Statistica corso base Canale N Z prof. Francesco Maria Sanna. Prove scritte di esame a.a

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1 Statistica corso base Canale N Z prof. Francesco Maria Sanna Prova scritta del 8/1/2013 Prove scritte di esame a.a Esercizio 1 (5 punti). Nella seguente tabella è riportata la distribuzione delle frequenze relative di 100 famiglie secondo la classe di reddito annuo (in migliaia di euro): Reddito Freq. relative 0,48 0,25 0,15 0,10 0,02 a) rappresentare la distribuzione mediante istogramma ed individuare la classe modale b) calcolare la mediana, la media aritmetica e la varianza c) misurare la concentrazione tramite un opportuno indice e disegnare la curva di concentrazione d) valutare l asimmetria della distribuzione. Esercizio 2 (7 punti). Per un campione di lavoratori di due stabilimenti si dispone delle seguenti informazioni: Stabilimento A B Totale Numero di lavoratori N medio di anni di servizio 3 4 Varianza della distribuzione del n anni di servizio 6,25 9 a) determinare media e varianza della distribuzione dell anzianità di servizio per il complesso dei 100 lavoratori b) ipotizzando la normalità delle popolazioni parentali, relativamente ai lavoratori dello stabilimento A costruire gli intervalli di confidenza per la media e per la varianza (α = 0,05) c) verificare, sempre al livello α = 0,05, se l anzianità media di servizio può considerarsi la stessa nei due stabilimenti. Esercizio 3 (2 punti). Dare la definizione di media potenziata ed illustrarne le principali proprietà. Inoltre, relativamente ad un carattere X, individuare, motivando la risposta, i valori della media geometrica, della media aritmetica e della media armonica tra quelli riportati alla rinfusa di seguito: 15,81 14,28 17,50. Esercizio 4 (4 punti). Una moneta truccata è lanciata in aria 4 volte. Sapendo che la probabilità di osservare la faccia TESTA è di 0,35: a) costruire e rappresentare graficamente sia la distribuzione di probabilità che la funzione di ripartizione della v.c. X= numero di volte che si presenta TESTA e calcolarne la media e la varianza. b) calcolare la probabilità che la faccia TESTA si presenti un numero pari di volte. Esercizio 5 (2 punti). Sapendo che le misure ripetute di una data grandezza fisica si distribuiscono normalmente e che la differenza tra il settimo e il terzo decile della distribuzione è pari a 0,84 mm, calcolare la varianza della distribuzione stessa. Esercizio 6 (3 punti). Illustrare analiticamente il procedimento che seguireste per determinare le stime dei parametri della seguente funzione interpolatrice: Y = a + bx 3. In questa situazione, il coefficiente di determinazione R2 può essere utilizzato per misurare la bontà di adattamento dell interpolazione? (motivare la risposta fornita). Esercizio 7 (10 punti). Si vuole valutare se il numero annuo di ore di giorni dal lavoro possa dipendere dall età; a tal fine, su un campione casuale di 12 lavoratori, si sono rilevati i seguenti dati: Giorni di assenza Età a) determinare i parametri della retta di regressione dei giorni di assenza in funzione dell età; b) verificare, al livello α = 0,05, la significatività della regressione mediante analisi della varianza;

2 c) determinare, sempre al livello α = 0,05, gli estremi dell intervallo di confidenza del numero medio previsto di giorni di assenza per un lavoratore di 35 anni; d) determinare altresì, sempre al livello α = 0,05, gli estremi dell intervallo di confidenza del numero previsto di giorni di assenza per il lavoratore Mario Rossi, di 35 anni. Prova scritta del 5/2/2013 Esercizio 1 (punti 17) - Su un campione di 10 studenti immatricolati nell'anno accademico , si sono rilevati il voto conseguito all'esame di maturità e il numero di esami superati nel primo anno di corso: Voto maturità N. esami superati a) Relativamente agli esami superati, determinare moda, mediana, media aritmetica, coefficiente di variazione. b) Sotto l ipotesi di normalità della distribuzione parentale, determinare, al livello α = 0,05, l intervallo di confidenza per il voto medio conseguito alla maturità. Volendo ripetere l indagine, al medesimo livello di significatività, quale è la numerosità campionaria che assicura una ampiezza complessiva dell intervallo non superiore a 4? c) Stimare i parametri della retta di regressione del numero di esami superati in funzione del voto di maturità e misurare la bontà di adattamento del modello. d) Al livello α = 0,05, testare la significatività della regressione. e) Tenendo conto della verifica di cui al punto d, determinare gli estremi dell intervallo di confidenza del numero medio di esami superati in corrispondenza di un voto di maturità pari a 70. Esercizio 2 (punti 6) Data la seguente distribuzione di un campione di fruitori del mezzo pubblico in un area metropolitana: Mezzo utilizzato Condizione lavorativa prevalentemente operaio impiegato lav. autonomo Bus urbano Metropolitana Bus extraurbano a) Determinare la probabilità che un operaio usi prevalentemente la metropolitana b) Determinare la probabilità che, estraendo un individuo a caso, questi sia un operaio che usa prevalentemente la metropolitana c) Determinare la probabilità che, estraendo un individuo a caso, questi sia un operaio, sapendo che usa prevalentemente la metropolitana d) Misurare la connessione tra i due caratteri (è sufficiente l impostazione del calcolo). Esercizio 3 (punti 2) Su una distribuzione doppia (X;Y) e stato calcolato il coefficiente ρ di Spearman, risultato pari a + 1. Sulla base di tale risultato, che cosa possiamo argomentare circa la correlazione lineare tra X e Y? Esercizio 4 (punti 5) - In una pubblicità la ditta X afferma che, in Italia, nel 2012 il prezzo medio del bene A è stato pari a 12, con una crescita inferiore a quella dell inflazione nell ultimo quinquennio. Un associazione di difesa dei consumatori, temendo che possa trattarsi di pubblicità ingannevole, vuole determinare quale poteva essere, al massimo, il prezzo medio del bene A nel 2007 tale da non contraddire l informazione pubblicitaria.. Sapendo che il coefficiente di rivalutazione ISTAT per trasformare prezzi del 2007 in prezzi del 2012 è pari a 1,117, quale è tale valore? La stessa associazione, inoltre, vuole controllare se effettivamente il prezzo medio del bene A nel 2012 è stato di 12, e non invece superiore. A tale scopo, considera un campione di 10 punti vendita, nei quali rileva un prezzo medio di 12,42, con scostamento quadratico medio di 0,6. Dopo aver specificato nel modo opportuno il sistema di ipotesi, verificare, al livello α = 0,01, se l affermazione della ditta produttrice è compatibile con la risultanza campionaria.

3 Esercizio 5 (punti 3) Le due v.s. X e Y hanno uguale varianza. Quale relazione lega, in questa situazione particolare, i valori dei coefficienti angolari delle due rette di regressione e del coefficiente di correlazione lineare? E possibile che il coefficiente angolare b y/x valga 2,37? Prova scritta del 16/4/2013 (appello straordinario) Esercizio 1 (punti 12) Data la seguente distribuzione cumulata di 60 famiglie secondo la spesa mensile per generi di abbigliamento (in ): Spesa fino a 50 fino a 80 fino a 120 fino a 200 oltre 200 Freq. cumulate Sapendo che le due famiglie con la spesa più alta spendono complessivamente 500 euro, determinare classe modale, media aritmetica, mediana, coefficiente di variazione della distribuzione. Rappresentare graficamente la distribuzione. Disegnare inoltre la curva di concentrazione e misurare l asimmetria della distribuzione. Ipotizzando che si tratti di un campione casuale di famiglie, costruire gli intervalli di confidenza al 95% per la media aritmetica e per la varianza... Esercizio 2 (punti 3) La signora Luisa, nel 1952, regalava al suo nipotino Fabio 25 lire per comprarsi un cono gelato. Nel 2012 Fabio, diventato a sua volta nonno, regala al suo nipotino Sergio 1,5 euro, sempre per comprarsi un cono. Sapendo che il coefficiente ISTAT per trasformare valori monetari del 1952 in valori del 2012 è pari a 31,344, se il prezzo del cono gelato, dal 1952 al 2102, avesse avuto la stessa dinamica dell indice generale dei prezzi al consumo, quanti coni avrebbe potuto acquistare Sergio con 1,5 euro? Di quanto si è ridotto (in percentuale) il potere di acquisto della moneta in termini di coni gelato? Esercizio 3 (punti 3) - Una variabile Y è distribuita normalmente con media 2 e varianza 9. Un altra variabile X, indipendente da Y, è distribuita normalmente con media 1 e varianza 4. Si definisce una terza variabile Z = 2X +Y. Calcolare la probabilità che: a) Z sia compresa tra 6 e 14 b) Z sia maggiore di 10. Esercizio 4 (punti 2) Si consideri un campione di n = 3 elementi tratto da un universo normale di media µ e si ipotizzi di voler utilizzare lo stimatore T = (X X 2 + X 3 )/3 per stimare la media dell universo. Si misuri la distorsione di tale stimatore. Esercizio 5 (punti 10) Ad un campione casuale di 10 studenti universitari è stato chiesto di indicare il numero medio giornaliero di ore di studio nella settimana che precede un esame ed il numero di esami superati nei primi due anni di corso, ottenendo i seguenti risultati: N. esami Ore di studio Ipotizzando la normalità della distribuzione parentale: a) Determinare i parametri della retta di regressione del numero di esami superati in funzione del numero medio di ore di studio e valutare la bontà di adattamento del modello. b) Testare la significatività della regressione, al livello α = 0,05. c) Tenendo conto del risultato ottenuto al punto b, sempre al livello α = 0,05, determinare gli estremi dell intervallo di confidenza del numero di esami superati per uno studente che studi mediamente 7 ore al giorno. Esercizio 6 (punti 3) Su una tabella a doppia entrata di dimensione 6x5, si sono ottenute le seguenti misure di dipendenza: r 2 = 0,22; η 2 y/x = 0,87. Può essere utile, in questa situazione, passare dall interpolazione con una retta a quella con una cubica? (MOTIVARE la risposta fornita).

4 Prova scritta del giorno 11/6/2013 Di seguito si forniscono alcune informazioni tratte dalle elaborazioni dell Agenzia delle Entrate sulle ONLUS destinatarie dei fondi del 5 x 1000 nell anno 2010: 1) le scelte espresse sono state , per un importo complessivo di ,33; 2) le ONLUS presenti nell elenco sono in tutto 31150; di queste solo 8 hanno registrato più di scelte ciascuna, altre 66 ne hanno collezionato tra e mentre, all opposto, non sono state indicate da alcun contribuente e altre hanno ricevuto da 1 a 10 indicazioni ciascuna; 3) le 8 ONLUS che hanno registrato più di scelte ciascuna (e ricevuto i maggiori importi complessivi) sono: Denominazione N. scelte Importo delle scelte (.000) (milioni di ) EMERGENCY 363 9,956 MEDICI SENZA FRONTIERE 249 7,944 AIRC 258 5,746 COM. ITALIANO UNICEF 231 5,684 AIL 193 4,615 ACLI 216 3,216 LEGA DEL FILO D'ORO 120 3,145 FED. NAZ. ASSOC. AUSER 230 2,626 4) le prime 1000 ONLUS per importo ricevuto dalle scelte espresse sono così distribuite per numero di scelte: N. scelte N. ONLUS oltre da a da a da a da 101 a da 11 a da 1 a 10 1 A - Con riferimento al punto 1, calcolare l importo medio di ciascuna scelta (punti 1). B - Con le informazioni di cui al punto 2, costruire una distribuzione delle ONLUS, illustrando brevemente i limiti della ricostruzione effettuata (punti 2). C - Sempre utilizzando le informazioni di cui al punto 2, si ipotizzi di estrarre dall elenco dei nomi, con re-immissione, un campione casuale semplice di 100 ONLUS; quale è la probabilità che tra le estratte ve ne sia una delle prime 8 per importi ricevuti? e che non ve ne sia nessuna di quelle che non hanno avuto alcuna indicazione? [è richiesta solo l impostazione dei due calcoli] (punti 4). D - Illustrare brevemente i motivi che, in una situazione del tipo di quella qui considerata, farebbero preferire un campionamento stratificato (punti 2). E - Con riferimento alle 8 ONLUS di cui al punto 3, interpolare linearmente gli importi in funzione del numero di scelte e misurare la correlazione (punti 6). F - Sempre con riferimento alle 8 ONLUS di cui al punto 3, calcolare distintamente per ciascuna di esse l importo medio di ciascuna scelta ed analizzare il loro posizionamento rispetto al valore medio calcolato al punto 1 (punti 2). G - Con riferimento alle informazioni di cui al punto 4, calcolare media aritmetica, mediana, coefficiente di variazione e un indice di asimmetria (punti 5). H - E compatibile con il complesso dei dati sopra riportati che vi sia una ONLUS a favore della quale si è registrato un importo medio per scelta pari a 730 euro? Da questo valore, se plausibile, che cosa potremmo concludere circa il reddito medio dichiarato dai contribuenti che hanno destinato a quella ONLUS il loro 5 x 1000? (punti 3). I - Si forma un campione casuale di 80 ONLUS con sede al Nord, sul quale si calcola un importo medio ricevuto da ciascuna di 7543 euro, con uno sqm corretto di 1422 euro. Costruire, al livello α= 0,05, gli intervalli di confidenza per la media e la varianza dell universo delle ONLUS del Nord (punti 4)

5 L - Su un analogo campione di 60 ONLUS con sede al Centro si è invece calcolato un importo medio ricevuto da ciascuna di 6821 euro, con uno sqm corretto di 1788 euro. Verificare, al livello α = 0,05, l ipotesi che l importo medio ricevuto dalle ONLUS del Centro non differisca significativamente da quello ricevuto dalle ONLUS del Nord (punti 3). M - Con riferimento alle ultime 2 richieste, essendo il file con i dati per tutte le ONLUS liberamente accessibile, esiste un modo alternativo di procedere, con maggiore certezza sui risultati? (punti 2) Prova scritta del 9/7/2013 Il peso delle confezioni di spaghetti prodotti dalla ditta XYZ si distribuisce normalmente, con media g 500 e scostamento quadratico medio g 5. Si estrae a caso una confezione: quale è la probabilità che il suo peso sia inferiore a g 493? (punti 2) Determinare il peso della confezione che, nella distribuzione ordinata, rappresenta il 99 percentile. (punti 2) Una associazione di consumatori preleva a caso, su tre distinte linee di confezionamento, 15 confezionicampione, sulle quali rileva un peso medio di g 497,2. Costruire, al livello α = 0,05, l intervallo di confidenza per il peso medio. (punti 2) Le 15 confezioni di cui sopra risultano così ripartite per linea di confezionamento: Line Peso (g) a A B C Sottoporre a verifica, al livello α = 0,05, l ipotesi che non vi sia differenza significativa nel peso medio delle confezioni tra le diverse linee di confezionamento. (punti 6) La stessa associazione svolge poi un indagine tra 600 clienti di un supermercato, ottenendo i seguenti risultati: Maschi Femmine Preferiscono XYZ Preferiscono un altra marca Indifferenti Verificare, al livello α = 0,05, l ipotesi che, nell universo dei consumatori, coloro che preferiscono la pasta della ditta XYZ siano il 20%. (punti 2) Determinare la probabilità che: - un consumatore maschio preferisca la pasta XYZ (punti 1) - un consumatore che preferisce la pasta XYZ sia femmina (punti 1) Considerando i soli consumatori che hanno espresso una preferenza, misurare la connessione tra genere e preferenza espressa (punti 3) Il risultato ottenuto può ritenersi significativo, al livello α = 0,05? (punti 2) Nel supermercato oggetto dell indagine, a maggio 2013 il prezzo di una confezione di spaghetti XYZ è risultato pari a 0,87. Sapendo che l indice ISTAT per tradurre prezzi di maggio 2005 in prezzi di maggio 2013 è pari a 1,173, individuare quale sarebbe dovuto essere il prezzo di quella confezione di spaghetti a maggio 2005 sotto l ipotesi di invarianza del prezzo in termini reali. (punti 2) Controllando nei listini del 2005, è risultato che a maggio di quell anno il prezzo era pari a 0,68. Quale è stata la percentuale reale di variazione del prezzo? (punti 1) A quale tasso medio annuo sono cresciuti i prezzi correnti di una confezione di spaghetti XYZ negli 8 anni considerati? (punti 2) Per ciascuna delle seguenti affermazioni, indicare se è vera (V) o falsa (F): (risposta esatta punti 1; risposta errata punti -0,5) - Lo scostamento quadratico medio è sempre minore della varianza V F - Il teorema di Byenaimè-Chebychev permette di determinare l esatta frequenza relativa di casi compresi in un dato intervallo V F - Uno stimatore consistente è sempre corretto V F

6 - Le stime dei minimi quadrati dei parametri della retta di regressione sono non distorte V F - In una distribuzione simmetrica, tutti i momenti centrali di ordine dispari sono nulli V F - Sia data la seguente trasformazione lineare di X: Y = X. Se il terzo quartile di X vale 4, allora il terzo quartile di Y vale 10 V F - Se Cov(X;Y) = 0, allora vi è indipendenza assoluta fra i due caratteri V F - Per interpretare correttamente il valore dell indice assoluto di eterogeneità, occorre conoscere il numero di casi osservati V F Prova scritta del 6/9/ In due Comuni, A e B, la popolazione residente è classificata per nazionalità alla nascita. Valutare in quale dei due Comuni vi è maggiore eterogeneità per nazionalità (punti 3). COMUNE A COMUNE B Cittadinanza N. residenti Cittadinanza N. residenti Italia 740 Italia 1255 Spagna 35 Francia 320 Francia 17 Germania 220 Tunisia 6 Austria 120 Egitto 2 Svizzera 80 Slovenia 5 Totale 800 Totale Data la seguente distribuzione di frequenze, determinare: media aritmetica, mediana, coefficiente di variazione, differenza interquartile (punti 4). X n Ipotizzando la trasferibilità del carattere X, disegnare la curva di concentrazione (punti 2). Ipotizzando che i dati rappresentino un campione casuale tratto da un universo normale, determinare gli intervalli di confidenza per la media e per la varianza (α = 0,05) (punti 4). 3. Su un campione casuale di 10 piantine sono stati rilevati l altezza a due settimane e il numero medio di ore giornaliere di soleggiamento, ottenendo i seguenti risultati: Altezza (mm) Ore di soleggiamento Determinare i parametri della retta di regressione dell altezza in funzione dell umidità e misurare la bontà di adattamento del modello proposto (punti 6). Ipotizzando la normalità dell universo parentale, testare la significatività della regressione (α = 0,05) e stimare l intervallo di confidenza per l altezza media di una pianta sottoposta a un soleggiamento medio di 6 ore giornaliere, sempre al livello α = 0,05 (punti 5). 4. Per studiare la relazione tra ipertensione e fumo è stato esaminato un campione casuale di 180 soggetti, ottenendo i seguenti risultati: SOGGETTI IPERTENSIONE Non fumatori Fumatori moderati Grandi fumatori SI NO Misurare la connessione tra ipertensione e fumo e verificare (α = 0,01) la significatività del risultato ottenuto (punti 4). 5. Un dado è stato truccato in modo tale che la faccia 4 abbia probabilità di presentarsi doppia rispetto alle altre facce, tutte equiprobabili.

7 Si effettuano 8 lanci del dado; misurare la probabilità di ottenere: due volte la faccia 4 (punti 1) non più di due volte una faccia recante un numero pari (punti 1). Definito come successo l uscita della faccia 4, determinare media e varianza della v.c. X = numero di successi (punti 2). 6. Due variabili X e Y hanno la stessa varianza; in questa situazione quali, tra i seguenti, non sono valori accettabili per il coefficiente angolare della retta di regressione di X su Y (punti 2). Motivare la risposta fornita: - 2-0,7 0 0,28 0,8 1,5.