Equazioni parametriche di II grado (vincolata da condizioni)
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- Gianmaria Giuseppe
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1 Equzioni prmetrihe di II grdo (vinolt d ondizioni) Per risolvere un equzione prmetri di II grdo, vinolt d ondizioni, oorre:. Trsformre l equzione nell su form noni 0 (rogliendo fttor omune i termini in e i termini in ). Applire le proprietà sotto indite N Tipologi delle rdii Condizione d imporre Un sol soluzione (Equzione di I grdo) 0 Un rdie ugule zero (Equzione spuri) 0 Rdii opposte (Equzione spuri) 0 0 Rdii reli e distinte > 0 5 Rdii reli 0 6 Rdii reli e oinidenti Rdii uguli 0 Rdii omplesse < 0 8 Un rdie ugule 5 Sostituire 5 l posto dell 5 nell equzione 9 Somm delle rdii 0 Prodotto delle rdii Rdii reiprohe Le due rdii sono l un l opposto del reiproo dell ltr Differenz delle rdii Somm dei qudrti delle rdii 5 Somm dei ui delle rdii 6 Somm dei reiproi delle rdii on 0 Somm dei qudrti dei reiproi delle rdii 8 Somm dei ui dei reiproi delle rdii on 0 on 0 Appunti di Alger oomer.virgilio.it/mimmoorrdo
2 Appunti di Alger oomer.virgilio.it/mimmoorrdo Dimostrzione (on 0 ) Dimostrzione 9 Dimostrzione 0 Dimostrzione Dimostrzione Dimostrzione m m Dimostrzione Dimostrzione 6 : oppure ( ) ( ) ( ) ( )
3 Equzioni prmetrihe di II grdo (senz ondizioni) Per risolvere un equzione prmetri di II grdo oorre:. Trsformre l equzione nell su form noni 0 Rogliere fttor omune i termini in e i termini in, per determinre i oeffiienti,, dell equzione, in funzione del prmetro t. Studire il so 0 (l equzione divent di I grdo) Determinre il vlore di k per il qule 0 Sostituire tle vlore nell equzione e determinre l soluzione. Studire il so 0 (l equzione divent pur) Determinre il vlore di k per il qule 0 Sostituire tle vlore nell equzione e determinre le soluzioni,. Studire il so 0 (l equzione divent spuri) Determinre il vlore di k per il qule 0 Sostituire tle vlore nell equzione e determinre le soluzioni, 5. Clolre il Determinre il vlore del 6. Studire il so > 0 (l equzione mmette due soluzioni reli e distinte) Risolvere l disequzione > 0 per determinre il vlore di k per il qule > 0 Determinre le soluzioni,. Studire il so 0 (l equzione mmette due soluzioni reli e oinidenti) Risolvere l equzione 0 per determinre il vlore di k per il qule 0 Determinre le soluzioni, 8. Studire il so < 0 (l equzione mmette due soluzioni omplesse e distinte) Risolvere l disequzione < 0 per determinre il vlore di k per il qule < 0 9. Rppresentre il qudro rissuntivo dell disussione dell equzione Rppresentre il qudro rissuntivo on il seguente shem Vlore del prmetro Tipo di Equzione Soluzioni k 5 Equzione di I grdo 5 k Equzione Pur, k Equzione Spuri 0 ; 5 k k < e 5 k k Equzione Complet on > 0, k k Equzione Complet on 0, k > e k Equzione Complet on < 0 Soluzioni Complesse Appunti di Alger oomer.virgilio.it/mimmoorrdo
4 Esempio k k k 0. ( k ) ( k ) k 0 ; ( k ) ; ( ). 0 ; Equzione di I ; k 0 ; k ; k k ; [ ( ) ] ( ) 0 ; 0 ;. 0 ; Equzione Pur; k 0 ; k ; 0 ; 0 ; 9 0 ; 9 0 ;. 0 ; Equzione Spuri; k 0 ; k ; 9 0; ( ) ( ) ( ) 5. k k k 9 k k k 6. > 0 ; k > 0 ;. 0 ; k 0 ; 8. < 0 ; k < 0 ; 0 9 k 9 k ( k k k ) k > ; k ; k < ;, ( k ) ( k ) k k, Vlore del prmetro Tipo di Equzione Soluzioni k Equzione di I grdo k Equzione Pur ; k Equzione Spuri 0 9 k > e k ; ( k ) k Equzione Complet on > 0, ( k ) k ; k k Equzione Complet on 0, k < Equzione Complet on < 0 Soluzioni Complesse Appunti di Alger oomer.virgilio.it/mimmoorrdo
5 Esempio ( k ) k k k k k ( k ). k k( k ) ( k ) ; m..m. ( k ) 0. ( k ) ( k ) ( k ) k k k ; k 0 k ; ( ) ( k ) k 0 k ; ( k k ) ; k ; ( ) k ;. 0 ; Equzione di I ; ( k ) 0 ; k 0 ; k non ettile, perhé Dominio. Pertnto l equzione non è mi di I grdo.. 0 ; Equzione Pur; k k 0 ; k e k k non ettile, perhé Dominio. per k 0 ; 0 ; 0 ; ;, ; Equzione Spuri; k 0 ; k 0 ; non ettile, perhé 0 Dominio. Pertnto l equzione non è mi spuri. 6. ( ) ( ) k k k k 6k 9k 56k 6k 8k 6k 6k 6k 6k k 9k 6k. > 0 k ( k ) ( k ) ( ) ( 6k 8k ) ; ( ) ( ) > 0 k k ; k e ( k k ) ( k ) ( k ), ( k ) k k ( k 9k ) k k ( k ) k k ( k ) k k ( k ) 9k 9k 8k k k ( k ) 6k k ( k ) k ( k ) ( k ) ( k ) k ( k ) ( k ) ( k ( k ) k ( k ) ( k ) Appunti di Alger oomer.virgilio.it/mimmoorrdo 5
6 8. 0 ; per Per k. Per k l equzione perde di signifito, perhé Dominio 8 6, k 9. < 0 ; per nessun vlore di k Vlore del prmetro Tipo di Equzione Soluzioni k 0 ; e k L equzione perde di signifito Per nessun vlore di k Equzione di I grdo k Equzione Pur Per nessun vlore di k Equzione Spuri k 0 ; k e k Equzione Complet on > 0 k Equzione Complet on 0 Per nessun vlore di k Equzione Complet on < 0, 9 k, ( k ) ( k ) Appunti di Alger oomer.virgilio.it/mimmoorrdo 6
Valore del parametro Tipo di Equazione Soluzioni Equazione di I grado x = 4. Equazione Spuria x 1 = 0 x 2 = 5 Equazione Completa con < 0
Equzioni letterli di II grdo Un equzione letterle di II grdo è un equzione che contiene, oltre l letter che rppresent l incognit dell equzione, ltre lettere, dette prmetri, che rppresentno numeri ben determinti,
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86 Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit ) L definizione di equzione di seondo grdo d un inognit ) L risoluzione delle equzioni di
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8 Equazioni parametriche di II grado
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Δlessio elli Studente di Mtemti Spienz - Università di Rom Diprtimento di Mtemti Guido Cstelnuovo we-site: www.selli87.ltervist.org EQUAZIONI DI II GRADO. DEFINIZIONI Si die equzione di seondo grdo nell
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Equazioni di secondo grado Capitolo
Equzioni i seono gro Cpitolo Risoluzione lgeri Verifi per l lsse seon COGNOME............................... NOME............................. Clsse.................................... Dt...............................
a è detta PARTE LETTERALE
I MONOMI Si die MONOMIO un espressione letterle in ui le unihe operzioni presenti sino il prodotto e l divisione. Esempio è detto COEFFICIENTE del monomio e è dett PARTE LETTERALE Un monomio si die ridotto
61 LE EQUAZIONI DI 2 GRADO - SECONDA PARTE. a) RELAZIONI FRA SOLUZIONI E COEFFICIENTI IN UN EQUAZIONE DI 2 GRADO
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EQUAZIONE ALGEBRICA DI SECONDO GRADO o QUADRATICA in una incognita
EQUAZONE ALGEBRCA D SECONDO GRADO o QUADRATCA in un inognit 1 form omplet oeffiienti b 4 (disriminnte) formule risolutive b se > due rdii reli e distinte (se e hnno segni disordi è positivo) b b (form
L IPERBOLE. L iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi.
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Somposizione i un polinomio Cpitolo Somposizione i polinomi 1 erifi per l lsse prim COGNOME............................... NOME............................. Clsse.................................... Dt...............................
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j Verso l suol superiore +l lolo letterle Monomi Polinomi e prodotti notevoli Equzioni Monomi Il monomio x 4 y è simile : x 4 y 5 +x 4 y x y Due monomi sono simili se hnno l prte letterle ugule e, siome
Disequazioni di secondo grado
Disequzioni i seono gro Cpitolo Risoluzione lgeri Verifi per l lsse seon COGNOME............................... NOME............................. Clsse.................................... Dt...............................
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Equazioni di primo grado
Cpitolo Equzioni i primo gro Equzioni i primo gro erifi per l lsse prim COGNOME............................... NOME............................. Clsse.................................... Dt...............................
Le equazioni di secondo grado
Le equzioni di seondo grdo Un equzione è di seondo grdo se, dopo ver pplito i prinipi di equivlenz, si può srivere nell form on 0,, R Not: è nhe detto termine noto. Esempio Sviluppimo l seguente equzione:
Disequazioni di primo grado
Cpitolo Disequzioni i primo gro Risoluzione lgeri Verifi per l lsse seon COGNOME............................... NOME............................. Clsse.................................... Dt...............................
Equazioni di secondo grado intere letterali
Equazioni di seondo grado intere letterali Esempio. k ) x k + )x + k + 0 a k b k + ) k + Disussione. Se k 0 k l equazione si abbassa di grado. Disutiamo il aso a 0 aso in ui l equazione diventa di primo
= det b, a, b, c R 3. In quest ottica, il determinante del terzo ordine e caratterizzato dalle seguenti proprieta : a a. c c
Determinnti n = 3. Propriet Possimo rigurdre il determinnte di un mtrie del terzo ordine ome un funzione delle sue olonne: det b = det [, b,,, b, R 3. In quest otti, il determinnte del terzo ordine e rtterizzto
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I NUMERI REALI E I RADICALI Recupero RECUPERO EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON COEFFICIENTI IRRAZIONALI COMPLETA Risolvi l disequzione ( ). ( ) ( ) ( ) Elimin le prentesi clcolndo il prodotto. Applic l regol
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32 Capitolo 2. Radicali Esercizi dei singoli paragrafi ; ; ; , , 3 25, 100, 125; 216; 8 27 ;
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Sezione Esercizi ; ; ; 1 4. f ) 13 + g ) , 100, 125; f ) 216; 8 27 ; ; e ) g ) 0; h )
Sezione Esercizi Esercizi Esercizi dei singoli prgrfi - Rdici Determin le seguenti rdici qudrte rzionli (qundo è possiile clcolrle) 00 l ) m ) n ) o ) 0,0 0,0 0,000 0, Determin le seguenti rdici qudrte
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, x 2. , x 3. è un equazione nella quale le incognite appaiono solo con esponente 1, ossia del tipo:
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