Esercizio 2 Determinare la portata di filtrazione attraverso lo strato di terreno più permeabile indicato in figura. Dati: h H 1 =

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1 ESERCIZI DA ESAMI ( ) L'acqua nel terreno: misura della permeabilità dei terreni Esercizio 1 Per una prova di permeabilità a carico costante sono dati i seguenti valori: lunghezza del campione di terreno: L = 300 mm area della sezione retta del campione: A = 32 cm 2 coefficiente di permeabilità: k = cm/s Calcolare la portata di filtrazione q (cm 3 /s) attraverso il campione per i seguenti valori del carico idraulico e disegnarne il grafico in funzione di h. h 1 = 800 mm h 2 = 700 mm 3 h 3 = 600 mm h 4 = 500 mm h 5 = 400 mm Soluzione 2 q = k i A = k (h/l) A = k (A/L ) h = h cm 3 /s q 1 = 2.08 cm 3 /s q 2 = 1.82 cm 3 /s 1 q 3 = 1.56 cm 3 /s q 4 = 1.30 cm 3 /s q 5 = 1.04 cm 3 /s q (cm 3 /s) h (mm) Esercizio 2 Determinare la portata di filtrazione attraverso lo strato di terreno più permeabile indicato in figura. H = 3 m h H 1 = 1 m h = 1.5 m L = 40 m H α α = 14 k = 5.E-04 m/s strato poco permeabile k è il coeff. di permeabilità H 1 dello strato più permeabile strato permeabile strato poco permeabile q = k i A i = h / (L/cos α) = A = H 1 cos α = m 2 /m L 1

2 q = k i A = 1.77E-05 m 3 /s/m = m 3 /ora/m Esercizio 3 Per determinare la permeabilità media di uno strato di sabbia di spessore S, sovrastante uno strato impermeabile, è perforato un pozzo ed è eseguita una prova di emungimento. La falda freatica è alla profondità D w da p.c. A regime la portata emunta è q, e gli abbassamenti del livello acquifero in due piezometri posti a distanza x 1 e x 2 dall'asse del pozzo sono rispettivamente y 1 e y 2. Stimare il coefficiente di permeabilità medio della sabbia (in m/sec) ed il suo diametro efficace D 10. S = 12.5 m x 1 = 15.2 m y 1 = m q = 850 lt/min x 2 = 30.4 m y 2 = m D w = 1.95 m con riferimento alla profondità della base dello strato di sabbia, S: quota del livello di falda indisturbato: H = S - D w = m livello dell'acqua nel primo piezometro: z 1 = H - y 1 = m livello dell'acqua nel secondo piezometro: z 2 = H - y 2 = m portata emunta a regime: q = m 3 / sec coefficiente di permeabilità della sabbia: k = q ln(x 1 /x 2 ) / [π (z z 2 2 )] = 6.5E-04 m/sec diametro efficace della sabbia (Hazen): D 10 = 10 k 0,5 = 0.26 mm Esercizio 4 Un terreno è costituito da strati orizzontali alternati di limo e di argilla. Gli strati di limo hanno spessore H 1 e coefficiente di permeabilità k 1. Gli strati di argilla hanno spessore H 2 e coefficiente di permeabilità k 2. Calcolare i coefficienti di permeabilità del terreno in direzione orizzontale e verticale. H 1 = 5 mm H 2 = 20 mm k 1 = 3.E-04 cm/s k 2 = 6.E-07 cm/s k H = Σk i H i / ΣH i = 6.05E-05 cm/s k V = ΣH i / Σ(H i / k i ) = 7.50E-07 cm/s Esercizio 5 E' eseguita una prova di pompaggio per la determimazione della permeabilità di un terreno sabbioso superficiale. Lo strato ha spessore D e sovrasta un terreno roccioso impermeabile. La falda freatica è alla profondità D w da piano campagna. In condizioni di flusso stazionario la portata emunta dal pozzo di pompaggio vale Q, ed i livelli dell'acqua misurati dal p.c. nei due pozzi di osservazione posti alle distanze r 1 ed r 2 valgono rispettivamente d 1 e d 2. Determinare il valore medio del coefficiente di permeabilità dello strato sabbioso. D = 9.15 m r 1 = 3m d 1 = 4.6 m D w = 1.22 m r 2 = 30 m d 2 = 2.1 m Q = 5.68 m 3 / min Si applica la relazione: k = (Q / π) ln(r 2 / r 1 ) / (h h 2 1 ) h 1 = D - d 1 = 4.55 m 2

3 h 2 = D - d 2 = 7.05 m da cui: k = m / min = 2.39E-03 m/ s Esercizio 6 Un campione di terreno in un permeametro a carico costante ha diametro D e altezza L. C sia il volume di acqua raccolto nel tempo t sotto il carico costante h. Un campione dello stesso terreno e di analoghe dimensioni è posto in un permeametro a carico variabile avente tubo di carico di diametro d. Il carico idraulico iniziale sia h 0. 1) Determinare il coefficiente di permeabilità k del terreno. 2) Dopo quanto tempo il carico idraulico nel permeametro a carico variabile si sarà ridotto al valore h 1? D (cm) = 7.3 C (cm 3 ) = 320 h (cm) = 24 h 0 (cm) = 130 L (cm) = 14 t (min) = 202 d (cm) = 1 h 1 (cm) = 72 A = π D 2 / 4 = cm 2 sezione del campione 1) k = C L / (h A t) = 2.21E-02 cm/min = 3.68E-04 cm/s a = π d 2 / 4 = cm 2 sezione del tubo di carico 2) t = 2.3 (a L) / (A k) log (h 0 /h 1 ) = 7.02 min. = s Esercizio 7 Un fiume ed un canale scorrono paralleli ma a differenti quote, come indicato in figura. Essendo: la distanza in orizzontale fra il fiume e il canale: L = 200 m il dislivello del pelo libero dell'acqua fra il fiume e il canale: h = 5 m lo spessore medio dello strato permeabile: s = 2 m il coefficiente di permeabilità dello strato permeabile: k = 1.157E-05 m/sec determinare la portata che filtra tra il fiume e il canale per chilometro di lunghezza di percorso. L fiume s strato permeabile h canale q = k i A = k ( h/l) A k = 1.157E-05 m/sec i = ( h/l) = A = 1000 s = 2000 m 2 q = 5.787E-04 m 3 /sec = 50 m 3 /giorno Esercizio 8 Un deposito di terreno consiste di tre strati orizzontali: uno strato superiore, A, di spessore 1 m, uno strato intermedio, B, di spessore 2 m, e uno strato inferiore, C, di spessore 3 m. Prove di permeabilità eseguite sui tre tipi di terreno hanno dato i seguenti valori del coefficiente di permeabilità: 3

4 3x10-1 (mm/s) per il terreno A 2x10-1 (mm/s) per il terreno B 1x10-1 (mm/s) per il terreno C 1) Determinare il rapporto delle permeabilità medie nella direzione orizzontale e verticale. 2) Nell'ipotesi che al disotto del deposito vi sia uno strato di terreno ghiaioso e una falda artesiana, e che il livello di falda nel deposito coincida col piano di campagna e che nello strato di terreno A vi sia una perdita di carico di 150 mm, determinare la pressione dell'acqua nello strato ghiaioso. H A = 1 (m) k A = 3.0E-01 (mm/s) 3.0E-04 (m/s) H B = 2 (m) k B = 2.0E-01 (mm/s) 2.0E-04 (m/s) H C = 3 (m) k C = 1.0E-01 (mm/s) 1.0E-04 (m/s) H = 6 (m) (spessore del deposito) z w = 0 (m) (altezza di falda rispetto al piano di campagna) H A = 150 (mm) (perdita di carico nello strato A) γ w = 9.81 (kn/m 3 ) 1) Si calcola la permeabilità nella direzione parallela agli strati k H = (H A K A + H B k B + H C k C )/H = 1.67E-04 (m/s) Si calcola la permeabilità nella direzione perpendicolare agli strati agli strati k V = H/ (H A /K A + H B /k B + H C /k C ) = 1.4E-04 (m/s) Si calcola il rapporto tra la permeabilità orizzontale e verticale: k H /k V = ) Con il livello di falda nel deposito coincidente col p.c.e la base del deposito come quota di riferimento il carico piezometrico al p.c. risulta h 0 = 6 (m) Assumendo che sia uguale la portata che attraversa ciascun strato, essa risulta pari a quella che attraversa il primo strato, cioè, con riferimento ad una sezione unitaria, A = 1 m 2 : q = k A A ( H A /H A ) = (m 3 /s) Il carico piezometrico all'interfaccia tra lo strato A e B, è pari a : h A = h 0 + h A 6.15 (m) La perdita di carico in corrispondeza dello strato B, è pari a : H B = q H B /(k B A) = 0.45 (m) Il carico piezometrico all'interfaccia tra lo strato B e C è pari a : h B = h A + h B 6.60 (m) La perdita di carico in corrispondeza dello strato C, è pari a : H C = q H C /(k C A) = 1.35 (m) Il carico piezometrico all'interfaccia tra lo strato B e C è pari a : h C = h B + h C 7.95 (m) Il valore della pressione nello strato ghiaioso è pari a : u c = h C γ w = 78 (kpa) Esercizio 9 Uno strato di argilla limosa superficiale, di spessore H pari a 8 m, è seguito da uno strato di ghiaia contenente acqua in pressione. Un piezometro installato al tetto dello strato di ghiaia rivela un'altezza d'acqua H w = 2 m al di sopra del piano di campagna. Lo strato di argilla è caratterizzato da un contenuto d'acqua w del 30% e da una gravità specifica dei solidi, Gs = 2.7; la permeabilità dello strato k è di 3.0 x 10-8 m/s. 4

5 Viene progettato uno scavo di 2 m dal piano di campagna allo scopo di realizzare una fondazione che, una volta realizzata, eserciterà sul terreno sottostante una pressione uniforme p di 100 kn/m 2. Determinare, nell'ipotesi che la falda nello strato di argilla sia a livello del piano di campagna: 1) la portata unitaria d' acqua in m 3 per anno attraverso lo strato di argilla limosa prima dell'inizio dei lavori; 2) il fattore di sicurezza contro il sollevamento alla fine dello scavo e dopo la realizzazione della fondazione. H = 8 (m) H w = 2 (m) w = 30 (%) G S = 2.7 (-) k = 3.0E-08 (m/s) H sc = 2 (m) (profondità dello scavo dal paino di campagna) p = 100 (kn/m 2 ) γ w = 9.81 (kn/m 3 ) Z w = 8 (m) (altezza di falda misurata a partire dalla base dello strato) 1) Il carico piezometrico alla base e al tetto dello strato di argilla è rispettivamente: h A = 10 (m) h B = 8 (m) Il gradiente idraulico esistente tra la base dello strato di argilla e la superficie è: i = (h a - h b ) /H = 0.25 (-) La portata attraverso lo strato di argilla riferita ad un'area A unitaria è q = v A = k i A= 7.5E-09 (m 3 /s) 0.24 (m 3 /anno) 2) Si determina l'indice dei vuoti dell'argilla,satura, dalla relazione: e = w G s = 0.81 ed il peso di volume saturo: γ sat = (G s +e)/(1+e) γ w = (kn/m 3 ) Si determina la pressione esercitata verso il basso dal terreno sovrastante lo strato di ghiaia dopo lo scavo: P down1 =γ sat (H - H sc ) = (kn/m 2 ) e dopo la costruzione: P down2 = P down1 + p = (kn/m 2 ) Si determina la pressione esercitata dall'acqua all'interfaccia tra i due strati P up = γ w h a = (kn/m 2 ) Si determina il fattore di sicurezza contro il sollevamento: dopo lo scavo: F 1 = P down1 /P up = 1.2 e dopo la realizzazione della fondazione: F 2 = P down2 /P up = 2.2 Esercizio 10 Su un campione di limo argilloso, di diametro D = 10 cm e lunghezza L = 10 cm, è stata eseguita una prova di permeabilità a carico variabile (con diametro della buretta d = 3 mm), i cui risultati in termini di tempo t dall'inizio della prova e altezza h nella buretta sono di seguito riportati. Determinare il valore medio del coefficiente di permeabilità del terreno considerato. 5

6 t (s) h (mm) D (cm) = 10 L (cm) = 10 d (mm) = 3 t (s) = h (mm) = h 0 (mm) = 1000 h 0 a l log 10 Si applica la formula: k = 2.3 h A t ed affinchè le misure ottenute siano affidabili, i valori di log 10 (h o /h) ottenuti in funzione del tempo t devono disporsi si una retta. t (s) = log 10 (h o /h) y = x R 2 = log 10 (h 0 /h) t (s) Dalla pendenza della retta p (1/s) = si ricava la permeabilita': a (mm 2 ) = A (mm 2 ) = k (cm/s) = 6.E-05 k (m/s) = 6.42E-07 k = 2.3 (a l p)/a Esercizio 11 Su un campione cilindrico di terreno di lunghezza L = 15 cm,diametro D = 8 cm e peso W = 17.68N viene eseguita una prova di permeabilità a carico costante. La quantità d'acqua raccolta in 15 secondi sotto l'azione di un carico costante di 24 cm è di 40.5 cm 3. Determinare il coefficiente di permebilità, la velocità di filtrazione apparente ed effettiva, sapendo che il contenuto naturale d'acqua è w = 15 % e il peso specifco dei grani solidi è γ s = 25 kn/m 3. 6

7 L (cm) = 15 A = π D 2 /4 = (cm 2 ) D (cm) 8 k = (CL)/(AHt) = (cm/s) 0.03 W (N) v a = k i = (cm/s) 0.05 γ s (kn/m 3 ) = 25 W = W s + w W s = (N) w (%) = 15 W s = W/(1+w) = (N) t (s) = 15 V s = W s /γ s = (m 3 ) 6.15E-04 C (cm 3 ) = 40.5 V = V s +V v = (m 3 ) 7.54E-04 H (cm) = 24 V v = V - V s = (m 3 ) 1.39E-04 n = (V v /V) 100 = (%) v = v a /n = (cm/s)