Provetta scritta di Calcolo I Corsi di laurea in Fisica - Scienza e Tecnologia dei Materiali Prova scritta del 7/12/2005 Fila A

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1 Provetta scritta di Calcolo I Prova scritta del 7/2/25 Fila A ) Calcolare i limiti 3 x 3 x 4 ; b) lim sin(2x) + x2 x( cos(3x)) c) lim + 5 x 7 x 4 x 2 + x. 2) Determinare il massimo di x 3 (2 + x 4 ) 3/2, x R 3) Verificare che x + x x, per x +. b) Stabilire per quali valori di α si ha e x + x + x x 2 + x = O(/x α ), per x +

2 Prova scritta del 6/2/26 - FILA A ) Studiare la funzione f(x) = e 2x ( x) ( + x). Limiti, asintoti, intervalli di monotonia, convessità, grafico (consiglio di tracciare un grafico approssimativo anche di f (x)). Dire per quali α R si ha f(x) = O(x α ), per x. e /x x + x ; b) lim 5 3x 4 + x + sin(x) x + 5 x ; c) lim + sin x 3 sin(3x). 3) Calcolare gli integrali definiti x 2 arctan x dx, 2 x 2x x + 2x, dx 4) Determinare il numero di soluzioni reali dell equazione + ln x = 3 x2 5) Dire se sono convergenti le serie numeriche ( ) n + n, 3n + 4 n= n= 6) Calcolare, usando la definizione, l integrale improprio Dire se converge la seguente serie 7) Risolvere il seguente problema di Cauchy e n=2 x ln 2 x dx n ln 2 n. n + ln(n 3 ). y = (sin x)y + sin x, y() =.

3 Prova scritta del 2/2/26 ) Dire per quali α R si ha e x ( x) + αx 2 cos x = O(x 3 ), per x. x2 (e /x e /(x+x2) ) b) lim x /2 cos 2 (πx) ; c) lim 2x + ( x 2 ) / ln x + 3. x + 3) Studiare la funzione Tracciare il grafico di f(x) e di f( x). f(x) = x + ex x. 4) Dimostrare che per ogni p > esiste un unica soluzione positiva y = y(p) dell equazione Calcolare la derivata di y(p) per p =. y 2 + e y (y ) = p. 5) Dire se sono convergenti i seguenti integrali impropri ln x + x (x ) dx b) 2 + x x x 2 + e x dx. 6) Determinare per quali valori di β converge la serie n= βn + 7 n. y + y = x sin x, y() = ; x + y + 4y + 4y =, y() = /2, y () =.

4 Prova scritta del 2/6/26 ) Scrivere il polinomio di Taylor di grado 4, con centro nell origine, della funzione quindi calcolare g(x) = e x2 + x 2 x sin(2x), lim 3 g(x) x 4. x ln x x 3/2 x(2 + x + x) b) lim x x3 x + 2 x x 4 4 x ; c) lim + 3x ( + x)/x2. 3) Tracciare il grafico della funzione y = ex + e x. 4) Dimostrare che x ( + x) ln( + x), per ogni x >. b) Usare la diseguaglianza precedente per dimostrare che la funzione ln( + x) f(x) = x è strettamente decrescente nell intervallo (, + ). c) Verificare che la funzione f(x) si puo prolungare con continuità in x = e che tale prolungamento è deirvabile.dire quanto vale f (). 5) Dopo aver verificato che convergono (giustificare), calcolare i seguenti integrali impropri x(x + ) dx b) 6) Determinare per quali valori di β converge la serie 2 n + 7 βn, n= y + 3xy = x, y(2) = ; 3x + x 3 + x dx. y + 5y + 4y =, y() = 3, y () = 2.

5 Prova scritta del 25/7/26 ) Scrivere lo sviluppo di Mac Laurin di grado 6 della funzione g(x) = x sin(x 2 ) + x + x 2 quindi calcolare al variare di α >, il limite g(x) x lim x α. 2x sin x x 2 + arctan x b) lim 7 x cos x + x 2 3 sin x + x ; c) lim cos( 3π 2 x2 ) x x 2. 3) Al variare del parametro positivo a, calcolare il minimo di f a (x) = ax 3 + e x3. Dire per quali valori di a si ha f a (x) > per ogni x R. Per a = tracciare il grafico della funzione f a (x). 4) Studiare la convergenza degli integrali impropri x x dx b) Calcolare gli integrali che risultano convergenti. x e x dx. 5) Discutere la convergenza delle seguenti serie numeriche 6) Calcolare gli integrali definiti n= n( ) n + n 2, b) n2 n + n. n= dx x 3 + 2x 2 4x 8 ; b) π/2 dx + cos x. y = xe y, y() = ; y + y + 4y =, y() =, y () =.

6 Prova scritta del 2/9/26 ) Scrivere il polinomio di Taylor di grado 6, con centro nell origine, della funzione g(x) = x cos(2x). (3x + x2 x ) /x b) lim 3 2x 3 x 5 sin(3x) x 2 ; c) lim x x 2 + x 2 cos( π 2 x). 3) Studiare la funzione f(x) = x + e x. Tracciare il grafico di y = f(x) e di y = f(x ). 4) Dire quante sono le soluzioni dell equazione al variare del parametro p nei numeri reali e x + xe x = p, 5) Stabilire se convergono i seguenti integrali impropri dx x + x 2 b) 3x + x x 3 + ln( + x) dx. 6) Determinare per quali valori di β converge la serie n= 7 nβ n 2, y = 3x(y 2 ), y() = ; y + 4y + 5y =, y() =, y () = 2.