Ottimizzazione nella gestione dei progetti Capitolo 4: la gestione dei costi (Programmazione multimodale): formulazioni

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1 Ottimizzazione nella gestione dei progetti Capitolo 4: la gestione dei costi (Programmazione multimodale): formulazioni CARLO MANNINO Università di Roma La Sapienza Dipartimento di Informatica e Sistemistica

2 Programmazione Multimodale Esistono diverse modalità di esecuzione di un attività; a ciascuna di queste modalità è associata una durata e un costo (Programmazione Multimodale) Analizzeremo le relazioni fra possibili piani, durate delle attività e costo complessivo del progetto. In particolare, considereremo il problema di scelta della durata per soddisfare vincoli di deadline, per minimizzare i costi complessivi quando i costi delle attività crescono al diminuire delle durate Tratteremo quindi i casi di andamenti dei costi lineari, concavi e convessi.

3 Crash time: costi lineari IPOTESI: Per qualche attività i, esistono infinite modalità d esecuzione. Sono note due durate: la durata massima u i (spesso detta semplicemente durata) la durata minima l i detta crash time. Caso lineare: il costo dell attività varia linearmente con la durata Costo Crash point l i Tempo di completamento dell attività u i

4 j Prec durata durata di costo costo di costo massima crahs minimo crash marginale , , (6,4) 2 (2,1) (3,3) (4,2) (2,2) 7 Un esempio (6,3) 8 9 Rete semplice La durata (massima) è di 24 settimane. Il costo (minimo) del progetto è pari a 500. Che fare se voglio diminuire di un unità il tempo di completamento? (3,2) 12 Devo diminuire la durata di un attività sul cammino critico. Mi conviene accelerare l attività 9 che ha costo marginale minimo e pari a 20. Il costo di completamento cresce (520). La durata complessiva diventa

5 Bozza algoritmo di crashing In generale: per ridurre di un unità il tempo di completamento posso ridurre di un unità la durata di un attività i tale che 1. i sia sul cammino critico 2. la durata di i non sia al suo crash time 3. il costo marginale sia minimo Il passo base può essere ripetuto finché: 1. Non posso più ridurre il tempo di alcuna attività 2. Ci sono 2 o più cammini critici Nel caso 2. potrei ancora applicare il passo base ma non ho più la certezza che sto operando la riduzione più economica.

6 L esempio (6,4) 2 1 (2,1) 3 (3,3) (4,2) 4 6 (2,2) 5 7 (6,3) (3,2) j Prec durata durata di costo di costo costo crahs crash marginale , , Diminuisco 9 di tre unità: il cammino critico non varia Costo: 560 Tempo: 21 sett. (6,4) 2 (2,1) (2,2) 5 (3,3) (4,2) 7 10 (3,2) (3,3) Diminuisco 10 di un unità: il cammino critico non varia Costo: 600 Tempo: 20 sett. (6,4) 2 (2,1) (2,2) 5 (3,3) (4,2) 7 10 (2,2) (3,3)

7 1 (6,4) 2 (2,1) 3 (3,3) (4,2) 4 6 (2,2) 5 7 (6,3) L esempio (3,2) j Prec durata durata di costo di costo costo crahs crash marginale , , Diminuisco 6 di due unità: il cammino critico non varia Costo: 680 Tempo: 18 sett. (6,4) 2 (2,1) (2,2) 5 (3,3) (2,2) 7 10 (2,2) (3,3) Diminuisco 2 di due unità: il cammino critico non varia Costo: 820 Tempo: 16 sett. (4,4) 2 (2,1) (2,2) 5 (3,3) (2,2) 7 10 (2,2) (3,3)

8 Cammini critici multipli costo Costo di completamento tempo OSS. Forma convessa della funzione di costo del progetto in funzione del suo tempo di completamento. Che succede se ho più cammini critici? 1 (4,1) (4,2) 3 2 (3,1) 4 5 j Prec durata durata di costo massima crahs marginale , Se scelgo di decrementare l attività con minimo costo marginale minimo non riduco il tempo di completamento. Come si può risolvere il problema in presenza di cammini critici multipli? Devo ridurre la durata di qualche attività su tutti i cammini critici.

9 Formulazione calcolo costo di completamento Il problema del calcolo del costo di completamento in presenza di deadline può essere formulato come problema di programmazione lineare (se costi lineari). G = (V, A) rete di precedenze di tipo FS min (0) senza time-lag (ASSUNZIONE) c i il costo marginale di riduzione della durata dell attività i V. l i,u i durata minima e massima i V. s i R + istante d inizio dell attività i V d i R + durata dell attività i V y i R + riduzione (rispetto u i ) della durata dell attività i V Vincoli Durata effettiva attività i s j -s i d i = u i y i per ogni ij A s n T y i u i l i per ogni i V y i, s i 0 per ogni i V Variabili di decisione Crash(G,T) Funzione Obiettivo min c T y = min c 1 y c n y n

10 La curva del costo di completamento Strumento utile per il project manager Andamento della funzione di costo di completamento al variare di T Programmazione parametrica 1. Calcola upper bound T u e lower bound T l per T a. Lower bound T l : makespan quando tutte le attività hanno durata di crash b. Upper bound T u : makespan quando tutte le attività hanno durata massima 2. Risolvi sequenza di problemi Crash(G,T) variando T nell intervallo [T l, T u ]. 3. Disegna il grafico delle soluzioni (curva di costo). costo Curva di costo di completamento tempo

11 Problema generale OSS. In genere la funzione di costo c (d) = c (u-y) = c(y) non è una funzione lineare. Il problema generico di trovare le durate ottime (mincostcrash time problem) si scrive (relazione FS min (0)) vincolo di precedenza min c(y) min cost crash time problem s j -s i d i = u i y i s n T y i u i l i y i, s i 0 OSS. La formulazione può essere estesa al caso reti generalizzate modificando la parte costante del vincolo di precedenza Esempio: relazione START/FINISH (max) per ogni ij A per ogni i V per ogni i V s i + SF ij max f j s i + SF ij max s j + d j s i - s j + u j y j SF ij max = K ij y j

12 Costi convessi Un tipico andamento della funzione di costo avrà forma convessa (tanto più diminuisco la durata dell attività, tanto maggiore sarà il costo incrementale.) Se i costi sono convessi (concavi) per ogni attività, anche la funzione di costo del progetto (somma dei costi delle singole attività) sarà convessa (concava). Esistono metodi efficienti per la minimizzazione di funzioni convesse su politopi Approccio alternativo: approssimare funzione di costo con curva lineare a tratti durata costo costo marginale 2.5 c1 7.5 c c3 Se la curva del costo dell attività i è approssimata da k i tratti di retta, avremo associati i k i costi marginali c i1,, c ik, con c i1 < < c ik.

13 Formulazione con costi convessi Chiamiamo u i0, u i1,, u ik le ascisse degli estremi di ciascun tratto (breakpoint). attività A Per ogni i V, t k(i), la variabile y it misura la riduzione della durata dell attività i (rispetto alla sua durata massima) a costo marginale pari a c it u durata costo ua ua ua costo marginale 2.5 ca1 10 ca2 k(i) + 1 numero di breakpoint Introduciamo variabili y i1,, y ik(i), per ogni i. y ya1 ya2 Informalmente: quanto riduco la durata di i nell intervallo compreso fra u it-1 e u it. La riduzione di durata a costo c it non può eccedere l intervallo corrispondente y iq u iq-1 u iq = T iq per ogni i V, q = 1,,k(i) La riduzione complessiva è pari alla somma delle riduzioni ai vari costi y i = y i1 + + y ik(i) per ogni i V

14 Formulazione con costi convessi attività A u durata costo ua ua ua T A1 = u A0 - u A1 = 4 T A2 = u A1 u A2 = 8 costo marginale 2.5 ca1 10 ca2 Nell esempio, se l attività A dura 14 settimane si ha una riduzione di 10 unità. una riduzione di 4 unità a costo 2.5: y A1 = 4 una riduzione di 6 settimane a costo 10: y A2 = 6 incremento di costo complessivo: c A1 y A1 + c A2 y A2 = 70 ritardo complessivo: y A1 + y A2 = 10 y ya1 ya2 Si osservi che y A1 < T A1 y A2 = 0 vincolo di continuità

15 Formulazione (non lineare) con costi convessi min c y it i V t= 1,..., k ( i) Vincoli s j -s i u i y i s n T it Funzione Obiettivo ij A y i = y i1 + + y ik(i) i V y iq u iq-1 u iq i V, q = 1,,k(i) y iq < T iq y iq+1 = 0 i V, q = 1,,k(i)-1 vincolo di continuità y, s 0 Problema: come esprimere il vincolo di continuità? E possibile semplicemente rimuoverlo?

16 Formulazione con costi convessi:esempio attività A u durata costo ua ua ua costo marginale 2.5 ca1 10 ca2 y ya1 ya min 2.5 y A y A2 + M y A =y A1 + y A2 y A y A y A1 < T A1 y A2 = 0 OSS: se si rimuove il vincolo di continuità sono ammissibili soluzioni per cui y iq < u iq-1 u iq e y iq+1 > 0 Es. y A1 = 3 y A2 = 2. Non ha significato in pratica!

17 Struttura delle soluzioni ottime Fortunatamente, tutte le soluzioni ottime soddisfano necessariamente il vincolo di continuità. Infatti: Th. 4.1(Realizzabilità delle soluzioni ottime)sia (s *,y * ) ottima. Allora y * iq < u iq-1 u iq implica y * iq+1 = 0. Dim. Per assurdo. Sia y * iq+1 > 0 e y * iq < u iq-1 u iq. Poni ε = min(y * iq+1, u iq-1 u iq -y * iq ). Si ha ε > 0. Costruisco nuova soluzione ammissibile y ponendo y iq = y * iq + ε e y iq+1 = y * iq+1 - ε. Tutte le altre componenti restano inalterate. Variazione di costo: c iq y iq + c iq+1 y iq+1 - c iq y * iq c iq+1 y * iq+1 = c iq (y iq - y * iq ) + c iq+1 (y iq+1 - y * iq+1) = c iq (ε) + c iq+1 (- ε) Ovvero ε (c iq c iq+1 ) < 0. Quindi la nuova soluzione y costa meno di quella ottima y *, contraddizione.

18 Formulazione lineare con costi convessi Il Teorema 4.1 ci permette di trascurare il vincolo di continuità. Si ottiene in tal modo la seguente formulazione di PL del problema di Programmazione Multimodale con costi convessi (lineari a tratti) min c y it i V t= 1,..., k ( i) it Funzione Obiettivo Vincoli s j -s i u i y i s n T y i = y i1 + + y ik(i) y iq u iq-1 u iq y, s 0 ij A i V i V, q = 1,,k(i)

19 Costi concavi La funzione si può approssimare con una spezzata dai costi marginali decrescenti c i1,, c ik, con c i1 > >c ik. La formulazione con costi concavi è come nel caso convesso Funzione Obiettivo Vincoli s j -s i u i y i s n T y i = y i1 + + y ik(i) min c y it i V t= 1,..., k ( i) ij A i V it u A u durata costo ua ua ua u A1 attività A costo marginale 10 ca1 4 ca2 u A0 y ya1 ya2 y iq u iq-1 u iq = T iq i V, q = 1,, k(i) come nel caso di costi convessi y iq < T iq y iq+1 = 0 i V, q = 1,, k(i)-1 Ma non vale il Teorema 4.1 y, s 0 Come imporre con vinvoli lineari y iq+1 = 0 quando y iq < T iq?

20 Formulazione PL01 con costi concavi Problema: date due variabili reali y 1, y 2 che soddisfano y 1 u 1, y 2 u 2, definire un modello di PL01 tale che ogni soluzione ammissibile soddisfi: y 1 < u 1 y 2 =0 Introduciamo una variabile binaria x {0,1} Introduciamo due vincoli lineari u 1 x y 1 (A) (se y 1 < u 1 allora x = 0) u 2 x y 2 (B) (se y 2 > 0 allora x = 1) y 1 minore stretto del suo upper bound implica y 2 = 0 (non si può avere contemporaneamente y 1 < u 1 e y 2 >0) Non esiste una soluzione x, y 1, y ) tale che 1 Infatti, y y 1 < u1 x = 2 > 0 x = ( per il vincolo (A) per il vincolo (B) y < y 2 > 0 1 u e

21 Formulazione PL01 con costi concavi Per imporre y iq+1 = 0 se y iq < u iq-1 u iq = T iq bisogna introdurre variabili 0,1 x iq per ogni i V, q = 1,,k(i) 0 se y iq <T iq =u iq-1 u iq x iq = 1 se y iq+1 > 0 Vincoli aggiuntivi T iq x iq y iq, i V, q = 1,,k(i) T iq+1 x iq y iq+1, i V, q = 1,,k(i) u A2 4x A1 y A1 8x A1 y A2 attività attivitàa A u u A1 durata costo ua ua ua u A0 costo marginale 10 ca1 4 ca2 y ya1 ya2 Non esiste una soluzione con y iq <T iq =u iq-1 u iq vincoli aggiuntivi! e y iq+1 > 0 che soddisfa i

22 Formulazione costi concavi min c y it i V t= 1,..., k ( i) it s j -s i u i y i per ogni ij A s n T y i = y i1 + + y ik(i) per ogni i V y iq u iq-1 u iq = T iq per ogni i V, q = 1,,k(i) (Q) T iq x iq y iq, i V, q = 1,,k(i) T iq+1 x iq y iq+1, i V, q = 1,,k(i)-1 y, s 0, x vettore binario Algoritmo naturale di soluzione: per ogni attività, approssima la funzione di costo con una spezzata applica il metodo del branch and bound utilizzando la formulazione Q Come cambia la formulazione se il costo è lineare a tratti (né concavo, né convesso)?