A Formule utili. A.1 Integrali di uso frequente. A.1.1 Integrali Gaussiani. π a (A.1) I 0 (α) = dx e ax2 = Per n =1, 2,... si ha (A.

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1 A Formule utili A.1 Integrali di uso frequente A.1.1 Integrali Gaussiani Per n =1, 2,... si ha I (α) = dx e ax2 = π a (A.1) I 2n+1 (α) =, I 2n (α) = dx x 2n e ax2 =( 1) n n π α n a (A.2) I(α, β) = = 1 2 = 1 4 = 1 4 = 1 4 πβ = dx x sin(βx) e α2 x 2 dx x eıβx e ıβx 2ı dx eıβx + e ıβx ı β β 2 + β e 4α 2 β 2 π β e 4α 2 2 α 4α e β 2 4α 2 dx e α2 x 2 e α2 x 2 [e (αx+ı β 2α )2 + e (αx ı β 2α )2] e α2 x 2 (A.3)

2 128 A Formule utili A.1.2 Integrali con funzioni esponenziali dx x n e x = [( 1) n dn dα n ] = [( 1) n dn 1 dα n α α=1 dx e αx ] = α=1 = n! (A.4) = A.2 Oscillatore armonico A.2.1 Trattazione operatoriale La soluzioni per l equazione agli autovalori per l Hamiltoniano dell oscillatore armonico è: E n =(n ) ω ; Ĥ n = E n n (A.5) In termini degli operatori di creazione e distruzione mω 1 mω 1 a = 2 x i 2mω p a = 2 x + i 2mω p abbiamo: x = 2mω (a + a ) Per a e a + valgono le relazioni (A.6) p = 1 mω (a a ) (A.7) i 2 a n = n n 1 a + n = n +1 n +1 (A.8) A.2.2 Trattazione nella rappresentazione X Le autofunzioni sono date da φ n (x) = ( mω ) 1 4 i n ξ2 π 2n n! e 2 Hn (ξ) ξ = dove H n é il polinomio di Hermite n-simo definito da H n (ξ) =( 1) n e ξ2 dn e ξ2 dξ n Primi polinomi di Hermite mω x (A.9) (A.1) H (x) =1; H 1 (x) =2x; H 2 (x) =4x 2 1; H 3 (x) =8x 3 12x H 4 (x) =16x 4 48x ; H 5 (x) =32x 5 16x x (A.11)

3 A.4 Momento Angolare 129 A.3 Cambiamento di coordinate Il passaggio da coordinate cartesiane a coordinate sferiche avviene mediante la trasformazione: x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ (A.12) (A.13) (A.14) A.4 Momento Angolare A.4.1 Trattazione operatoriale Gli operatori J 2,J x,j y,j z soddisfano le seguenti relazioni di commutazione: [J 2,J x ]=[J 2,J y ]=[J 2,J z ]= [J x,j y ]=i J z [J y,j z ]=i J x [J z,j x ]=i J y Indichiamo con j, m il generico autoket comune a J 2 e J z : J 2 j, m = j(j +1) 2 j, m J z j, m = m j, m Gli operatori J ± = J x ± J y (A.15) soddisfano le seguenti regole di commutazione con gli operatori J 2 e J z : [J 2,J ± ]= [J z,j ± ]=±J ±. (A.16) Gli operatori J ± agiscono sugli autoket comuni ad J 2 e J z innalzando o abbassando di una unità il numero quantico azimutale: J ± l, m = l(l +1) m(m ± 1) l, m ± 1 (A.17) A.4.2 Relazione di ricorrenza per le Armoniche Sferiche dove cos θyl m (θ, φ) =a l,m Yl+1(θ, m φ) =a l 1,m Yl 1(θ, m φ) (l +1+m)(l +1 m) a l,m = (2l + 1)(2l +3) (A.18) (A.19)

4 13 A Formule utili A.4.3 Le prime Armoniche Sferiche Y = 1 4π (A.2) Y 2 = Y 1 = 3 3 cos θ, Y±1 1 = sin θe±ıφ (A.21) 4π 8π π (3 cos2 θ 1), Y 2 ±1 = 8π sin θ cos θe±ıφ, 15 Y 2 ±2 = 32π sin2 θe ±2ıφ (A.22) Y 3 = Y ±2 3 = π (5 cos3 θ 3cosθ), Y 3 ±1 = 64π sin θ(5 cos2 θ 1)e ±ıφ π sin2 θ cos θe 2±ıφ, Y 3 ±3 = 64π sin3 θe ±3ıφ (A.23) A.5 Equazione di Schrödinger in coordinate sferiche A.5.1 L equazione radiale Per un potenziale centrale V (r) l equazione di Schrödinger è separabile in coordinate sferiche. L autofunzione comune agli operatori H, L 2 e L z con autovalori rispettivamente E, l(l +1) 2 e m, sipuò scrivere nella forma ψ E,l,m (r, θ, φ) = χ E,l(r) r dove χ E,l (r) è soluzione dell equazione radiale: Y m l (θ, φ) (A.24) 2 d 2 χ E,l 2m dr l(l +1) 2mr 2 χ E,l + V (r)χ E,l = Eχ E,l (A.25) χ E,l (r) deve soddisfare la condizione lim r χ E,l(r) =. (A.26) A.5.2 Le prime funzioni di Bessel Sferiche j (ρ) = sin(ρ),j 1 (ρ) = sin(ρ) ρ ρ 2 cos(ρ), (A.27) ρ

5 A.7 Teoria Perturbativa indipendente dal tempo 131 A.5.3 Le prime autofunzioni dell atomo d idrogeno Detto a = 2 μe 2 il raggio di Bohr, si ha ψ 1,, = 1 a 3 2 π e r a (A.28) ψ 2,, = 1 ) 4 3 2π a 2 (2 ra e r 2a (A.29) ψ 2,1, = r 2π a 2 e r 2a a cos θ (A.3) ψ 2,1,±1 = r 2π a 2 e r 2a a sin θe ±ıϕ (A.31) A.6 Spin A.6.1 Matrici di Pauli σ 1 = ( ) 1 σ 1 2 = ( ) ( ) i 1 σ i 3 = 1 σ i σ j = δ ij + ɛ ijk σ k (A.32) (A.33) {σ i,σ j } = σ i σ j + σ j σ i =2δ ij (A.34) [σ i σ j ]=σ i σ j σ j σ i =2iɛ ijk σ k (A.35) A.6.2 Relazioni utili In particolare se A = B (A σ)(b σ) =(A B) I + i (A B) σ (A.36) (A σ) 2 = A 2 I (A.37) e iθ σ = I cos θ + i(n σ)sinθ dove n = θ θ (A.38) A.7 Teoria Perturbativa indipendente dal tempo Sia dato l Hamiltoniano H = H + H 1 dove il problema agli autovalori di H sia stato risolto: H n () = E () n n ().

6 132 A Formule utili Se l autovalore E n () è non degenere e se gli elementi di matrice m () H 1 n () sono piccoli rispetto ai livelli E n (), abbiamo i seguenti sviluppi per gli autovalori E n e gli autostati n di H: E n = E () n + E (1) n + E (2) n +... dove n = n () + n (1) + n (2) +... E (2) n E (1) n = n () H 1 n () (A.39) = m n m () H 1 n () 2 E n () E m () (A.4) n (1) = m () H 1 n () m () (A.41) m n E n () E m () A.8 Teoria Perturbativa dipendente dal tempo Sia dato l Hamiltoniano H = H + H 1 (t) dove si conosce la soluzione del problema agli autovalori di H H n () = E () n n (), mentre H 1 dipende dal tempo e i suoi elementi di matrice nella rappresentazione di H sono piccoli rispetto ai livelli E n (). Scriviamo lo stato del sistema al tempo t nella forma ψ(t) = n () d n (t) e i E n t n (). (A.42) Detta P i f la probabilità con la quale troveremo il sistema nello stato f (), se al tempo t = esso si trova nello stato i (), al I ordine perturbativo si ha P i f (t) = d f (t) 2 = ı dove ω fi = E() f E() i e f =i. t dτ f () H 1 (τ) i () e ıω fiτ 2 (A.43)

7 A.9 Approssimazione di Born 133 A.9 Approssimazione di Born Detti k e k i vettori d onda rispettivamente della particella incidente e di quella diffusa, l ampiezza di diffusione in approssimazione di Born per il potenziale V (r) è data da f B (k, k )= μ 2π 2 dr e ik r V (r ) e ik r (A.44) dove μ è la massa ridotta del sistema. Nel caso di potenziale centrale l espressione si semplifica: f B (q) = 2μ 2 q dr sin(qr) V (r) r (A.45) dove, trattandosi di scattering elastico, q = k k =2k sin θ 2,conθ angolo di diffusione.

8 Bibliografia 1. V. I. Kogan and V. M. Galitskiy. Problems in Quantum Mechanics. Prentice- Hall London, I. I. Gol dman and V. D. Krivchenkov. Problems in Quantum Mechanics. Pergamon Press London, I. I. Gol dman, V. D. Krivchenkov, V. I. Kogan and V. M. Galitskiy. Selected Problems in Quantum Mechanics. Infosearch London, D. Ter Haar. Selected problems in Quantum Mechanics. Infosearch Ltd. London, G. Passatore. Problemi di meccanica quantistica elementare. Franco Angeli Milano, II edizione, E. Merzbacher. Quantum Mechanics. Wiley New York, L. Landau et E. Lifchitz. Phys. Theor. vol. III (Mecanique Quantique). Mir Moscou, A. Messiah. Mecanique Quantique, volume I e II. Dunod Paris, R. Shankar. Principles of Quantum Mechanics. Plenum Press New York, II edition, G. Nardulli. Meccanica Quantistica, volume I e II. Franco Angeli Milano, S. Flügge. Practical Quantum Mechanics, volume I e II. Springer Verlag Berlin, 1971.