Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica dll delle Costruzioni i I Modulo A/A

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1 LEZIONE N 4 STATO LIITE ULTIO DI TORSIONE Posizione del problema La orsione di ravi in c.a - I sadio: il comporameno elasico la orsione nelle sezioni monoconnesse La orsione nelle sezioni biconnesse La orsione di ravi in c.a - III sadio: SLU quadro fessuraivo di una rave in c.a. soggea a orsione Il modello a raliccio Il progeo delle armaure longiudinali Il progeo delle armaure rasversali Indicazioni normaive Le prescrizioni del D Le prescrizioni dell Eurocodice EC La conemporanea presenza di Torsione e aglio Esempio: progeo di una rave in c.a. soggea a orsione

2 SLU per orsione in ravi in c.a. (Posizione del Problema) Le azioni orceni sono preseni in mole siuazioni sruurali essendo i carichi difficilmene applicai al cenro di aglio della rave. Tuavia, nella praica progeuale esse vengono in genere rascurae sia perché le sruure sono normalmene considerae piane, sia perché in effei, a pare casi paricolari, esse non producono rilevani effei indesiderai. Torsione Primaria (Balconi, Scale, ec.) Torsione Secondaria

3 SLU per orsione in ravi in c.a. (Posizione del Problema) Torsione secondaria delle ravi di un solaio Torsione primaria della rave di un p balcone o dell impalcao di un pone

4 SLU per orsione in ravi in c.a. (Posizione del Problema) Il comporameno di ravi in calcesruzzo soggee a orsione è molo differene al variare del livello di solleciazione. Per bassi livelli di solleciazione la rave si compora con buona approssimazione come una rave di De Sain-Venan, dunque con sezione ineramene reagene (I Sadio). Al crescere del momeno orcene la rave comincia a fessurarsi con riduzione della rigidezza orsionale. La resisenza della rave allo sao limie ulimo è fornia da una pare limiaa della sezione e dalle armaure preseni. crescene I Sadio III Sadio

5 La orsione in ravi in c.a. (I sadio) SEZIONI ONOCONNESSE (SEZIONI RETTANGOLARI) Al I sadio la rave si compora approssimaivamene come una rave di De Sain-Venan soggea a omeno Torcene. Le ensioni angenziali presenano un andameno lineare che si annulla a meà dello spessore. Andamen no delle e ensioni ang genziali τ Tensioni Tangenziali h / b τ max ψ ψ b h h / b 3 Rigidezza Torsionale K 3 βgb h θ h / b β h / b 1/ 3 Angolo di orsione: Roazione ra due sezioni a disanza uniaria

6 SLU per orsione in ravi in c.a. (I sadio) SEZIONI ONOCONNESSE (SEZIONI RETTANGOLARI) Nelle ravi con sezione decomponibile in più reangoli, il momeno orcene agene nei singoli reangoli si valua in proporzione alla rigidezza orsionale dei reangoli sessi. omeno Torcene e ensioni angenziali nel reangolo i-mo 1 τ max,i i K i K i i τ ψ max,i i b i i hi 3 N.B. il procedimeno per la valuazione dei singoli momeni orceni i è in realà esaa solo per h/b, ma può essere acceaa conollerabile approssimazione i anche in sezioni i con spessore non rascurabile.

7 SLU per orsione in ravi in c.a. (I sadio) SEZIONI CAVE (VALUTAZOINE TENSIONI TANGENZIALI) Nelle ravi a sezione cava le relazioni precedeni non sono applicabili. Per sezioni di piccolo spessore esise una eoria approssimaa dovua a Bred che permee di valuare la ensione media lungo lo spessore. Ω La forza elemenare agene sul rao di sezione di lunghezza ds risula essere pari a: df q ds τ h ds Il momeno eserno dovrà essere equilibrao dalla somma dei momeni che le forze df hanno rispeo al baricenro della sezione: qdsr q ds r q rds qω Cosanza flusso delle ensioni τ Ωh Formula di Bred se hcos

8 SLU per orsione in ravi in c.a. (I sadio) SEZIONI CAVE (VALUTAZIONE RIGIDEZZA TORSIONALE) La rigidezza orsionale di ravi cave di piccolo spessore si può rovare facilmene uilizzando il principio di conservazione dell energia. Uguagliando infai l energia di deformazione al lavoro delle forze eserne si ha: Lavoro Eserno 1 Le θ 1 τ γ dv (Teorema di Clapeyron) Energia di deformazione L i L i L e 4GΩ θ K θθ ds h Rigidezza Torsionale τ 1 1 τ E θ τ γ dv Ponendo γ G G (1 + ν ) Ωh

9 SLU per orsione in ravi in c.a. (III sadio) LINEE ISOSTATICHE DI UNA TRAVE SOGGETTA A TORSIONE Le linee isosaiche di una rave cava soggea a momeno orcene sono quelle schemaicamene indicae nella figura in basso. Elemeno infiniesimo Riferimeno principale

10 SLU per orsione in ravi in c.a. (III sadio) STATO FESSURATIVO E ODELLO A TRALICCIO Nel momeno in cui la rave si fessura perde rigidezza e la sezione reagisce solo parzialmene alla solleciazione. Allo sao limie ulimo è ragionevole adoare un modello a raliccio, considerando come pare reagene della sezione una sezione cava di spessore h. L andameno delle linee isosaiche prima illusrao suggerisce il modello indicao in figura cosiuio da bielle compresse di cls e bielle ese rappresenae dall armaura in ognuna delle quaro facce eserne. Quesi quaro modelli piani sono poi connessi nello spazio mediane armaure longiudinali. TRALICCIO DI RAUSCH

11 SLU per orsione in ravi in c.a. (III sadio) CALCOLO ARATURE LONGITUDINALI Consideraa un porzione della sezione di lunghezza uniaria la forza su di esse (scorrimeno) vale τh dove h è lo spessore della sezione ubolare. Per l equilibrio quesa forza si scompone in una forza nell armaura long. (F l ) e un alra nella biella compressa (C). La forza di compressione C allo spigolo della sezione ha una componene orizzonale equilibraa dall armaura longiudinale. d 1.0 <coα <.0 p perimero sezione ubolare C F A l l1 τ h1 sin α Ω sinαα τ h1 anα F p Ωanα p l1 f yd Ωanα f yd Armaura Longiudinale

12 SLU per orsione in ravi in c.a. (III sadio) CALCOLO ARATURE TRASVERSALI La componene vericale deve essere invece equilibraa da un armaura rasversale (saffe) F A s s s τ h ns A1,s d coα C sinα Ω 1 Ωf yd anα N saffe inerceare da una biella di cls n s n s A d coα s f yd d Ω 1,s α A l p f yd anα A s s Al p an α Armaura Trasversale

13 SLU per orsione in ravi in c.a. (III sadio) CALCOLO ARATURE A TORSIONE A s s Al p an α α Fissao l angolo α e deerminaa la quanià di armaura longiudinale A l si può deerminare l area delle saffe per unià di lunghezza della rave. In alernaiva, fissaa l armaura rasversale e l angolo α di inclinazione delle fessure si può valuare l armaura longiudinale. Se poi si valuano indipendenemene armaura longiudinale e rasversale si può ricavare il valore dell angolo di inclinazione delle bielle α

14 SLU per orsione in ravi in c.a. (III sadio) VERIFICA BIELLE COPRESSE La forza di compressione C deve essere compaibile con la resisenza del cls. In paricolare la ensione nella biella di cls compresa ra due fessure a disanza uniaria, la cui area resisene è pari a A1 x h x cosα σ c C u, C fcdωhsinα A Ωh sin α cosα Se α 45 σ c C A Ωh u,c f cd Ωh omeno ulimo per schiacciameno delle bielle di cls

15 SLU per orsione in ravi in c.a. (III sadio) RIFERIENTI NORATIVI (EUROCODICE ) A h L eurocodice impone che lo spessore sia pari al rapporo ra l area racchiusa dal perimero eserno e il perimero eserno p sesso. h A p A area racchiusa dal perimero eserno p Il valore minino di h c con ccopriferro L EC impone inolre che per la verifica delle bielle compresse la resisenza a compressione del cls sia ridoa del faore ν ν fck Nelleraviaacassoneselesaffesonodisposesuenrambelefacceν può essere 0.5

16 SLU per orsione in ravi in c.a. (III sadio) LA CONTEPORANEA PRESENZA DI TAGLIO E TORSIONE Nella maggior pare dei casi gli elemeni sruurali sooposi a orsione sono anche in genere sooposi anche a aglio. Si pensi ad esempio ad una rave che garanisca l equilibrio dell aggeo di un balcone e conemporaneamene garanisca l equilibrio ai carichi vericali rappresenai dal peso del solaio e della amponaura, olre che al preso proprio. La conemporanea azione di aglio e V orsione produce un cero grado di d (Taglio di calcolo) inerazione ra le due solleciazione che uavia nella praica progeuale si d (omeno orcene di calcolo) riiene opporuno rascurare. Le armaure così calcolae si sommano semplicemene. Occorre però verificare la seguene condizione (Ec) V + V u momeno orcene ulimo d u d u 1 V u Taglio ulimo

17 SLU per orsione in ravi in c.a. (III sadio) LA CONTEPORANEA PRESENZA DI TAGLIO E TORSIONE (EC) d V + u V d u 1 u ν f cd Ωh u momeno orcene ulimo per crisi del cls V 9 f b d V u Taglio ulimo per crisi i del cls u 0.5ν cd 0. 9 fck ν ν V u Faore di riduzione della resisenza a compressione

18 SLU per orsione in ravi in c.a. (III sadio) ESERCIZIO Con riferimeno all Eurocodice 1) si dimensioni allo sao limie ulimo una sezione reangolare in c.a. soggea ad un momeno orcene 46 knm. A ale scopo di uilizzi un calcesruzzo di classe C0/5 e un acciaio con resisenza caraerisica allo snervameno f yk 430 Pa. ) Si dimensioni l armaura longiudinale e rasversale a orsione della rave.

19 SLU per orsione in ravi in c.a. (III sadio) ESERCIZIO: PROGETTO DI UNA TRAVE SOGGETTA A TORSIONE QUESITO N 1 Uilizzando un copriferro di 3 cm e scegliendo lo spessore della sezione ubolare equivalene h pari a vole il copriferro c, l area larea della sezione soggea al momeno orcene si ricava dalla formula che fornisce il momeno orcene ulimo della sezione per schiacciameno delle bielle compresse inclinae di un angolo θ: ν f Ω hsin θ cd Ω ν f cd hsinθ Ω ν f cd csinθ

20 SLU per orsione in ravi in c.a. (III sadio) ESERCIZIO QUESITO N 1 Scegliendo come forma della sezione quella reangolare e prefissando la base B l alezza H si può ricavare dall espressione di Ω come segue: Ω ( H c ) ( B c ) Ω H c B c + Parendo da un valore cauelaivo di θ6.5 e scegliendo una base B40 cm si ha: Ω 1765 cm H cm

21 SLU per orsione in ravi in c.a. (III sadio) ESERCIZIO QUESITO N Armaura longiudinale: A p Ωanθ f yd 4600 ( ) l cm si scelgono 6φ cm In al modo si dispongono 4 ferri d angolo e due ferri di paree disani dai primi 8 cm, inferiore al massimo ammesso dall Ec e pari a 35 cm

22 SLU per orsione in ravi in c.a. (III sadio) ESERCIZIO QUESITO N Armaura Trasversale: A s s cm an ( ) θ cm Scegliendo saffe φ8 il passo è pari a cm 1.74 m 0.5 s 0.8m 8cm 1.74 Tale passo risula superiore al massimo ammesso e pari a 1/8 del diamero eserno della sezione e dunque pari a 1/8 (40+60) 5 cm. Il passo delle saffe si assume quindi pari a s 5 cm