componenti delle forze elettriche create dai tre fili al centro del triangolo, lungo l asse y riportato in figura, sono: qλ qλ qλ F F qe qe cos6 F qe πε r πε r πε r Dall equilibrio delle forze agenti sulla massa m: q λ λ F y F + F + F mg ( + λ) mg πε r da cui: mg q r. 5 ( λ λ ) πε 7 C Esercizio n. 4 Tre fili indefiniti paralleli percorsi da corrente sono posti come in figura. Nei fili posti in A e B scorrono le correnti I I I, nel filo posto in C scorre in verso opposto la corrente I I. Trovare la posizione sul segmento AC in cui il campo B è nullo. Utilizzare per i calcoli AB BC cm r r r r a posizione deve essere tale che: B + B + B B tot µ I µ I µ I + π AX π XB π XC + x AB x AB x x AB 6.67cm