Istituto Tecnico per Geometri Corso di Costruzioni Edili

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1 Istituto Tecnico per Geometri Corso di Costruzioni Edili Prof. Giacomo Sacco LEZIONI SUL CEMENTO ARMATO Sforzo normale, Flessione e taglio

2 CONCETTI FONDAMENTALI Il calcestruzzo ha una bassa resistenza a trazione, mentre possiede una discreta resistenza a compressione. Inserendo delle barre di acciaio nelle zone sottoposte a trazione si realizza un materiale che resiste a flessione: il calcestruzzo armato detto anche cemento armato. L unione dei due materiali, è resa possibile dal fatto che il cemento aderisce perfettamente all acciaio, costringendo quest ultimo a deformarsi allo stesso modo del calcestruzzo, pur avendo, l acciaio, un modulo di elasticità molto maggiore, ossia è più difficilmente deformabile. Questo comporta, come si dimostra nel seguito che per avere le stesse deformazioni, l acciaio sarà sottoposto a maggiori tensioni. Inoltre, poiché i due materiali hanno un coefficiente di dilatazione termica praticamente uguale non nascono tensioni aggiuntive per effetto della temperatura. Il cemento armato è composto da due materiali diversi, non è pertanto, un materiale omogeneo. Per studiarne il comportamento è necessario studiarlo come se fosse un materiale omogeneo. Per fare questo si deve trasformare l acciaio in calcestruzzo equivalente, partendo dal fatto che, per l aderenza tra i due materiali, le deformazioni sono uguali. Vediamo come si fa. Consideriamo un pilastro in calcestruzzo con una barra di ferro posta al centro sia l 0 la lunghezza prima dell applicazione del carico. Dopo l applicazione del carico il pilastro si accorcia di una quantità: l = l 0 l 1, Tale deformazione sarà la stessa sia per il calcestruzzo che per l acciaio presente. Indichiamo con: c la deformazione percentuale nel calcestruzzo; a la deformazione percentuale nell acciaio; c la tensione nel calcestruzzo; a la tensione nella acciaio; E c il modulo di elasticità nel calcestruzzo; E a il modulo di elasticità nell acciaio. Si ha: ; Il rapporto tra i due moduli di elasticità, si indica con n ed è uguale circa a 6, ma si assume pari a 15 per tenere conto delle deformazioni di lunga durata. 2

3 VALORI DI CALCOLO Sono i valori da assumersi nella progettazione o verifica delle opere per coprire la probabilità di errori di esecuzione e di valutazione, nonché le imperfezioni di calcolo. Va osservato che tali valori non coprono errori gravi di calcolo o di concezione strutturale e tanto meno da quelli di esecuzione, che, peraltro, per la loro natura escono da una concezione probabilistica della sicurezza. Calcestruzzo Diagramma convenzionale c1 Prova cilindrica Prova cubica cubo 15x15x15 Il valore f ck è la resistenza a rottura del calcestruzzo ottenuta con provini cilindrici, R ck è invece la resistenza ottenuta con provini cubici. Quest ultima è maggiore di quella ottenuta con provini cilindrici, secondo la relazione: In base alla resistenza a rottura, al calcestruzzo viene attribuita una classe di resistenza, formata da due numeri, il primo dei quali esprime la resistenza cilindrica, il secondo quella cubica. Ad esempio un calcestruzzo di classe C20/25; ha i seguenti valori di rottura: e. 3

4 La resistenza di calcolo del calcestruzzo si ottiene: dove: α cc è il coefficiente riduttivo per le resistenze di lunga durata, pari a 0,85 γ c è il coefficiente parziale di sicurezza relativo al calcestruzzo, assunto pari a 1,5; f ck è la resistenza caratteristica cilindrica a compressione del calcestruzzo a 28 giorni In definitiva, la resistenza di calcolo del calcestruzzo si ottiene, in funzione della resistenza caratteristica cubica: Acciaio L acciaio per cemento armato è denominato B450C ed è caratterizzato dai seguenti valori delle tensioni : Tensione caratteristica di snervamento f yk 450 N/mm 2 Tensione di rottura f tr 540 N/mm 2 Si assume per l acciaio un diagramma convenzionale bilineare. Si può ipotizzare che la rottura avviene sempre per compressione del calcestruzzo, cioè l acciaio teso non si rompe mai per avere raggiunto l allungamento massimo che è pari al 0,1% Diagramma convenzionale acciaio ε yd = , e la massima deformazione elastica. La resistenza di calcolo dell acciaio si ottiene: Dove: f yk è la tensione caratteristica di snervamento dell acciaio; γ c è il coefficiente parziale di sicurezza relativo all acciaio che si assume sempre, per tutti i tipi di acciaio pari a 1,15. In pratica il valore di calcolo dell acciaio è pari a: Non svelare mai ai tuoi compagni di banco che devi ancora essere interrogato mentre il prof. sta sfogliando il registro... 4

5 Verifica Sforzo normale centrato La rottura avviene per crisi del calcestruzzo ossia con ε c =0,0035, mentre il ferro è certamente in campo plastico, ossia con ε s > 0, Se indichiamo con: A c area del calcestruzzo; A s area del ferro; Il calcolo dello sforzo normale ultimo si esegue: Per la verifica è necessario che sia: Non si sta tenendo conto, in questa fase, del fenomeno di instabilità a carico di punta, come invece si farà nel seguito. Esempio 1 Si verifichi un pilastro di dimensioni 40x40 armato con 4 ϕ 16. I materiali sono: calcestruzzo con R ck = 25 N/mm 2 (250 dn/cm 2 ), acciaio B450C con f yk = 450 N/mm 2 (4500 dn/cm 2 ); N E = dn. Calcoliamo le tensioni convenzionali dei materiali: ; A c = 40x40 = cm 2 ; A s = 4x2,01= 8,04 cm 2 ; Il pilastro è verificato. Progetto Nel progetto, scelti i materiali, si vogliono dimensionare le aree di calcestruzzo e di acciaio. Le incognite sono quindi A c area del calcestruzzo ed A s area del ferro. Per l equilibrio si ha:. Essendo due le incognite, stabiliamo il rapporto dell area di ferro con l area di calcestruzzo. La nostra equazione diventa: ; mettendo in evidenza A c si ha: MOTTO DEL BOCCIATO: Nella scuola l'importante non è vincere, ma partecipare. 5

6 Esempio 2 Si progetti un pilastro in cemento armato che deve reggere uno sforzo normale di dn. Si scelgono i materiali. Calcestruzzo con R ck = 25 N/mm 2, acciaio B450C con f yk = 450 N/mm 2 ; Calcoliamo le tensioni convenzionali dei materiali: Stabiliamo la percentuale di ferro µ = 1% =0,01. ; Stabiliamo un lato del pilastro: B= 25 cm; ; Si adotta una sezione di 25x35. Calcolo dell area di ferro:. Si adottano 4 ϕ 16 = 8,04 cm 2 (Vedi tabella 1). Flessione semplice: Calcolo delle tensioni in campo elastico Si intende che sia la tensione nel ferro teso che quella nel calcestruzzo compresso, sono inferiori ai valori di snervamento. Assumiamo per il calcestruzzo un diagramma delle tensioni ancora più semplificato, ossia con il primo tratto rettilineo. Le incognite da calcolare sono tre: c, f e x, occorrono quindi tre equazioni. Due sono le equazioni di equilibrio: equilibrio alla rotazione tra tensioni interne e momento esterno, equilibrio alla traslazione orizzontale. La terza equazione è una proporzione tra le tensioni di trazione e di compressione che si basa sulla similitudine dei triangoli delle tensioni. 6

7 Risolvendo tale sistema si ottengono le incognite cercate: I n è il momento di inerzia della sezione reagente, composta da ferro teso e calcestruzzo compresso. I valori delle tensioni, così calcolati, possono utilizzarsi per la verifica da eseguire col metodo delle tensioni ammissibili oppure per gli stati limiti di esercizio, quando le tensioni massime rimangono in campo elastico. Il metodo delle tensioni ammissibili è applicabile solo in zona sismica di quarta categoria. Consiste nel verificare che le tensioni massime nel calcestruzzo e nel ferro, non superino i seguenti valori delle tensioni, dette, appunto, tensioni ammissibili: calcestruzzo; acciaio; La verifica si intende soddisfatta se risulta: Flessione semplice: calcolo agli stati limite. La rottura può avvenire in molti modi, a seconda la posizione dell asse neutro che, a sua volta, dipende dalle dimensioni della sezione e dall area di ferro teso e compresso presente nella sezione. Esaminiamo solo tre casi di rottura, possibili: 7

8 Caso 1: rottura del ferro teso (, calcestruzzo in campo plastico ( ; caso 2: rottura del ferro teso ( e contemporanea rottura del calcestruzzo compresso ( ; caso 3: rottura del calcestruzzo compresso, ferro in campo plastico Determiniamo la posizione dell asse neutro nei tre casi visti in precedenza. Poniamo x=kd e scriviamo la proporzione tra le deformazioni del ferro teso e del calcestruzzo compresso: Caso 1: rottura del ferro teso (, calcestruzzo in campo plastico (. (Regione colorata in celeste). Caso 2: rottura del ferro teso ( e contemporanea rottura del calcestruzzo compresso (. (Linea rossa). Caso 3: rottura del calcestruzzo compresso, ferro in campo plastico. (Regione colorata in giallo). Regione 1 (blu) K 028 Rottura del ferro teso, calcestruzzo in campo elastico Regione 2 (celeste) 0,028 K 0,0476 Rottura del ferro teso, calcestruzzo in campo plastico Regione 3 (gialla) 0,0476 K 0,658 Rottura del calcestruzzo, ferro in campo plastico Regione 4 (verde) K Rottura del calcestruzzo, ferro in campo elastico 8

9 Metodo semplificato STRESS BLOCK. Tale procedimento consiste nell approssimare il diagramma delle tensioni nel calcestruzzo con un rettangolo: il cosiddetto stress-bloch. Tale metodo è valido solo se la crisi avviene per rottura avviene del calcestruzzo con acciaio in campo plastico, ossia l asse neutro cade nella regione 3 giallo. Scriviamo l equilibrio alla traslazione: ; sostituendo si ha: dividendo per e ricordando che si ha: ponendo rapporto tra area del ferro compresso e area del ferro teso; percentuale meccanica di armatura, si ha: Equilibrio alla rotazione, rispetto al baricentro del ferro teso: Per la verifica deve risultare: M M u Si osserva che il valore della risultante degli sforzi di compressione nel calcestruzzo, calcolato esattamente sarebbe pari a Mentre la distanza della risultante, dal bordo superiore, sarebbe anziché. 9

10 Esercizio 3 Verificare la sezione in figura. Dati: M = dnm; A s = 3 14 = 4,62 cm 2 ; A S = 5 14 = 7,70 cm 2 ; R ck = 25 N/mm 2 ; Acciaio AQ 450 con fyk = 450N/mm 2 ; = = 3 cm. Calcoliamo le tensioni convenzionali dei materiali: ; d = 50 3 =47 cm; Facciamo la verifica considerando lo schema semplificato stress - block. siamo nella regione 3. La sezione è verificata. Prima legge di murpy: - Se un'interrogazione ti può andare male, lo farà. Esercizio 4 Verificare la sezione in figura. Dati: M = dnm; A s = 3 14 = 4,62 cm 2 ; A S = 7 16 = 10,05 cm 2 ; R ck = 25 N/mm 2 ; Acciaio AQ 450 con fyk = 450N/mm 2 ; = = 3 cm. Calcoliamo le tensioni convenzionali dei materiali: ; d = 40 3 =37 cm; Facciamo la verifica considerando lo schema semplificato stress - block. siamo nella regione 3; 10

11 . La sezione è verificata. Progetto (Ipotesi semplificata stress bloch). Progettiamo la sezione nell ipotesi di rottura contemporanea del calcestruzzo compresso e del ferro teso (k=0,259). Anche il ferro posto nella zona compressa sarà allo stato plastico. Le incognite sono B, h, As, A s. Le incognite sono troppe, disponendo solo di due equazioni di equilibrio: equilibrio alla traslazione orizzontale ed equilibrio alla rotazione. Dobbiamo fissare due parametri. Conviene fissare B e porre. Scriviamo l equilibrio alla traslazione: Equilibrio alla rotazione: In fase di progetto poniamo M u =M e Poniamo il copriferro, con c che assume il valore di 0,07 per h>b e c = 0,14 per h B; Poniamo: 11

12 I coefficienti r e t si possono trovare nella tabella 2 in funzione di sono riferiti, in realtà, al calcolo esatto e non al diagramma stress-block.. I valori riportati, Esercizio 5 Progettare una sezione rettangolare che deve sopportare un momento di dnm. Scegliamo i materiali. R ck = 25 N/mm 2 ; Acciaio AQ 450 con fyk = 450N/mm 2 ; = = 3 cm. Calcoliamo le tensioni convenzionali dei materiali: ; Fissiamo u=0,2; c=0,07; B = 30 cm. H=d+ = 38, = 41,15 cm 45 cm; ; Seconda legge di murpy: Se un compito in classe ti può andar male, consegna in bianco: sarà meglio! 12

13 Calcolo delle tensioni metodo esatto. Per il calcestruzzo si usa il diagramma convenzionale c1, costituito da un tratto elastico parabolico e da un tratto plastico rettilineo. Calcolo degli sforzi nei diversi materiali. Risultante degli sforzi nel calcestruzzo: Se il diagramma delle tensioni nel calcestruzzo, fosse rettangolare, con ovunque il valore f cd, la risultante sarebbe: essendo il diagramma in parte o tutto parabolico, la risultante sarà, ovviamente più piccola, possiamo ottenerla moltiplicando il valore precedente per un coefficiente minore di uno: ; con La risultante degli sforzi di compressione nel calcestruzzo sarà posizionata ad una distanza Si osserva che il coefficiente corrisponde al valore di 0,80 del metodo semplificato stress- block, mentre corrisponde al valore 0,4. Le equazioni rimangono le stesse con l avvertenza di sostituire al posto di 0,80 e al posto di 0,40. Si ottiene: ; Progetto. Anche per il progetto valgono le stesse equazioni, modificate allo stesso modo. Progettiamo considerando la rottura contemporanea del calcestruzzo e del ferro. In tal caso si ha: k=0,0476, = 0,8093, = 0,

14 Poniamo: I coefficienti r e t si possono trovare tabellati in funzione di. Esercizio 6 Verificare la sezione in figura utilizzando il metodo esatto. Dati: M = dnm; A s = 3 14 = 4,62 cm 2 ; A S = 6 16 = 12,06 cm 2 ; R ck = 25 N/mm 2 ; Acciaio AQ 450 con fyk = 450N/mm 2 ; B = 30 cm; H = 35 cm; = = 3 cm. Calcoliamo le tensioni convenzionali dei materiali: ; d = 35 3 =32 cm; Facciamo la verifica ipotizzando che la rottura avvenga per crisi del calcestruzzo con l acciaio in fase plastica. Si ha: 0,259 k ; = 0,8093, = 0,416. Poiché 0,259 < k < 0,658, la crisi avviene per rottura del calcestruzzo con acciaio teso snervato. Si può quindi procedere: La sezione è verificata. QUARTA OSSERVAZIONE SULLA CASUALITÀ DELLE INTERROGAZIONE Se hai studiato talmente bene che non puoi prendere meno di 6, non verrai interrogato. 14

15 Esercizio7 Progettare una sezione rettangolare che deve sopportare un momento di dnm, utilizzando le tabelle. Scegliamo i materiali. R ck = 25 N/mm 2 ; Acciaio AQ 450 con fyk = 450N/mm 2 ; = = 3 cm. Calcoliamo le tensioni convenzionali dei materiali: ; Fissiamo u=0,2; c=0,07; B = 30 cm. Dalla tabella 2.1 ricaviamo t =0,0079; r = 0,1901; MASSIMA DELLO STUDENTE SAGGIO Non svelare mai ai tuoi compagni di banco che devi ancora essere interrogato mentre il prof. sta sfogliando il registro... 15

16 Tabella 1 - Aree ferri ,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5, ,79 1,57 2,36 3,14 3,93 4,71 5,50 6,28 7,07 7, ,13 2,26 3,39 4,52 5,65 6,78 7,91 9,04 10,17 11, ,54 3,08 4,62 6,16 7,70 9,23 10,77 12,31 13,85 15, ,01 4,02 6,03 8,04 10,05 12,06 14,07 16,08 18,09 20, ,54 2,54 3,81 5,08 6,35 7,62 8,89 10,16 11,43 12, ,24 6,48 9,72 12,96 16,20 19,44 22,68 25,92 29,16 32,40 Tabella 2 coefficienti di progetto fyd=391,3n/mmq c = 0,07 0 0,2 0,4 0,6 0,8 Rck fcd t r t r t r t r t r ,0050 0,2386 0,0063 0,2125 0,0084 0,1850 0,0126 0,1490 0,0251 0, ,0063 0,2134 0,0079 0,1901 0,0105 0,1655 0,0157 0,1333 0,0314 0, ,0075 0,1948 0,0094 0,1735 0,0126 0,1510 0,0189 0,1217 0,0377 0, ,0088 0,1804 0,0110 0,1607 0,0147 0,1398 0,0220 0,1127 0,0440 0, ,0101 0,1687 0,0126 0,1503 0,0168 0,1308 0,0251 0,1054 0,0503 0, ,0113 0,1591 0,0141 0,1417 0,0189 0,1233 0,0283 0,0994 0,0566 0,0700 fyd=391,3n/mmq c = 0,14 0 0,2 0,4 0,6 0,8 Rck fcd t r t r t r t r t r ,0050 0,2386 0,0063 0,2142 0,0084 0,1862 0,0126 0,1526 0,0251 0, ,0063 0,2134 0,0079 0,1916 0,0105 0,1665 0,0157 0,1365 0,0314 0, ,0075 0,1948 0,0094 0,1749 0,0126 0,1520 0,0189 0,1246 0,0377 0, ,0088 0,1804 0,0110 0,1619 0,0147 0,1407 0,0220 0,1153 0,0440 0, ,0101 0,1687 0,0126 0,1515 0,0168 0,1317 0,0251 0,1079 0,0503 0, ,0113 0,1591 0,0141 0,1428 0,0189 0,1241 0,0283 0,1017 0,0566 0,