Esercizi sulle variabili aleatorie Corso di Probabilità e Inferenza Statistica, anno , Prof. Mortera

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1 Esercizi sulle variabili aleatorie Corso di Probabilità e Inferenza Statistica, anno , Prof. Mortera 1. Avete risparmiato 10 dollari che volete investire per un anno in azioni e/o buoni del tesoro a breve termine. Ovviamente i ricavi sono incerti come risulta dalla seguente tabella delle probabilità soggettive S T -10% 0% 10% 20% 6% 0 0 0,10 0,10 8% 0 0,10 0,30 0,20 10% 0,10 0, a) Stabilire, senza calcolarla, se la covarianza tra S e T è positiva, negativa o nulla. Si verifichi il risultato mediante il calcolo della covarianza. b) Se investite l intera somma in azioni, quale sarà il valore atteso del vostro ricavo? E la deviazione standard? Si ripeta l esercizio per i casi seguenti: i 10$ vengono interamente investiti in buoni del Tesoro; 5$ sono investiti in azioni e 5$ sono investiti in buoni del Tesoro 2$ sono investiti in azioni e 8$ sono investiti in buoni del Tesoro. Si rappresentino i risultati nella tabella seguente: Partizione tra Azioni Valore Atteso Deviazione Standard e Buoni del Tesoro µ σ 100/0 0/100 50/50 20/80 1

2 c) Chiaramente desiderate che il vostro investimento conduca ad un elevato ricavo atteso (µ grande) e ad un basso rischio (σ piccolo). Quale delle quattro scelte di portafoglio analizzate al punto b) fornisce il µ più grande? E quale il σ più piccolo? d) Secondo voi esiste un altra scelta di portafoglio che porta ad un µ ancora più elevato? Potete provare la vostra congettura? e) Secondo voi esiste un altra scelta di portafoglio che porta ad un σ ancora più piccolo? Potete provare la vostra congettura? 2. Sulla base delle esperienze precedenti, il gestore di un negozio sportivo ipotizza che il numero di biciclette che verranno vendute il prossimo anno sarà fra 40 e 90, con la seguente distribuzione: X=numero di biciclette vendute p(x) 40 0, , , , , ,01 a Qual è il numero medio di biciclette che verrà venduto? Quale la deviazione standard? (62; 9,49) b Se il gestore ordina 60 biciclette, con quale probabilità saranno tutte vendute? Con quale probabilità rimarranno scorte di magazzino non desiderate? (0,8; 0,2) c Per essere pressoché certo (al 95%) di avere biciclette a sufficienza, quante ne dovrebbe ordinare? (70) 3. La Wildecat Oil Exploration ha deciso di impiegare tutte le risorse di cui dispone per finanziare 12 perforazioni petrolifere. Ognuna ha il 20% di probabilità di successo (ovvero che produca petrolio), ed è indipendente da ciò che avviene nelle altre perforazioni. Per evitare la bancarotta, almeno 3 perforazioni devono produrre petrolio. Con quale probabilità la compagnia evita la bancarotta? (0,42) 2

3 4. Un esame a risposta multipla è composto da 12 domande, ognuna con 5 risposte di cui una giusta. Perché l esame venga superato, si deve dare la risposta giusta ad almeno 8 domande. Con quale probabilità si passa l esame se: a si sostiene l esame senza sapere nulla, e a ogni domanda si sceglie una risposta a caso fra le 5 disponibili ( 0) b si è studiato abbastanza da eliminare tre risposte per ogni domanda; lo studente risponde a caso fra le restanti due risposte rimaste (0,19) c si è studiato abbastanza da essere sicuri della risposta corretta su 2 domande. Per le restanti 10 domande la risposta viene scelta a caso fra le 5 opzioni. ( 0,006) 5. Johnson s Sports (affitto di barche sportive) dovrà riparare le barche a vela più danneggiate. Esperienze passate indicano che ognuna delle 5 barche ha il 50% di probabilità di avere necessità di riparazioni, indipendentemente dalle altre. La riparazione di una barca costa 600 $. Si determini il costo atteso delle riparazioni. (1500 $) 6. Si supponga che il numero delle chiamate che arrivano ogni secondo ad un centralino telefonico sia una variabile casuale di Poisson con media 5. a Determinare la probabilità che in un determinato secondo non arrivi nessuna chiamata (0,0067) b Supponendo che il centralino sia in grado di soddisfare non più di 3 chiamate al secondo, calcolare la probabilità di trovarlo occupato (0,735) 7. Le Hawaii hanno una popolazione che è composta per il 60% da persone di origine asiatica, per il 39% da bianchi e per l 1% da neri. Se viene estratto un campione di 7 persone a qual è la probabilità che la maggioranza sia di origine asiatica? (0,71) b qual è la probabilità che nessuno sia nero? (0,93) c qual è il numero atteso e la varianza del numero di asiatici nel campione? (4,2; 1,68) 3

4 d se viene estratto un campione di 500 persone, come si trasformano le probabilità ai punti a e b? ( 1; 0,007) 8. Sia X distribuita come una normale di media 16 e deviazione standard 5. Si determini: a P (X > 20) (0,212) b P (20 < X < 25) (0,176) c P (X < 10) (0,115) d P (12 < X < 24) (0,733) 9. Una coppia di sposi non sa se comprare una casa subito o aspettare un anno, nel qual caso l incremento di prezzo può essere oltre le loro disponibilità. La loro previsione è che, se aspettano un anno, l incremento di prezzo sarà approssimativamente normale, con media 8% e, riflettendo l incertezza di mercato, deviazione standard 10%. a Se il prezzo cresce oltre il 25% non possono acquistare casa. Qual è la probabilità che ciò avvenga? (0,045) b D altro canto, se il prezzo scende la loro attesa viene premiata. Con quale probabilità si verifica questo evento? (0,212) 10. Il tempo necessario a completare un compito d esame è distribuito come una normale di media 110 minuti e deviazione standard 20 minuti. a Quale frazione di studenti finisce il compito in 2 ore? (0,691) b Quando si dovrebbe interrompere il compito per consentire al 90% degli studenti di completarlo? (135,6 minuti) 11. I fusti di albero inviati a una falegnameria hanno diametro (D) e altezza (H) (misurati in piedi) che seguono la seguente distribuzione H D ,00 0,16 0,09 1,25 0,15 0,30 1,50 0,03 0,17 1,75 0 0,10 4

5 a Determinare la media e la varianza di D condizionatamente a H=25 (1,155; 0,026) b Determinare la media e la varianza di H per i fusti di diametro 1,50 (24,25; 3,19) c Determinare la media di H, la varianza di H e la covarianza tra D e H (23,3; 5,61; 0,23) d Determinare il coefficiente di correlazione fra D e H e interpretare il risultato (0,45) 5