Piano euclideo. In E 2 (R) fissiamo un riferimento cartesiano ortonormale [O, B], con B = ( e 1, e 2 ).

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1 Definizione Si dice spazio (affine) euclideo di dimensione n sul campo reale, uno spazio affine A[A, (V n (R), ), a] in cui il prodotto scalare è definito positivo. Lo si indica con E n (R). In E 2 (R) fissiamo un riferimento cartesiano ortonormale [O, B], con B = ( e 1, e 2 ).

2 Esercizio 1. Dati i punti A(2; 5) e B( 4; 3) e date le rette r : 2x y + 1 = 0, s : 2x y 1 = 0, t : x + 2y = 0, determinare: a) la distanza tra i punti A e B; b) la distanza del punto A dalla retta r; c) la distanza tra le rette r ed s; d) le equazioni delle bisettrici degli angoli formati dalle rette r e t.

3 Esercizio 2. Determinare l area del triangolo di vertici O(0; 0), B(3; 2), C( 5; 9).

4 Esercizio 3. Nel fascio di rette di centro P(1; 2), determinare l equazione della retta: a) di coefficiente angolare 1; b) perpendicolare alla retta r, di equazione x 6y = 0; c) che dista 5 dal punto Q(6; 3); d) che forma un angolo di 30 con la retta determinata al punto a).

5 Esercizio 4. Determinare l equazione cartesiana del luogo descritto dai punti medi delle corde di una circonferenza di raggio a che passano per un suo punto.

6 In E 3 (R) fissiamo un riferimento cartesiano ortonormale [O, B], con B = ( e 1, e 2, e 3 ).

7 Esercizio 5. Scrivere l equazione del piano passante per il punto P(3; 2; 1), perpendicolare alla retta r : x + 2y = y + z 1 = 0. Se la retta ha parametri direttori [(l, m, n, )], il piano perpendicolare avrà equazione della forma lx + my + nz + k = 0.

8 Esercizio 6. Determinare l equazione della retta n perpendicolare e incidente alle rette sghembe r : { x y 1 = 0 x + y z = 0 ed s : { x z = 0 x y 2 = 0. Si tratta della retta di minima distanza, ottenibile imponendo la perpendicolarità del vettore RS con le direzioni di r e di s (dove R è un punto qualsiasi di r ed S è un punto qualsiasi di s.

9 Esercizio 7. Determinare la minima distanza tra le rette sghembe r : { x 2z 1 = 0 y 3z = 0 ed s : { x z 2 = 0 y 2z + 3 = 0. 1 modo Impostare l esercizio come il precedente. Dopo aver imposto la perpendicolarità tra RS e le direzioni di r e di s, si ottengono le coordinate di R e di S, da cui la loro distanza. 2 modo Due rette sghembe appartengono a piani paralleli; la minima distanza è la distanza tra i due piani.

10 Compito. Tema esame del 22 marzo 2011

11 Sfere e circonferenze Definizione Una sfera di centro C e raggio r > 0 è il luogo dei punti di E 3 (R) che distano r da C. Una circonferenza di centro C, raggio r > 0 e sostegno un piano π è il luogo dei punti di π che distano r da C. Equazione sfera: x 2 + y 2 + z 2 + ax + by + cz + d = 0, con a 2 + b 2 + c 2 4d > 0. Una circonferenza si determina come intersezione tra due sfere, oppure tra una sfera e un piano.

12 Esercizio 8. Determinare l equazione dei piani tangenti alla sfera Γ di equazione Γ : x 2 + y 2 + z 2 2z = 0 a) e paralleli al piano α : 2x y + 3z + 1 = 0; b) e passanti per la retta r : x 2 = y z = 0; c) nel punto P(0; 1; 1).

13 Esercizio 9. Determinare l equazione della sfera tangente ai piani α : z = 1 e β : 4x 3y = 0 e avente centro sulla retta r : x z = 2x + y = 0.

14 Esercizio 10. Determinare centro e raggio della circonferenza di equazioni { x 2 + y 2 + z 2 2x 4y 2z = 0. x 2y + z = 0

15 Esercizio 11. Determinare le equazioni della circonferenza passante per i punti A( 1; 0; 0), B(0; 2; 0) e D(0; 0; 1).

16 Compito. Tema esame del 29 giugno 2010

17 Compito. Tema esame del 29 settembre 2010

18 Esercizio 12. (Compito) Tema esame del 23 settembre 2009 Si considerino il piano π : x y + 2z = 0 e il punto P( 4 3, 2 3, 5 3 ). a) Dopo aver osservato che P / π, determinare le coordinate del punto P, proiezione ortogonale di P su π. b) Determinare una rappresentazione cartesiana del fascio di piani passanti per P e ortogonali a π. c) Determinare una rappresentazione cartesiana del luogo di punti di E 3 (R) che distano come P da π. d) Determinare un equazione cartesiana della sfera Σ tangente a π in P e passante per P. e) Determinare centro e raggio delle circonferenza ottenuta come sezione di Σ con il piano α : 2x z 2 = 0. f) Determinare un equazione cartesiana dei piani passanti per la retta r = α π e tangenti a Σ.

19 Esercizio 13. Determinare centro e raggio della circonferenza passante per A(1; 2; 1) e B(3; 1; 2) e tangente in B alla retta r di equazione r : { x = z + 5 y = 2z 5.

20 Esercizio 13. Determinare centro e raggio della circonferenza passante per A(1; 2; 1) e B(3; 1; 2) e tangente in B alla retta r di equazione r : { x = z + 5 y = 2z 5.

21 Esercizio 13. Determinare centro e raggio della circonferenza passante per A(1; 2; 1) e B(3; 1; 2) e tangente in B alla retta r di equazione r : { x = z + 5 y = 2z 5.

22 Esercizio 13. Determinare centro e raggio della circonferenza passante per A(1; 2; 1) e B(3; 1; 2) e tangente in B alla retta r di equazione r : { x = z + 5 y = 2z 5.

23 Esercizio 14. Determinare l equazione della circonferenza descritta dal punto P(1; 2; 0), che ruota attorno alla retta a : x = y = z.

24 Superfici di rotazione R è un qualsiasi punto di r. Si scrivono le equazioni della circonferenza intersezione di piano per R, ortogonale ad a, sfera con centro sulla retta a, passante per R.

25 Esercizio 15. Determinare l equazione della superficie generata dalla rotazione della retta r : x z = y 2 = 0 attorno alla retta a : x 2z = y 1 = 0. Individuare poi le rette per l origine che giacciono su tale superficie.

26 Superfici di rotazione

27 Compito. Tema esame del 21 dicembre 2010

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