rispetto alla configurazione di equilibrio di una o piu grandezze caratteristiche di un sistema fisico

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1 Fenomeni Ondulatori una perturbazione e la variazione rispetto alla configurazione di equilibrio di una o piu grandezze caratteristiche di un sistema fisico un onda e una perturbazione che si propaga nel tempo e nello spazio attenzione : i fenomeni ondulatori non comportano il trasporto di materia : i costituenti del mezzo in cui si propaga l onda oscillano intorno alla loro posizione di equilibrio ma non viaggiano da un punto all altro dello spazio cio che si propaga sono l energia, la quantita di moto e il momento della quantita di moto trasportati dall onda 1

2 suono, luce, onde radio... sono tutte: perturbazioni di una proprietà fisica, di un sistema con origine in un fenomeno fisico, ( in una sorgente fisica ) - la frequenza delle onde dipende soltanto dalla sorgente della perturbazione - la velocità di propagazione delle onde dipende dalle caratteristiche del mezzo in cui si propaga l onda ( la sua elasticità, densità etc.) ma non solamente Nota bene: la velocità di propagazione dipende unicamente del mezzo solo nei mezzi non dispersivi dalle caratteristiche

3 una perturbazione viene rappresentata matematicamente da una funzione dello spazio e del tempo con la lettera greca detta funzione d onda spesso indicata perturbazione scalare (,, z, t) ( r, t) nel caso unidimensionale, di un onda che si propaghi lungo l asse delle ascisse ( rt, ) ( t, ) perturbazione vettoriale (,, z, t) ( r, t) ha tre componenti spaziali in coordinate cartesiane: ˆ ˆ ˆ = i + j + zk dove (,, z, t) vale a dire che ciascuna componente = etc. e z volta funzione di,, z, t e a sua 3

4 raslazione rigida di una curva, se a = 35 b = c = 1 = a + b + c verso le ascisse crescenti = a( 1) + b( 1) + c verso destra = a( ) + b( ) + c

5 Perturbazione scalare unidimensionale lungo l asse delle ascisse nel caso unidimensionale, la traslazione di un onda che si propaghi senza distorsione, ne attenuazione lungo l asse delle ascisse e descrivibile come ( ( )) (, t) = f k vt dove f e una generica forma funzionale dimostrazione in aula 5

6 Nota Bene : l argomento di una funzione armonica, e quindi anche della funzione esponenziale e del logaritmo, e un angolo dunque e una grandezza adimensionale mentre e vt hanno le dimensione di una lunghezza anticipando l esistenza di onde di tipo armonico introduciamo la grandezza moltiplicativa k, dove k ha le dimensioni dell inverso di una lunghezza, per rendere adimensionale l argomento della funzione f ( v ) ( t, ) = f k ( t) 6

7 -- se l onda si sposta rigidamente verso destra, onda progressiva, dovra essere descritta da una funzione del tipo f(k( vt)) -- se l onda si sposta rigidamente verso sinistra, onda regressiva, dovra essere descritta da una funzione del tipo f(k( + vt)) f puo essere una qualsiasi funzione, purche abbia come argomento una combinazione lineare di spazio e tempo 7

8 Equazione delle onde o di D Alembert caso unidimensionale l equazione differenziale a cui deve soddisfare la funzione d onda ( t, ) e la ovvero (, t) (, t) = v t (, t) 1 (, t) = v t si dimostra che le soluzioni a questa equazione, con opportune condizioni al contorno sono del tipo ( v ) (, t) = f k( t) + 0 dimostrazione in aula 8

9 nomenclatura: (, t) Af k( v t) + k kvt + = ( ) segno negativo onda progressiva 0 v = velocita di fase k = numero d onda = kv = pulsazione dell onda 0 = fase iniziale ( ) segno positivo onda regressiva (( k t) + ) = funzione d onda A = ampiezza, non necessariamente sempre costante = fase dell onda fronte d onda = luogo dei punti che ad un dato tempo hanno la stessa fase 0 0 9

10 la linearita dell equazione di D Alembert garantisce che valga il principio di sovrapposizione se ( ) = f k t 1 e una soluzione dell equazione di D Alembert e ( ) = f k + t e un altra possibile soluzione per il principio di sovrapposizione anche = c + c dove c 1 e c sono costanti di D Alembert e una possibile soluzione dell equazione 10

11 Onde piane (lungo l asse ) una possibile soluzione all equazione di D Alembert unidimensionale e (, ) (, ) t = z f k t ( ) (solo parte progressiva) il luogo dei punti che ad un certo tempo t hanno la stessa fase non dipende ne da ne da z ma solo da il fronte d onda e un piano onda piana Onde piane uniformi (lungo l asse ) se (, z) = costante = A si ha onda piana uniforme ( ) (, t) = A f k t (solo parte progressiva) il fronte d onda e un piano onda piana e l ampiezza dell onda e la stessa ovunque nel piano, z attenzione : non e ma dipende da e z l ampiezza dell onda la stessa ovunque nel piano, z z z z z secondo l andamento definito dalla funzione ( z, ) î î 11

12 (, t) = Af k t ( ) ma = iˆ r î P ( ˆ ) (, t) = Af ki r t quindi un onda piana e uniforme, progressiva, lungo una direzione qualsiasi dello spazio individuata dal versore ˆn avra l espressione : ( ˆ ) ( nˆ r,t) = Af kn r t = A f ( k r t) dove si e posto k = knˆ k e il vettore di propagazione dell onda detto anche vettore d onda 1

13 Onde sferiche sorgenti puntiformi producono onde il cui fronte d onda e una sfera g(, ) ( r, t) = f kr t r (solo parte progressiva) il luogo dei punti che ad un certo tempo t hanno la stessa fase dipende solo dal modulo della distanza il fronte d onda e una sfera onda sferica attenzione: anche se il fronte d onda e una sfera in generale l energia non e necessariamente distribuita in modo uniforme sul fronte d onda sferico ( ) r dalla sorgente Onde sferiche uniformi se si ha g(, ) = costante = A A ( r, t) = f ( kr t) r (solo parte progressiva) Nota Bene: a grande distanza dalla sorgente, del fronte d onda sferico e sostanzialmente piano una piccola porzione onda armonica piana come limite di un onda sferica per r 13

14 Onde cilindriche sorgenti puntiformi producono onde sferiche; sorgenti rettilinee producono onde cilindriche espressione di un onda cilindrica uniforme ( r, t) A f ( kr t) r (solo parte progressiva) 14

15 Ricapitolando : Onda piana ( che si propaga lungo l asse ) (, ) = (, ) t z f k t ( ) Onda piana uniforme ( che si propaga lungo l asse ) (, t) A f k t = A f k iˆ r t = ( ) ( r, t) = f ( kr t) ( ) Onda sferica g(, ) ( r, t) = f kr t r Onda sferica uniforme A r ( ) Onda piana uniforme ( che si propaga lungo la direzione dello spazio individuata dal versore ) ( ) ( nˆ r,t) = Af k r t dove k = knˆ ˆn Onda cilindrica uniforme A ( r, t) = f ( kr t) r Nota Bene: tutti questi tipi di onde scalari e altri ancora soddisfano la stessa equazione differenziale: l equazione di D Alembert 15

16 Equazione di D Alembert per perturbazioni scalari tridimensionali nel caso tridimensionale = (,, z, t) e l equazione di D Alembert per perturbazioni scalari tridimensionali diviene: = v + + ( ) t z ovvero 1 v t = 16

17 Perturbazioni vettoriali se la perturbazione ha carattere vettoriale la avra tre componenti in coordinate cartesiane e z con ciascuna componente a sua volta funzione di,, z, t = (,, z, t) iˆ+ (,, z, t) ˆj + (,, z, t) kˆ z l equazione di D Alembert diviene: 1 v t = 17

18 e inteso che la 1 v t = equivalga alle tre equazioni scalari z t = (,,, ) 1 (,, z, t) v z t t (,,, ) 1 (,, z, t) = v t z t z = z (,,, ) 1 (,, z, t) z v t 18

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