ESERCIZIO 1. Figura 1: gancio della gru

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1 ESERCIZIO 1 Si consideri la sezione critica A-A di un gancio di una gru le cui dimensioni sono riportate in Figura 1. La sezione, di forma trapezoidale, è illustrata nella seguente figura. Si determini lo stress risultante (flessione più sforzo normale) nei punti P e Q della sezione critica assumendo che il materiale sia omogeneo ed elastico. Figura 1: gancio della gru Ai fini della valutazione dello stress agente sulla sezione devono essere determinati il momento flettente ed il baricentro della sezione critica. Come è noto una sezione trapezoidale può essere considerata come somma di una sezione rettangolare più una triangolare. Figura : scomposizione sezione trapezoidale 1

2 Per la sezione rettangolare sappiamo che il baricentro si trova a: c ret = 10 mm = 60 mm E che il momento d inerzia, rispetto alla linea orizzontale di Figura è pari a: I ret = (40 mm) (10 mm)3 1 = mm 4 Mentre per il triangolo: e: c tri = 10 mm 3 = 40 mm I tri = (40 mm) (10 mm)3 36 = mm 4 Il baricentro del trapezio può essere quindi calcolato sfruttando la composizione delle aree: c tra = c ret A ret + c tri A tri A tra = ( ) + (40 400) mm = 53.3 mm 700 Sfruttando ancora la composizione delle aree ed il teorema di Huygens-Steiner possiamo scrivere il momento d inerzia del trapezio: I tra = I ret + A ret (c ret c tra ) + I tri + A tri (c tri c tra ) I tra = mm mm 4 = mm 4 Il calcolo dello stress in travi curve non è così immediato come per le travi ad asse rettilineo. Tale stress può essere calcolato analiticamente oppure in maniera alternativa (e più rapida) si può ricorrere al grafico di Figura 3. Il valore r/c per il gancio è pari a: r 60 mm mm = =.13 mm c tra 53.3 mm

3 Figura 3: grafico per il calcolo dei fattori di correzione per travi curve Dal precedente grafico possiamo ricavare i seguenti valori di K per il punto Q e P (interno ed esterno rispettivamente): K Q = 1.5 K P = 0.73 A questo punto è possibile calcolare lo stress totale, come somma di tensione più momento flettente. Per il punto Q si ha: σ Q = P A + K Q M c I N [70000 ( ) N mm] 53.3 mm σ Q = mm mm 4 3

4 Mentre per il punto P: σ Q = 9.7 MPa MPa = MPa N [70000 ( ) N mm] 66.7 mm σ P = mm mm 4 σ Q = 9.7 MPa MPa = MPa L andamento dello stress totale (sforzo normale più flessione) all interno del gancio non è lineare poiché la trave è curva. 4

5 ESERCIZIO L albero mostrato nella figura successiva è supportato alle estremità da due cuscinetti orientabili (A e B) montati ad una distanza di 00 mm l uno dall altro. Una cinghia trasmette alla puleggia le forze indicate in figura. L estremità sinistra dell albero è collegata ad una frizione per mezzo di un giunto flessibile, mentre l estremità destra è libera. Disegnare i diagrammi del taglio, del momento flettente e torcente (trascurare la concentrazione delle tensioni). Rappresentare lo stato di tensione in T e S mediante i cerchi di Mohr. Per il punto S rappresentare l elemento su cui agiscono le tensioni principali e quello su cui agiscono le massime tensioni tangenziali. Figura 4: schema e dimensioni albero con puleggia Prima di poter disegnare i diagrammi del taglio e dei momenti occorre ricavare i valori delle reazioni vincolari sui cuscinetti. A tale scopo occorre valutare tali reazioni su due piani distinti: x-z (detto piano orizzontale o vista verticale) e y-z (detto piano verticale o vista frontale). L equilibrio delle forze e dei momenti (rispetto ad A) sul piano x-z ci consente di scrivere le due successive equazioni, nelle due incognite R Ao e R Bo : R Ao R Bo N N = 0 { (000 N N) 100 mm R Bo 00 mm = 0 Da cui: { R Ao = R Bo = 100 N R Bo = 100 N 5

6 Quindi le reazioni orizzontali dei cuscinetti hanno stesso modulo e sono entrambe dirette nella direzione z negativa. Allo stesso modo possiamo scrivere l equilibrio delle forze e dei momenti (rispetto ad A) sul piano x-y, nelle due incognite R Av e R Bv. Essendo tuttavia le forze esterni agenti solo sul piano x-z, si può evincere che le reazioni verticali dei cuscinetti sono nulle ed inoltre che la flessione dell albero, per via della sua simmetria rispetto al piano x-z, avverrà nel piano x-z stesso. 6

7 Il momento torcente, agente solo sulla parte sinistra dell albero viene calcolato nel seguente modo: T q = ( ) D = 96 kn mm Ora per rappresentare lo stato tensionale nei punti T ed S mediante i cerchi di Mohr si devono calcolare le sollecitazioni agenti. La torsione genera la seguente sforzo di taglio: τ q = Per la flessione si può scrivere: σ f = Infine il taglio fornisce: 16 T 16 ( ) N mm = = 61.1 MPa π d3 π (0 mm) 3 3 M 3 10 kn mm = = MPa π d3 π (0 mm) 3 τ t = 4 V N = = 5.09 MPa 3 A 3 π (10 mm) PUNTO T PUNTO S τ = τ t + τ q σ = 0 τ = τ q σ = σ z 7

8 Le tensioni principali, che ci permettono di disegnare i cerchi di Mohr, si possono ricavare mediante le seguenti equazioni σ 1, σ = σ z + σ y ± ( σ z σ y ) + τ zy θ = tan 1 ( τ yz σ z σ y ) τ = σ 1 σ sin(θ) σ z = 0 σ y = 0 τ yz = 66.1 MPa θ = 90 PUNTO T σ 1 = + τ zy = 66.1 MPa σ = τ zy = 66.1 MPa τ = σ 1 σ sin(θ) = 66.1 MPa σ 3 = 0 perché lo stato di tensione è piano in superficie PUNTO S σ z = MPa σ y = 0 τ yz = 61.1 MPa θ = σ 1 = σ z + ( σ z ) + τ zy = MPa σ = σ z ( σ z ) + τ zy = 1.44 MPa τ = σ 1 σ sin(θ) = 61.1 MPa σ 3 = 0 perché lo stato di tensione è piano in superficie 8

9 Per il punto S si deve anche rappresentare un elemento orientato nella direzione in cui agiscono solo tensioni principali e nella direzione in cui agiscono solo le massime tensioni tangenziali. Gli angoli sul piano di Mohr sono doppi, per cui l angolo d inclinazione degli elementi è la metà di quello trovato sul piano di Mohr. σ = σ 1 + σ + σ 1 σ cos(θ) θ = = Ci mettiamo nel piano delle tensioni principali dove θ = 0 τ = σ 1 σ sin(θ) = 0 σ = σ 1 θ = = 5.67 Ci mettiamo nel piano del taglio massimo dove θ = 90 τ = σ 1 σ sin(θ) = MPa σ = 76.4 MPa Se θ = 180 allora τ = σ 1 σ sin(θ) = 0 σ = σ Per andare sul piano delle tensioni principali bisogna fare una rotazione oraria dell elemento originale, mentre per andare sul piano del massimo sforzo di taglio (dove in questo caso lo sforzo normale non è nullo) bisogna fare una rotazione antioraria. 9

10 ESERCIZIO 3 Si consideri l albero circolare pieno, di diametro pari a 30 mm, supportato dai cuscinetti A e B, come riportato in Figura 5. Collegate all albero vi sono due ruote dentate per catene caricate come in figura. Considerare statici i carichi, ignorando la fatica e la concentrazione delle tensioni. Identificare il punto dell albero in cui lo stato tensionale è più gravoso e rappresentare in modo completo lo stato di tensione mediante cerchi di Morh. Figura 5: schema e dimensioni albero con ruote dentate La forza F agente sulla ruota dentata più grande può essere calcolata mediante l equazione di equilibrio del momento torcente N 5 mm F = = 000 N 50 mm Da cui si può tracciare il seguente diagramma del momento torcente. 10

11 Ora bisogna ricavare le reazioni dei cuscinetti nel piano verticale ed orizzontale. Piano Verticale x-y Da cui: R Av 4000 N + R Bv = 0 { 4000 N 50 mm R Bv 00 mm = 0 { R Av = 3000 N R Bv = 1000 N 11

12 Nel piano orizzontale x-z invece abbiamo: Da cui: R Av 000 N R Bv = 0 { 000 N 150 mm + R Bv 00 mm = 0 R Av = 500 N { R Bv = 1500 N Dai grafici precedenti si può evincere che la sezione più sollecitata è la sezione a 50 mm dal supporto A, dove è montata la ruota dentata più piccola. In questa sezione i momenti flettente e torcente risultanti sono: M = (5 kn mm) + (150 kn mm) = kn mm T = 4000 N 5 mm = 100 kn mm 1

13 Dato che la sezione in cui agisce il momento flettente massimo non coincide con quella in cui agisce il taglio massimo, possiamo trascurare quest ultimo rispetto alla flessione. Il momento torcente invece genera un taglio costante. Ricaviamo le sollecitazioni. τ q = Per la flessione si può scrivere: σ f = 16 T 16 (4000 5) N mm = = MPa π d3 π (30 mm) 3 3 M kn mm = = MPa π d3 π (30 mm) 3 Ora possiamo calcolare le tensioni principali per poter poi disegnare i cerchi di Morh. Consideriamo però che il momento massimo giace su un piano inclinato rispetto ai piani cartesiani x-y o x-z. Chiamiamo tale piano x -y, e supponiamo che il momento massimo agisca in direzione x. Per cui σ x = σ f e σ y = 0. Da cui σ 1 = σ x + ( σ x ) + τ q = MPa σ = σ x σ x ( ) + τ q = 5.64 MPa θ = tan 1 ( τ q σ x ) = 33.3 τ = σ 1 σ sin(θ) = 34.3 MPa Nella precedente equazione θ è pari a 90. Il momento torcente genera una torsione negativa rispetto agli assi scelti. 13