SULLA POTENZA ELETTRICA IN REGIME

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1 Zeno Martini (admin) SULLA POTENZA ELETTRICA IN REGIME PERIODICO QUALSIASI 18 April 2010 Premessa Siamo abbastanza abituati a parlare di potenza attiva, reattiva, apparente, fattore di potenza, ma si tende a dimenticare che le relazioni che ci sono più familiari valgono per tensioni e correnti perfettamente sinusoidali. La diffusione delle apparecchiature elettroniche rende sempre meno vera l'ipotesi di perfetta sinusoidalità, soprattutto per quanto riguarda la forma delle correnti assorbite. Anche ammettendo una tensione perfettamente sinusoidale, le correnti lo sono solo se i carichi alimentati sono lineari; in pratica se resistenze, induttanze e capacità sono delle costanti, che non variano né in funzione della tensione, né della corrente, né del tempo. In particolare perde il suo significato fisico di potenza di scambio tra generatore ed immagazzinatori di energia elettromagnetica, la potenza reattiva. L'articolo riporta alcuni concetti relativi a forme d'onda periodiche di forma qualsiasi per tensione e corrente. Prerequisiti Per la definizione di potenza possiamo partire da qui. Per la potenza in corrente alternata sinusoidale si può leggere questo articolo Per ulteriori precisazioni sul significato del segno si può far riferimento a questo articolo Analisi della potenza in regime variabile Potenze armoniche Qualunque sia l'andamento nel tempo di tensione e corrente la potenza istantanea è data da: SULLA POTENZA ELETTRICA IN REGIME PERIODICO QUALSIASI 1

2 Se le grandezze sono periodiche con periodo si possono scomporre in serie di Fourier Teoricamente ; in pratica il valore più alto dipende dall'approssimazione desiderata, in quanto le ampiezze delle sinusoidi di frequenza crescente, dette armoniche, multipla della fondamentale (indice 1), che ha la stessa frequenza della grandezza originaria, decrescono. La rappresentazione delle ampiezze in funzione della frequenza è chiamata spettro della grandezza. Il valore efficace di una grandezza qualsiasi y(t) è dato da In elettrotecnica il valore efficace di una grandezza si indica con la lettera maiuscola senza alcuna specificazione, come fosse una grandezza continua, a cui corrisponde, per quanto riguarda gli effetti energetici. L'espressione matematica del valore efficace, deriva proprio dalla ricerca del valore di una grandezza continua che produce gli stessi effetti energetici della grandezza variabile. L'operazione matematica corrisponde al calcolo della media quadratica, in inglese Root Mean Square. Il valore efficace è perciò anche detto valore RMS. Il valore massimo, o ampiezza, si usa invece indicarlo con un pedice. SULLA POTENZA ELETTRICA IN REGIME PERIODICO QUALSIASI 2

3 Il valore efficace di una grandezza sinusoidale è legato all'ampiezza dalla relazione Applicando la definizione alla scomposizione si ha, rispettivamente per tensioni e correnti cioè il valore efficace di tensione e corrente è la radice quadrata della somma dei quadrati dei valori efficaci dei termini della serie di Fourier. Nel diagramma p(t)-t, l'area del trapezoide che ha per base T rappresenta l'energia elettrica trasferita nella sezione di misura. Tale area si calcola con l'integrale definito e permette di determinare la Potenza media P che è il valore che, se costante nell'intervallo di tempo considerato, dà luogo allo stesso trasferimento di energia. Per il teorema della media dell'integrale si ha Sostituendo a tensione e corrente i loro sviluppi secondo Fourier, si avranno addendi costituiti da 1. prodotto dei valori costanti: 2. prodotto di una costante per una grandezza sinusoidale 3. prodotto di grandezze sinusoidali di diversa frequenza 4. prodotto di grandezze sinusoidali della stessa frequenza Gli addendi di tipo 2 e 3 non danno contributo al valore medio essendo nullo il loro valore medio nel periodo. Rimangono solo i termini di tipo 1 e quelli di tipo 4. Utilizzando i valori efficaci di ogni armonica, quindi ponendo SULLA POTENZA ELETTRICA IN REGIME PERIODICO QUALSIASI 3

4 si può allora scrivere Scomponendo il prodotto dei seni si ha quindi Posto sfasamento tra tensione e corrente della stessa armonica potenza attiva dell'armonica r- esima potenza relativa alla componente continua poiché anche i termini in coseno con pulsazione 2ω r hanno valore medio nullo, si ha La potenza media o potenza attiva è la somma delle potenze relative ad ogni singola armonica e del termine costante. La sua unità di misura è sempre il watt (W). Potenza apparente Si definisce ancora potenza apparente il prodotto dei valori efficaci di tensione e di corrente e la si misura in voltampere (VA) Potenza reattiva Si definisce ancora la potenza reattiva come somma delle potenze reattive delle singole armoniche SULLA POTENZA ELETTRICA IN REGIME PERIODICO QUALSIASI 4

5 Ma, in questo caso però la potenza reattiva perde il suo significato fisico ed è Il concetto di potenza reattiva, pur potendo essere matematicamente definito, risulta poco utile. La precedente disuguaglianza viene allora resa un'uguaglianza introducendo un quarto termine: la potenza deformante indicata con D, che soddisfa alla relazione S 2 = P 2 + Q 2 + D 2 essa risulta essere Si noti che D=0 quando cioè quando il circuito è costituito da soli resistori. E' stato anche introdotto il concetto di potenza non attiva che include reattiva e deformante SULLA POTENZA ELETTRICA IN REGIME PERIODICO QUALSIASI 5

6 ed è legata alla considerazione di un ipotetico bipolo che assorbe la corrente non attiva,i NA (t), in parallelo al bipolo puramente resistivo che assorbe la corrente attiva i A (t), che schematizza il bipolo distorcente. Il parallelo è alimentato alla tensione v(t) ed assorbe la corrente i(t) = i A (t) + i NA (t) Il resistore che assorbe la corrente attiva ha come valore di resistenza La potenza attiva istantanea è allora data da mentre quella non attiva da Si ha ovviamente p(t) = p A (t) + p NA (t) Schematizzazione di carico distorcente I valori medi di p(t) e di p A (t) coincidono con P: dunque il valore medio di p NA (t) è nullo. Tra i valori efficaci delle tre correnti esiste la relazione SULLA POTENZA ELETTRICA IN REGIME PERIODICO QUALSIASI 6

7 Infatti La relazione precedente permette di scrivere Il fattore di potenza (PF:Power Factor) è sempre dato dal rapporto tra la potenza attiva e la potenza apparente è sempre minore di 1, in quanto resistivo. In tal caso si ha infatti. E' uguale ad 1 solo se il carico è puramente SULLA POTENZA ELETTRICA IN REGIME PERIODICO QUALSIASI 7

8 Grafici Grandezze non sinusoidali corrente e tensione non sinusoidali SULLA POTENZA ELETTRICA IN REGIME PERIODICO QUALSIASI 8

9 corrente, corrente attiva e corrente non attiva Potenza, potenza attiva e potenza non attiva, istantanea e medie Grandezze sinusoidali SULLA POTENZA ELETTRICA IN REGIME PERIODICO QUALSIASI 9

10 corrente e tensione sinusoidali corrente, corrente attiva e non attiva Potenza, potenza attiva e potenza non attiva SULLA POTENZA ELETTRICA IN REGIME PERIODICO QUALSIASI 10

11 Uno Script per Scilab 4.1 //Spettro e fasi di tensione e corrente VM=['+0','+1','+0','+0','-0.1','-0']; // (V0,V1M...,V5M) fv=['','+0','+0','+(1/6)','+0','+(1/12)']; //'',fi1v...f5v IM=['+0','+1','-0','-0.4','+0.2','-0.1']; //(I0,I1M...,I5M) fi=['','-(1/12)','+0','+(0/8)','+0','+(1/6)'];//'',f1i,...f5i f=50;//frequenza w=2*%pi*f;//pulsazione T=1/f;//periodo dt=t/100;//incremento tempi per calcolo numerico t=[0:dt:t];//vettore tempo (100 istanti del periodo) x=w*t;//angolo //tensione v(t) tensione="("+vm(1)+vm(2)+"*sin(w*t"+fv(2)+"*2*%pi)"+... VM(3)+"*sin(2*w*t"+fv(3)+"*2*%pi)"+VM(4)+"*sin(3*w*t"+fv(4)+"*2*%pi)"... +VM(5)+"*sin(4*w*t"+fv(5)+"*2*%pi)"+VM(6)+"*sin(5*w*t"+fv(6)+"*2*%pi)"+")"; deff("[v]=v(t)","v="+tensione); //corrente i(t) corrente="("+im(1)+im(2)+"*sin(w*t"+fi(2)+"*2*%pi)"+... IM(3)+"*sin(2*w*t"+fi(3)+"*2*%pi)"+IM(4)+"*sin(3*w*t"+fi(4)+"*2*%pi)"... +IM(5)+"*sin(4*w*t"+fi(5)+"*2*%pi)"+IM(6)+"*sin(5*w*t"+fi(6)+"*2*%pi)"+")"; deff("[i]=i(t)","i="+corrente); //potenza istantanea p(t) potenza=tensione + "*" + corrente; deff("[p]=p(t)","p="+potenza); //quadrato della corrente i^2(t) deff("[iquadro]=iquadro(t)","iquadro="+corrente+"^2"); //quadrato della tensione deff("[vquadro]=vquadro(t)","vquadro="+tensione+"^2"); //potenza attiva P P=intg(0,T,p)/T; //valore efficace della corrente I=sqrt(intg(0,T,iquadro)/T); //valore efficace della tensione V=sqrt(intg(0,T,vquadro)/T); SULLA POTENZA ELETTRICA IN REGIME PERIODICO QUALSIASI 11

12 //potenza apparente S=V*I; //Resistenza equivalente alla potenza attiva R=(V^2)/P; //Potenza non attiva PNA PNA=sqrt(S^2-P^2); //grafico di tensione, corrente xset("window",0); xgrid(); fplot2d(t,v,2); fplot2d(t,i,5); plot2d(t,ones(t)*v,2); plot2d(t,ones(t)*i,5); //fplot2d(t,p,1); a=gca(); h=gcf(); a.x_label.text="t(s)"; a.x_label.auto_position="off"; a.x_location="middle"; a.y_label.text="v(t): blu; i(t):rosso;"; a.x_label.font_size=4; a.y_label.font_size=4; a.title.text="tensione e corrente non sinusoidali con i rispettivi... valori efficaci"; a.title.font_size=2; h.figure_name="tensione e corrente, in regime periodico qualsiasi"; //Grafico delle correnti attiva e non attiva: ia(t), ina() xset("window",1); xgrid(); correntea="("+tensione+"/r)"; deff("[ia]=ia(t)","ia="+correntea); correntena=corrente+"-"+correntea; deff("[ina]=ina(t)","ina="+correntena); SULLA POTENZA ELETTRICA IN REGIME PERIODICO QUALSIASI 12

13 //valori efficaci della corrente attiva e della corrente non attiva deff("[inaquadro]=inaquadro(t)","inaquadro="+"("+correntena+")^2"); deff("[iaquadro]=iaquadro(t)","iaquadro="+correntea+"^2"); IA=sqrt(intg(0,T,iAquadro)/T); //valore efficace corrente attiva INA=sqrt(intg(0,T,iNAquadro)/T); //valore efficace corrente non attiva Ieff=sqrt(IA^2+INA^2);// valore efficace della corrente fplot2d(t,ia,5); fplot2d(t,ina,4); fplot2d(t,i,3); plot2d(t,ones(t)*ieff*0.99,1); plot2d(t,ones(t)*i,3); plot2d(t,ones(t)*ia,5); plot2d(t,ones(t)*ina,4); a1=gca(); h1=gcf(); a1.x_label.text="t(s)"; a1.x_label.auto_position="off"; a1.x_location="middle"; a1.y_label.text="ia(t): rosso; ina(t):cyan; i(t): verde"; a1.x_label.font_size=4; a1.y_label.font_size=4; a1.title.text="corrente, corrente attiva e corrente non attiva con i... rispettivi valori efficaci"; a1.title.font_size=2; h1.figure_name="correnti"; //Grafico delle potenze attiva pa(t) e non attiva pna(t) istantanee xset("window",2); xgrid(); deff("[pa]=pa(t)","pa="+"("+tensione+"^2)/r"); deff("[pna]=pna(t)","pna="+tensione+"*("+correntena+")"); a2=gca(); h2=gcf(); a2.x_label.text="t(s)"; a2.x_label.auto_position="off"; a2.x_location="middle"; a2.y_label.text="pa(t), rosso; pna(t),nero; p(t):verde"; SULLA POTENZA ELETTRICA IN REGIME PERIODICO QUALSIASI 13

14 a2.x_label.font_size=4; a2.y_label.font_size=4; a2.title.text="potenza, potenza attiva e potenza non attiva con i... rispettivi valori medi"; a2.title.font_size=2; h2.figure_name="potenze"; // verifiche //valore medio della potenza non attiva istantanea PNA1=intg(0,T,pNA)/T; // deve essere nulla //valore medio della potenza attiva PA=intg(0,T,pA)/T;//Uguale alla potenza attiva P PF=P/S;// fattore di potenza fplot2d(t,pa,5); fplot2d(t,pna,1); fplot2d(t,p,3); plot2d(t,ones(t)*pa,5); plot2d(t,ones(t)*pna1,1); plot2d(t,ones(t)*p*0.99,3); Note Lo script è usato per tracciare i grafici, ma non è niente di particolarmente elaborato. Il suo scopo è puramente didattico. Per modificare le forme d'onda si cambiano i valori degli elementi dei quattro vettori iniziali, VM, fv, IM, fi, all'interno dello stesso script, con un qualsiasi editor di testi (es: blocco note di windows), che rappresentano, rispettivamente, ampiezza e fase della scomposizione in serie di Fourier di tensione e di corrente, fino alla quinta armonica. Per eseguire lo script basta poi copiarlo ed incollarlo nella finestra Scilab. Poiché nello script non c'è alcun controllo sulla correttezza dei dati, occorre fare attenzione per conservare la struttura delle stringhe. Ad esempio si lascia '+0' se è nulla l'armonica (il primo valore è il termine costante, il secondo la fondamentale, il terzo la seconda armonica...)o il valore costante; l'eventuale ampiezza diversa da zero si scrive anteponendo sempre il segno + o SULLA POTENZA ELETTRICA IN REGIME PERIODICO QUALSIASI 14

15 -. Idem per le fasi. Le fasi diverse da zero sono espresse in frazioni di periodo che vanno scritte tra parentesi, anteponendo sempre il segno. Ad esempio: -(1/12) indica una fase negativa di un dodicesimo del periodo di quell'armonica. Inoltre inserire i valori dello spettro di tensione e corrente non pensando a valori assoluti espressi in volt ed ampere, ma in valore relativo rispetto ad uno preso come riferimento, ad esempio il massimo della fondamentale. Ad esempio per l'andamento sinusoidale: VM=['+0','+1','+0','+0','-0','-0']; fv=['','+0','+0','+(1/6)','+0','+(1/12)']; IM=['+0','+1','-0','+0','+0','-0']; fi=['','-(1/12)','+0','+(0/8)','+0','+(1/6)']; oppure uno con tensione sinusoidale e corrente distorta VM=['+0','+1','+0','+0','-0','-0']; fv=['','+0','+0','+(1/6)','+0','+(1/12)']; IM=['+0.1','+1','-0.3','+0.2','-0.1','+0.05']; fi=['','-(1/12)','+0','+(1/8)','-(1/6)','+(1/10)']; Conclusione E' un tema complesso e coinvolge parecchi aspetti di gestione ed utilizzo dell'energia elettrica. In alternata sinusoidale la corrente non attiva è la componente della corrente in quadratura con la tensione. La sua riduzione, al fine di diminuire le perdite lungo la linea di trasmissione, si risolve, per i carichi induttivi, con l'installazione di condensatori in parallelo ai carichi stessi. I condensatori assorbono una corrente in quadratura di anticipo con la tensione, quindi, si può dire, generano nel punto di installazione, la corrente in quadratura di ritardo necessaria ai carichi induttivi. E' il principio del rifasamento: la riduzione, o addirittura l'eliminazione, della componente in quadratura, che è la corrente non attiva dalla linea, fa si che la corrente in essa circolante sia solo quella attiva, che è in fase con la tensione. Con le grandezze non sinusoidali si può di ottenere lo stesso risultato. E' più difficoltoso però, in quando, in tal caso, non basta un semplice condensatore, ma occorre un sistema di compensazione più complesso, capace di produrre localmente la corrente non attiva per il carico o, ciò che è lo stesso, di assorbire una corrente uguale ed opposta a quella non attiva. In linea circolerà allora solo la corrente attiva. SULLA POTENZA ELETTRICA IN REGIME PERIODICO QUALSIASI 15

16 carico distorcente compensato Un problema da chiarire bene è inoltre la misura dell'energia elettrica. L'articolo ha perciò fondamentalmente lo scopo di aprire una discussione su questi temi, stimolando la produzione di contributi chiarificatori, sia in relazione alla misura delle potenze ed alla conseguente tariffazione dell'energia, con indagine sul funzionamento dei moderni contatori, sia per i criteri realizzativi dei sistemi di compensazione. Estratto da " index.php?title=userspages:admin:potenza" SULLA POTENZA ELETTRICA IN REGIME PERIODICO QUALSIASI 16