ESERCITAZIONI N. 3 corso di statistica

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1 ESERCITAZIONI N 3corso di statistica p 1/18 ESERCITAZIONI N 3 corso di statistica Marco Picone Università Roma Tre

2 ESERCITAZIONI N 3corso di statistica p 2/18 Introduzione Decomposizione della devianza Covarianza e Correlazione Retta di regressione

3 Distribuzioni bivariate Supponiamo di aver rilevato congiuntamente una variabile qualitativa X ed una variabile quantitativa Y, ottenendo la seguente distribuzione unitaria Caratteri qualitativi sconnessi/ordinati quantitativi discreti/continui Uguaglianza/disuguaglianza si si Ordinamento no/si si Addizione e sottrazione no si Unità statistica Modalità di X Modalità di Y u 1 x 1 y 1 u 2 x 2 y 2 u N x N y N ESERCITAZIONI N 3corso di statistica p 3/18

4 ESERCITAZIONI N 3corso di statistica p 4/18 Medie, residui e devianze E possibile calcolare medie totali ȳ medie parziali ȳh residui totali e residui parziali ew residui delle medie eb e le seguenti devianze devianza totale DT = e 2 devianza within (residua) DW = e 2 W devianza between (spiegata) DB = e 2 B

5 ESERCITAZIONI N 3corso di statistica p 5/18 Medie, residui e devianze Si verifica che D T = D B +D W ci aiuta a valutare il ruolo di X rispetto alle risultanze di Y Il rapporto di correlazione η 2 Y x = D B D Y misura la proporzione di devianza della Y, spiegata dalla X, ed e pari a 0 quando D Y = D W, ovvero quando c è indipendenza tra X e Y, ed uguale ad 1 quando D Y = D B, ovvero quando c è massima dipendenza tra X e Y

6 ESERCITAZIONI N 3corso di statistica p 6/18 Esercizio 1 La seguente tabella illustra la distribuzione del livello di istruzione e del salario mensile percepito in migliaia di euro da 12 lavoratori di una piccola aziende Verificare la decomposizione della devianza e calcolare il rapporto di correlazione Istruzione Reddito LMedia 1 LMedia 1 LMedia 2 LMedia 3 Diploma 1 Diploma 2 Diploma 3 Diploma 4 Laurea 2 Laurea 3 Laurea 4 Laurea 4

7 ESERCITAZIONI N 3corso di statistica p 7/18 Medie e devianze Supponiamo di aver rilevato congiuntamente una variabile qualitativa X ed una variabile quantitativa Y, ottenendo la distribuzione di frequenze doppia y 1 y k y K x 1 n 11 n 1k n 1K n 1 x h n h1 n hk n hk n h x H n H1 n Hk n HK n H n 1 n k n K n

8 ESERCITAZIONI N 3corso di statistica p 8/18 Medie e devianze La media (marginale) della variabile Y si puo ottenere sia attraverso la distribuzione marginale della Y ȳ = 1 K y k n k n k=1 che come media della distribuzione delle H medie condizionate ȳ h = 1 Kk=1 y n k n hk, h cioe ȳ = 1 H ȳ h n h n h=1

9 ESERCITAZIONI N 3corso di statistica p 9/18 Medie e devianze La devianza (marginale) di Y puo essere calcolata considerando la distribuzione marginale della Y K D Y = (y k ȳ) 2 n k k=1 oppure come somma della devianza spiegata dalle medie condizionate (D B ) e della devianza residua (D W ), D Y = D B +D W

10 ESERCITAZIONI N 3corso di statistica p 10/18 Medie e devianze D Y = D B +D W dove H D B = (ȳ h ȳ) 2 n h h=1 H D W = h=1 D h e dove le devianze condizionate sono date da D h = K (y k ȳ h ) 2 n hk k=1 Il rapporto di correlazione η 2 Y x = D B D Y

11 ESERCITAZIONI N 3corso di statistica p 11/18 Esercizio 2 La seguente tabella illustra la distribuzione del livello di istruzione e del salario mensile percepito in migliaia di euro da 12 lavoratori di una piccola aziende Verificare la decomposizione della devianza e calcolare il rapporto di correlazione Istruzione Reddito LMedia 1 LMedia 1 LMedia 2 LMedia 3 Diploma 1 Diploma 2 Diploma 3 Diploma 4 Laurea 2 Laurea 3 Laurea 4 Laurea 4

12 ESERCITAZIONI N 3corso di statistica p 12/18 Covarianza, correlazione, regressione Caratteri qualitativi quantitativi sconnessi/ordinati discreti/continui Uguaglianza/disuguaglianza si si Ordinamento no/si si Addizione e sottrazione no si Data la distribuzione unitaria di due variabili quantitative X e Y X Y x 1 y 1 x i x n y i y n

13 ESERCITAZIONI N 3corso di statistica p 13/18 Covarianza Diagramma a dispersione/scatterplot: associa ad ogni profilo riga (x i,y i ) un punto di ascissa x i e ordinata y i Y X La covarianza tra X e Y misura il grado di dipendenza lineare tra le due variabili s xy = 1 n 1 n (x i x)(y i ȳ) = n n 1 i=1 ( 1 n ) n x i y i xȳ i=1

14 ESERCITAZIONI N 3corso di statistica p 14/18 Covarianza s x s y s xy s x s y dove quando sxy = s x s y i punti del diagramma a dispersione giacciono su una retta con pendenza negativa quando sxy = s x s y i punti del diagramma a dispersione giacciono su una retta con pendenza positiva Standardizzando la covarianza si ottiene il coefficiente di correlazione lineare r xy = s xy s x s y

15 ESERCITAZIONI N 3corso di statistica p 15/18 Covarianza Nel caso in cui i dati siano disponibili attraverso una distribuzione di frequenze assolute si ha s xy = n n 1 ( 1 n ) H K (x h x)(y k ȳ)n hk h=1k=1 = n n 1 ( 1 n ) H K x h y k n hk xȳ h=1k=1

16 ESERCITAZIONI N 3corso di statistica p 16/18 Retta di regressione E sempre possibile interpolare una distribuzione unitaria con una retta y = a + bx che minimizza la somma della differenza (residuo) al quadrato tra i punti (x i,y i ) osservati e le loro proiezioni sulla retta (x i,a+bx i ) n (y i a bx i ) 2 = i=1 n i=1 e 2 i Tale retta, detta retta di regressione o dei minimi quadrati, è univocamente individuata dai coefficienti ˆb = s xy s 2 x â = ȳ ˆb x = ȳ s xy s 2 x x

17 ESERCITAZIONI N 3corso di statistica p 17/18 Esercizio 3 Data la seguente distribuzione doppia X Y X Y Disegnare il diagramma a dispersione dei punti e calcolare la covarianza tra X e Y la correlazione tra X e Y intercetta e coefficiente angolare della retta di regressione la proiezione di Y corrispondente a x = 41

18 ESERCITAZIONI N 3corso di statistica p 18/18 Esercizio 4 Data la seguente distribuzione doppia Calcolare la covarianza tra X e Y la correlazione tra X e Y X/Y intercetta e coefficiente angolare della retta di regressione