Equazioni differenziali - Applicazioni

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1 Equazioni differenziali - Applicazioni Antonino Polimeno Università degli Studi di Padova

2 Equazione di Schrödinger 1D - 1 Equazione di Schrödinger i ψ(x, t) = Ĥ ψ(x, t) t al tempo t = 0 la funzione è definita come Autostati E con autoenergie E: ψ(x, 0) = ψ 0 (x) Ĥ E = E E ortonormali E E = δ E,E e base completa dello spazio. Quindi possiamo espandere ψ(x, t) ψ(x, t) = E c E (t) E i coefficienti C E (t) sono ottenuti come proiezioni della funzione d onda sulle autofunzioni c E (t) = ψ(x, t) E c E (0) = ψ 0 (x) E

3 Equazione di Schrödinger 1D - 2 Sostituendo, moltiplicando per un generico E ed integrando i ċ E (t) = Ec E (t) e dalle condizioni iniziali c E (t) = ψ 0 (x) E exp(et/i ) e la funzione d onda si può scrivere al tempo t come: ψ(x, t) = E E ψ 0 (x) E exp(et/i )

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5 Particelle e scatole - 1 Equazione di Schrödinger indipendente dal tempo condizioni al contorno Soluzione dove α 1,2 sono le radici dell equazione 2 d 2 2m dx 2 ψ E (x) = Eψ E (x) ψ E (0) = 0, ψ E (L) = 0 ψ E (x, t) = A 1 exp(α 1 x) + A 2 exp(α 2 x) 2 2m α2 = E vale a dire α 1,2 = ±i 2mE 2. Sostituendo nelle condizioni al contorno si ottiene A 1 + A 2 = 0 A 1 exp il 2mE + A 2 exp il 2mE = segue la condizione in E (determinante nullo): 2mE exp 2iL 2 = 1

6 Particelle e scatole - 2 Le soluzioni sono E = 2 π 2 k 2 2mL 2, k N Le autofunzioni si trovano subito tenendo conto A 1 = A 2 ; imponendo la condizione che siano normalizzate in [0, L] si trova: ψ k (x) = 2 L sin ( kπ L x Supponiamo ora che la particella sia inizialmente al centro del pozzo: ψ(x, 0) = δ(x L/2) Da cui segue che al tempo t la funzione d onda è ψ(x, t) = 2 exp ( i k2 π 2 ) L 2mL 2 t sin k 1 ) ( kπ L x ) sin ( ) kπ 2 ma il seno di kπ/2 vale è zero per k pari; per k = 2n + 1 dispari, con n 0, vale ( 1) n ; perciò ψ(x, t) = 2 ( 1) n exp ( i (2n + 1)2 π 2 ) ( ) kπ L 2mL 2 t sin L x n 0

7 Particelle e scatole - 3 V x 0 V (x) = 0 0 < x < L V L x Consideriamo solo lo spettro discreto, vale a dire gli stati confinati della particella, E < V. La soluzione generica per l autofunzione ψ E (x) con autoenergia E è definita nei singoli intervalli come B 1 exp(bx) x 0 ψ(x) = A 1 exp(iax) + A 2 exp( iax) 0 x < L B 2 exp( bx) L x dove a = 2mE/ 2 e b = 2m(V E)/ 2 ; si noti che che per x < 0 si pone a zero il coefficiente dell esponenziale exp( bx) che altrimenti divergerebbe per x (ed analogamente per x L).

8 Particelle e scatole - 4 Valgono poi quattro condizioni relative alla continuità e derivabilità dell autofunzione in x = 0 e x = L: A 1 + A 2 = B 1 iaa 1 iaa 2 = bb 1 A 1 exp(ial) + A 2 exp( ial) = B 2 exp( bl) iaa 1 exp(ial) iaa 2 exp( ial) = bb 2 exp( bl) Risolvendo il determinante 4 4 si ottiene una condizione in E arcsin a nπ kl = 2mV 2 con n N, che si risolve in a. Si verifica subito che il numero degli autostati discreti è finito.

9 Figure : Potenziali per una particella in una scatola 1D con una barriera interna.

10 Particelle e scatole - 5 Il potenziale che descrive il nostro pozzo è dato in [0, L 3 ]: V 1 0 x < L 1 V (x) = V 2 L 1 x < L 2 V 3 L 2 < x L 3 La soluzione generica per l autofunzione ψ E (x) con autoenergia E è definita nei singoli intervalli come A (1) 1 exp(α (1) 1 x) + A(1) 2 exp(α (1) 2 x) 0 x < L 1 ψ(x) = A (2) 1 exp(α (2) 1 x) + A(2) 2 exp(α (2) 2 x) L 1 x < L 2 A (3) 1 exp(α (3) 1 x) + A(3) 2 exp(α (3) 2 x) L 2 < x L 3 dove α (i) 1,2 = ±i 2m(E V i ). 2 Le condizioni al contorno sono analoghe al primo caso: ai confini del pozzo l autofunzione deve annullarsi, poichè la particella non può penetrare una barriera infinita. I coefficienti ignoti dell autofunzione sono sei, e disponiamo di due condizioni al contorno piú altre quattro condizioni: per ciascun dei punti interni, in L 1 ed L 2 la funzione deve essere continua e derivabile.

11 Particelle e scatole - 6 In definitiva, valgono le sei relazioni lineari: A (1) 1 + A (1) 2 = 0 A (1) 1 exp(α (1) 1 L 1) + A (1) 2 exp(α (1) 2 L 1) = A (2) 1 exp(α (2) 1 L 1) + A (2) 2 exp(α (2) 2 L 1) α (1) 1 A(1) 1 exp(α (1) 1 L 1) + α (1) 2 A(1) 2 exp(α (1) 2 L 1) = α (2) 1 A(2) 1 exp(α (2) 1 L 1) + α (2) 2 A(2) 2 exp(α (2) 2 L 1) A (2) 1 exp(α (2) 1 L 2) + A (2) 2 exp(α (2) 2 L 2) = A (3) 1 exp(α (3) 1 L 2) + A (3) 2 exp(α (3) 2 L 2) α (2) 1 A(2) 1 exp(α (2) 1 L 2) + α (2) 2 A(2) 2 exp(α (2) 2 L 2) = α (3) 1 A(3) 1 exp(α (3) 1 L 2) + α (3) 2 A(3) 2 exp(α (3) 2 L 2) A (3) 1 exp(α (3) 1 L 3) + A (3) 2 exp(α (3) 2 L 3) = 0 da cui si ricava il determinante 6 6 che permette di determinare E.

12 Particelle e scatole - 7 A questo punto lo schema di soluzione per un potenziale generico monodimensionale che sia rapresentabile da una serie di segmenti orizzontali e verticali, con pareti infinite, vale a dire un pozzo monodimensionale infinitamente profonda con un fondo qualunque, dovrebbe risultare chiaro: 1) si imposta la soluzione generica in ciascun intervallo; 2) si impongono condizioni di continuità e derivabilità in ogni punto interno; 3) si annulla la soluzione alle due pareti. Il risultato è un sistema omogeneo di equazioni per i coefficienti dell autofunzione in ciascun intervallo, il cui

13 Particelle e sfere - 1 Studiamo dunque il problema del moto di una particella di massa m su una sfera di raggio a e poi dentro la medesima sfera.

14 Particelle e sfere - 2 L hamiltoniano del sistema in coordinate cartesiane è Ĥ = 2 2m ˆ 2 dove si è fatto uso dell operatore laplaciano. Introduciamo ora le coordinate polari sferiche r, φ, θ x 1 = r sin θ cos φ x 2 = r sin θ sin φ x 3 = r cos θ Il laplaciano assume una forma particolarmente semplice nelle coordinate sferiche: ˆ 2 = 1 r 2 r r 2 r + 1 r 2 M2 M 2 = 1 sin 2 θ 2 φ sin θ θ sin θ θ dove M 2 è anche detto operatore legendriano.

15 Particelle e sfere - 3 Se la particella è costretta a muoversi sulla superficie della sfera, trascuriamo le derivate in r, e poniamo r = R. Dall equazione di di Schrödinger si ottiene un equazione in Ψ E (φ, θ): dove I = ma I M2 Ψ E = EΨ E La funzione Ψ E dovrà essere periodica in φ e in θ. Inoltre deve essere finita a θ = π. La soluzione generale si può scrivere in termini di funzioni speciali, note come funzioni armoniche sferiche. Le armoniche sferiche sono autofunzioni del legendriano: M 2 Y lml (θ, φ) = l(l + 1)Y lml (θ, φ) dove l = 0, 1,... e m l = l, l + 1,..., l 1, l.

16 Particelle e sfere - 4 Segue che le autoenergie di una particella che si muova su una sfera sono caratterizzate da: E lml = 2 l(l + 1) 2I Si noti che per ogni autostato, caratterizzato dai numeri quantici l e m l, esistono 2(l + 1) autovalori degeneri, dato che E lml non dipende da m l.

17 Particelle e sfere - 5 Procediamo ora con il caso della particella confinata nella sfera. Ora dobbiamo considerare il laplaciano nella sua forma completa. Si può assumere che la parte angolare debba essere quella determinata dal moto sulla sfera: Ψ E (r, θ, φ) = R(r)Y lml (θ, φ) Sostituendo nell Eq. di Schrödinger si trova l equazione per la parte radiale: 1 d r 2 dr r 2 dr l(l + 1) dr r 2 R + 2m 2 ER = 0 con le condizioni al contorno che R = 0 per r = a ed R finita a r = 0.

18 Particelle e sfere - 6 In generale avremo dunque delle funzioni R nl (r) che si ottengono risolvendo la precedente equazione differenziale ordinaria. Consideriamo nel seguito il solo caso l = 0, cioè le soluzioni del problema che siano indipendenti dagli angoli polari (Y 0,0 è una costante). L equazione in R si può porre nella forma ridotta 1 r d 2 dr 2 rr κ2 R = 0 dove κ = 2mE/ 2. La soluzione finita a r = 0 è R(r) = A sin(κr) r e la condizione al contorno impone che κa = 0, vale a dire E = 2 n 2 π 2 2I