Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (M-Z) Università di Roma La Sapienza CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 13/1/2017

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1 Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (M-Z) Università di Roma La Sapienza CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 13/1/2017 NOME: COGNOME: MATRICOLA: Esercizio 1 Quattro arcieri A, B, C, D scoccano la loro freccia contemporaneamente e hanno probabilitá, rispettivamente, 1/2, 1/3, 1/4 e 1/5 di colpire il bersaglio. a) che probabilitá c é che dopo il tiro simultaneo risulti conficcata nel bersaglio esattamente una freccia? b) Se dopo il tiro simultaneo risulta conficcata nel bersaglio una sola freccia, che probabilitá c é che si tratti di quella dell arciere A? N.B. tutti i passaggi devono essere giustificati Soluzione: Indichiamo con A l evento l arciere A colpisce il bersaglio, e analogamente per B, C e D. Per ipotesi di lavoro si ha a) P (A) = 1/2 P (B) = 1/3 P (C) = 1/4 P (D) = 1/5 Indichiamo inoltre con H l evento una sola freccia é conficcata nel bersaglio, si avrá P (H) = P (A B C D) + P (ĀB C D) + P (Ā BC D) + P (Ā B CD) = = = 5/12 avendo disintegrato l evento in 4 eventi incompatibili e utilizzato l indipendenza tra gli arcieri. b) P (A H) = P (A B C D) P (H) = /12 = 24/50 1

2 2 CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 13/1/2017 Esercizio 2 Consideriamo un esperimento in cui un dado tetraedrico onesto (con quattro facce 0,1,2,3) viene lanciato una volta per determinare quante volte deve essere lanciata una moneta onesta. Nello spazio campione di questo esperimento, si definiscano le seguenti due variabili casuali N e K nella seguente maniera N = il risultato del lancio del dado K = il numero di teste ottenute nei lanci della moneta a) Determinare e graficare p N (n) b) Determinare e tabulare p N,K (n, k) c) Determinare e graficare p K N (k 2) d) Determinare e graficare p N K (n 2) N.B. tutti i passaggi devono essere opportunamente giustificati Soluzione: La coppia di variabili casuali descritta nel testo assume i seguenti valori: {(0, 0), (1, 0)(1, 1), (2, 0)(2, 1)(2, 2), (3, 0)(3, 1), (3, 2)(3, 3)}, dove la generica coppia (i, j) indica che é stato ottenuto il numero i nel lancio del dado e j volte testa negli i lanci della moneta. Per come é descritto l esperimento casuale, la variabile casuale N é uniformemente distribuita sui suoi 4 valori essendo il dado onesto. Pertanto p N (n) = 1/4, per n = 0, 1, 2, 3. Inoltre, sempre dalla descrizione dell esperimento, si evince che la variabile casuale K condizionata alla conoscenza del numero N ottenuto nel lancio del dado é una variabile casuale binomiale di parametri N (numero di lanci della moneta) e p = 1/2 (probabilitá di successo nella singola prova). Pertanto p K N (k n) = ( ) n 1 1 k, per 0 k n = 0, 1, 2, 3. Pertanto possiamo utilizzare la seguente 2 k 2 n k formula per valutare la probabilitá congiunta e riempire la tabella sottostante P (N = n, K = k) = p N,K (n, k) = p N (n)p K N (k, n) = 1 4 P N,K (n, k) K = 0 K = 1 K = 2 K = 3 N = 0 1/ N = 1 1/8 1/8 0 0 N = 2 1/16 1/8 1/16 0 N = 3 1/32 3/32 3/32 1/32 ( ) n 1 1 k 2 k 2 n k 0 k n = 0, 1, 2, 3 avendo a disposizione la probabilitá congiunta alle domande poste si risponde in maniera immediata... per esempio si avrá: 1/4 if, k = 0 2/5 if, n = 2 1/2 if, k = 1 p K N (k 2) = p 1/4 if, k = 2 N K (n 2) = 3/5 if, n = 3 0 altrove 0 altrove

3 CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 13/1/ Esercizio 3 La lunghezza misurata da uno strumento di precisione elettronico é quella reale piú un errrore casuale che ha distribuzione normale di media 0 e deviazione standard 0.01mm. Quante misure é necessario eseguire per poter avere una precisione inferiore ai mm (cioé un intervallo di confidenza di semiampiezza inferiore ai mm detti) con una confidenza del 95%? Se non si dispone della tavola, si utilizzi la seguente informazione z α/2 = z = N.B. tutti i passaggi devono essere opportunamente giustificati. Soluzione: La lunghezza misurata é una variabile casuale X distributia come una gaussiana di media incognita µ (la lunghezza vera dell oggetto) e varianza Le misure di lunghezza dello stesso oggetto rappresentano dunque un campione aleatorio di taglia n estratto dalla popolazione della X. La media campionaria X = n i=1 X i rappresenta uno stimatore puntuale del peso vero dell oggetto, per ottenere un intevallo di confidenza al 95% per la media di una normale con σ nota si deve utilizzare la seguente formula: [ X σz α/2 / n, X + σzα/2 / n], da cui si evince che la semiampiezza dell intervallo di confidenza é data dalla quantitá σz α/2 / n, pertanto imponendo la richiesta del testo si ha: σz α/2 / n = / n < n 196 2

4 4 CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 13/1/2017 Domanda 1 Si elenchino gli assiomi della probabilitá.

5 CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 13/1/ Domanda 2 Si definisca la media campionaria e le sue proprietá fondamentali.

6 6 CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 13/1/2017 Domanda 3 Si descriva il principio della massima verosimiglianza per la stima del parametro incognito di una popolazione.