FISICA. S = Q rev 373K

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1 FISICA Sere 9: Soluzon II lceo Eserczo 1 ranszone d fase Poché l entropa è una funzone d stato possamo calcolare la sua varazone lungo un processo reversble. Questo lo s può realzzare sottraendo delle quanttà nfntesmal d energa alla volta. In questo caso allora ds = δq rev e poché è costante (processo soterma) s ottene Abbamo Da cu la varazone d entropa S = Q rev. Q = ml g l = 0,2kg ( 2257kJ/kg) = 4, J, S = Q = 4, J 373K = 1, J/K. Osservazone: l fatto che S < 0 non è n contrasto con l secondo prncpo della termodnamca, nfatt solo quando l sstema è solato l prncpo prevede S 0. Nel caso n esame l sstema scamba (perdendo) energa nella modaltà calore con l ambente. Eserczo 2 Processo a pressone costante e c p 1. L potes d bagno termco c permette d affermare che la temperatura d quest ultmo non camba; noltre nello stato d equlbro fnale (equlbro termco) 1 = 2 = 100 o C. Qund = 73 o C = 73K. Da Q p = mc p abbamo Q p = 1kg 880J/(kg K) 73K = 6, J. 2. Sappamo che l entropa è una funzone d stato e qund S dpende uncamente dagl stat nzal e fnal. Il metallo è caratterzzato dallo stato (U,V,n) ora n non camba e per potes neanche V (nente dlatazone termca). Inoltre per sold ad alta temperatura U = 3nR qund gl stat nzale e fnale sono caratterzzat dall energa nterna va la temperatura. 1

2 Per calcolare S consderamo un cammno reversble n tal caso dal secondo prncpo possamo scrvere ds = δq, da cu (utlzzando l ndcazone) S = mc p ln f = S = 1kg880J/(kg K)ln 373K 300K = 1, J/K. 3. Anche per l bagno termco possamo avvalerc dell dea che è possble calcolare S bagno su un cammno reversble, per l bagno sappamo pure che = 2 è costante e qund ds bagno = δqbagno = S bagno = Qbagno 2 dove Q bagno = Q p corrsponde alla perdta d energa (nella modaltà calore) del bagno termco. Abbamo S bagno = 6, J 373K = 1, J/K 4. Abbamo, per l estensvtà dell entropa, S tot = S + S bagno = 19,54J/K > 0. Ora l sstema totale è solato e vsto che S tot > 0 possamo concludere che l processo è rreversble (come c s poteva aspettare). Il processo esamnato, chamato conduzone termca, è un tpco processo rreversble. Eserczo 3 Equlbro termco ed entropa Per trovare la dfferenza d entropa dobbamo prma dentfcare un processo reversble che possa condurre l sstema dallo stato nzale a quello fnale d equlbro termco. Calcoleremo po la dfferenza d entropa d questa trasformazone reversble utlzzando l ndcazone dell eserczo precedente. Per un tale procedmento abbamo bsogno d un bagno termco a temperatura lentamente regolable (ad esempo grando una manopola). Decdamo dunque d sottoporre due blocch alle seguent due trasformazon separate: l blocco 1 cede energa nella modaltà calore al bagno termco lentamente n modo reversble, l blocco 2 rceve energa nella modaltà calore dal bagno termco lentamente n modo reversble. Dscutamo queste due trasformazon: rasformazone 1. Fssando la temperatura della sorgente a 60 C, ponamo l blocco 1 sulla sorgente. (Blocco e sorgente sono alla stessa temperatura e percò n equlbro). Po abbassamo lentamente la temperatura della sorgente, e qund anche del blocco, fno a 40 C. Man mano che la temperatura decresce d un ncremento d durante questo processo, una quanttà d calore δq vene trasferta dal blocco alla sorgente, possamo scrvere questo trasfermento come δq = mc p d. Secondo l ndcazone la varazone d entropa S 1 del blocco 1 durante la varazone d temperatura è S 1 = mc p ln f 1, = 35,86J/K. 2

3 rasformazone 2. Fssando ora la temperatura della sorgente a 20 C, ponamo l blocco 2 sulla sorgente. Po alzamo lentamente la temperatura della sorgente, e qund anche del blocco, fno a 40 C. Con lo stesso ragonamento, possamo scrvere secondo l ndcazone la varazone d entropa S 2 del blocco 2 durante la varazone d temperatura: S 2 = mc p ln f 2, = 38,23J/K. La varazone complessva d entropa per l sstema d due blocch che subscono l processo con questa doppa trasformazone è data, per estensvtà dell entropa, da: S tot = S 1 + S 2 = 2,4J/K. Consderato l fatto che l entropa è una grandezza d stato, n ogn caso S tot = 2,4J/K, anche per process rreversbl. Il raggungmento dell equlbro termco descrtto è un processo rreversble poché Σ 1 Σ 2 è un sstema solato. Samo d nuovo n presenza d un fenomeno d conduzone termca. Eserczo 4 Gas deale a contatto con un metallo 1. Poché l sstema è solato U = 0, dove U = U 1 + U 2 }{{} =Q 2 = 3 2 nr( f 1 )+mc V ( f 2 ) da cu 3 2 f = nr 1 +mc V 2 3 nr+mc = 431,1K. 2 V (La temperatura nzale del gas deale è d 521,5K). 2. Poché l entropa è una funzone d stato possamo calcolare la sua varazone lungo un processo reversble con stess stat nzal e fnal. Nel processo n questone le unche varabl d stato che vengono modfcate sono l energa (V e n restano costant) che è drettamente proporzonale alla temperatura. ds = δq rev = S = δq rev. ora nel caso del gas deale δq = du = 3 2 nrd e nel caso del metallo δq = mc V d(= du). Da cu Σ 1 : S = 3 2 nr d = 3 2 nrln f e Σ 2 : S = mc V d = mc V ln f 3. Abbamo S 1 = 4,75J/K, S 2 = 5,43J/K e, per l estensvtà dell entropa, S = S 1 + S 2 = 0,68J/K. 3

4 4. Il sstema totale è solato e vsto che S > 0 possamo concludere che l processo è rreversble (come c s poteva aspettare). Il processo esamnato, chamato conduzone termca, è un tpco processo rreversble. 5. Per l sstema Σ la produzone nterna d entropa concde con S, nfatt non v sono varazon d entropa dovute a scamb d calore poché l sstema è solato. Eserczo 5 Equlbro termco 1. Il metanolo soldo fonde completamente se l calore che può cedere l metanolo lqudo raggugendo (potetcamente) la temperatura d fusone è maggore del calore necessaro alla transzone d fase. Abbamo: Q fusone = 2, J > Q lq, max = 1, J e qund l metanolo soldo non fonde completamente. La temperatura all equlbro termco è qund la temperatura d fusone f = 179,25K. 2. Il processo d fusone rguarda una quanttà d massa par a Q lq, max /L = 0,02kg. Per questo processo d fusone s ha Per l metanolo lqudo S 1 = Q f = 10,54J/K. S 2 = m 2 c p ln f = 100,5J/K da cu, per l estensvtà dell entropa, S = 89,9 J/K. 3. Il sstema totale è solato e vsto che S > 0 possamo concludere che l processo è rreversble (come c s poteva aspettare). Il processo esamnato, chamato conduzone termca, è un tpco processo rreversble. Per l sstema Σ la produzone nterna d entropa concde con S, nfatt non v sono varazon d entropa dovute a scamb d calore poché l sstema è solato. Eserczo 6 Sold a bassa temperatura Consderando un processo reversble ds = δq e ora δq = nc V d = na 3 d e qund S = δq S = na 3 d = na 2 d = na 3 (3 f 3 ). 4

5 Numercamente s ottene S = 0,037 J/K. Osservazone: S nota che a bassssme temperatura l calore specfco non segue la legge d Dulong-Pett. Questo perché a bassssme temperature entrano n goco degl effett quantstc. Eserczo 7 Espansone lbera d un gas deale solato 1. Durante l espansone s ha U = 0 poché l sstema è solato e qund U f = U. 2. Il fenomeno n questone, chamato dffusone, è un processo rreversble. Infatt l gas non tornerà ma n modo spontaneo nella metà snstra del clndro. 3. Graze al fatto che l entropa è una funzone d stato, per calcolare la varazone d entropa d questo processo rreversble possamo sceglere un processo reversble che abba gl stess stat nzal e fnal del processo orgnale. Poché lo stato (U,V,n) del gas è tale che l unca varable che camba nel processo è l volume, è suffcente trovare un processo reversble con stess volum nzale e fnale del processo rreversble. ra le dverse possbltà, osservando che U =cost, cò che corrsponde a =cost, scergleremo un processo d espansone soterma reversble. Questo processo lo s realzza lascando espandere molto lentamente l gas e mettendo quest ultmo a contatto con un bagno termco d temperatura. Per questo processo abbamo S = Q dove Q = W = nr ln V f V (poché U = 0) e qund S = nrln V f V. 4. Poché V f = 2V s ottene S = nrln2 = 11,52J/K. 5. Questa è, come detto, anche la varazone d entropa per l espansone lbera. Segue dal fatto che S è una funzone d stato. Dal punto d vsta fsco nel caso dell espansone soterma la varazone d entropa è causata dallo scambo d calore (fornto) con l bagno termco, mentre per l espansone lbera la varazone d entropa è causata da una produzone nterna d entropa. 6. Lo stato fnale con l gas espanso n tutto l clndro è lo stato d equlbro che possede un entropa maggore dello stato nzale e l valore dell entropa è l massmo compatble con vncol. Osservamo che un valore maggore dell entropa rspetto all entropa nzale lo s avrebbe se l gas occuperebbe per esempo 3/4 del volume dsponble, ma cò non corrsponde ad uno stato d equlbro: come sappamo gl stat d equlbro d un sstema solato sono quell che possedono un entropa massma, compatble con vncol. L evoluzone da uno stato d equlbro al quale sono stat tolt de vncol è verso un nuovo stato d equlbro con entropa massma. 5

6 Eserczo 8 La funzone d stato S(U,V,n) del gas deale 1. Utlzzando la funzone d stato S(U,V,n) s ottene S = nrln V f V = 2mol 8,31J/(mol K)ln(1/3) = 16,62ln3J/K = 18,26J/K. 2. Il rsultato non è n contrasto con l secondo prncpo della termodnamca, poché, non essendo l sstema solato, non v è nessuna condzone su S. 3. È possble mantenere costante la temperatura durante la compressone, scambando (cedendo) calore al bagno termco. 4. La trasformazone consderata è la seguente (n tratteggato) p f soterma V Consderato che l entropa è una funzone d stato, e che gl stat d equlbro nzale e fnale sono gl stess d quell della trasformazone soterma, la varazone d entropa è uguale a quella calcolata precedentemente e vale S = 18,26 J/K. Eserczo 9 Espansone soterma reversble/rreversble 1. Abbamo U = 0 e qund Q = W. Ora, vsto che l processo è soterma possamo scrvere W = nr ln V < 0 = Q = nr ln V > 0 V f V f l gas esercta un lavoro sull esterno (la molla) poché W < 0 e rceve energa dall esterno nella modaltà calore Q > Gas: S gas = Q = nrln V f V > 0. 6

7 Bagno termco: consderando l bagno termco come sstema l calore fornto dal quest ultmo al gas corrsponde a Q ( U bagno = Q), qund, vsto che anche per l bagno l processo è soterma abbamo S bagno = Q = nrln V f V < 0 3. La varazone d entropa del sstema e del bagno termco vale S tot = S bagno + S gas = 0 l sstema bagno + gas + molla (s ammette che S molla = 0) è solato e qund vsto che S tot = 0 se ne conclude che l processo èreversble,non v è produzone nterna d entropa: δ S = 0. L energa mmagazznata nella molla può essere utlzzata per comprmere l gas, nvertendo l processo. 4. Nel casodell espansone lbera abbamo U = 0enonv èlavoro(w = 0),qund Q = 0e se ne conclude che S bagno = 0. Qund S tot = S gas. Ora graze alla funzone S(U,V,n) possamo calcolare S gas, ottenamo S gas = nrln V f V > 0 da cu S tot > 0, l processo è rreversble (l sstema bagno + gas è solato). La varazone d entropa del gas è la stessa d quella del caso reversble, cò è dovuto al fatto che S è una grandezza d stato e qund S dpende uncamente dagl stat nzale e fnale, che nel nostro caso sono dentc per due process, da cu l uguaglanza d S gas. 7