Le v.c. si utilizzano come modelli di riferimento per studiare la realtà

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1 Le v.c. si utilizzano come modelli di riferimento per studiare la realtà Ogni carattere nelle sue varie manifestazioni è determinato da cause costanti e da cause accidentali modello di riferimento dallo stesso stampo si hanno esemplari diversi 1

2 Esistono diverse variabili casuali Variabili discrete La variabile bernoulliana La variabile binomiale La variabile ipergeometrica La variabile di Poisson etc Variabili continue La variabile normale La variabile t di Student La variabile Chi-Quadrato La variabile F di Snadecor etc

3 Distribuzione delle stature degli iscritti alla leva dei nati in Abruzzo e Molise nel Addensamento delle frequenze nelle classi centrali. Diminuzione delle frequenze nelle classi estreme Sociali ed Economiche Uniroma1 3

4 Questo istogramma si può rappresentare bene tramite la curva normale o distribuzione di Gauss Classe mediana= Classe modale=

5 Un altro modo per identificare la distribuzione Normale Se si misura più volte una stessa grandezza fisica accontentandosi di una approssimazione grossolana, i valori che si ottengono sono identici Se si cerca di avere una precisione elevata l identità dei valori svanisce poiché differiscono, seppur di poco, tra loro Come valore reale della grandezza si considera la media delle misure Gli scostamenti tra ciascuna grandezza e il valor medio sono detti errori accidentali Gli errori accidentali si distribuiscono secondo determinate regole 5

6 Gli errori positivi compensano gli errori negativi Intervalli simmetrici rispetto allo 0 contengono circa lo stesso numero di errori In valore assoluto gli errori piccoli sono più frequenti dei grandi ossia le frequenze diminuiscono al crescere dell errore 6

7 From Chaos to Order on the Galton Machine -- A Random Walker Gauss pervenne nel 1809 alla legge che porta il suo nome, cioè a stabilire che gli errori accidentali si distribuiscono secondo la curva normale Quetelet nel 1835 osservò che le stature ed i perimetri toracici misurati nelle operazioni di leva si distribuivano più o meno in modo normale 7

8 La v.c. Normale è una v.c. continua che può assumere valori su tutto l asse reale. La funzione di densità è data da: f ( x) 1 e 1 x EX - X V >0 e =, numero di Eulero (in Italia numero di Nepero) funzione esponenziale 8 Π = 3,14 rapporto tra la circonferenza e il diametro di un cerchio

9 La v.c. Normale Standardizzata Z Se la v.c. X ha una distribuzione normale con parametri e, allora Z= (X- )/ è ancora una v.c. Normale con media nulla e varianza unitaria. f(z) 1 e z 0,30 0,15 0,95 0,00-1,96 0,00 1,96 9

10 Distribuzione Normale (confronti con la normale standardizzata varianza diversa) 0,75 0,60 0,45 N(0;1) 0,30 0,15 0,00-4,5-3,0-1,5 0,0 1,5 3,0 4,5 10

11 Distribuzione Normale (confronti con la normale standardizzata media diversa) 0,45 =0 =1 = =3 =4 =5 0,30 0,15 0,00-1,5 0,0 1,5 3,0 4,5 6,0 7,5 11

12 Teorema del limite centrale Sia X1, X, X3,... una successione di variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite, con media e varianza finite, posto si ha che la v.c. X Z n 1 n n X i n i 1 X converge in distribuzione, per n Normale standardizzata. n n, alla v.c. 1

13 Supponiamo che il risultato ottenuto da un gruppo di studenti ad un test sia distribuito normalmente con μ= 73 e σ= 8 qual è la probabilità di conseguire una votazione non superiore a 91? P(X 91) I STEP standardizzare il valore dell ascissa per poter entrare nelle tavole della N(0,1) (91-73)/8 =,5 P(X 91) = P(Z,5) II STEP disegnare sulla N(0,1) l area che ci interessa III STEP entrare nella tavola Φ(z) e leggere in corrispondenza della riga, incrocio colonna 0,05 il valore all interno = 0,9878,5 13