Introduzione ai Convertitori A/D Delta-Sigma

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1 Introduzione ai Convertitori A/D Delta-Sigma Lucidi delle lezioni di Circuiti Integrati Università di Cagliari Dipartimento di Ingegneria Elettrica ed Elettronica Laboratorio di Elettronica (EOLAB)

2 Convertitori I convertitori analogico-digitale delta-sigma (detti anche sigma-delta) sono i più diffusi convertitori ad elevata risoluzione (fino a 20 bit) disponibili sul mercato. Il meccanismo attraverso il quale si aumenta la risoluzione del convertitore rispetto ai convertitori classici è quello di complicare notevolmente la parte digitale (che può essere complessa eppure occupare molto poco spazio con le tecnologie moderne) e ridurre invece al massimo la complessità dei componenti analogici. I concetti fondamentali per comprendere il principio di funzionamento dei delta-sigma sono due: oversampling e noise-shaping. Attraverso questi due concetti combinati è possibile aumentare notevolmente lo SNR di un convertitore a bassa risoluzione (al limite ad un solo bit) fino ad ottenerne uno equivalente con molti più bit di risoluzione. 30/11/2012 CI - AD Delta-Sigma Massimo Barbaro 2

3 : Quantizer In un modello lineare un quantizzatore a N bit (un convertitore analogico/digitale seguito da un convertitore digitale/analogico) può essere considerato come un sistema lineare che introduce il rumore (additivo) di quantizzazione. Tale modello è corretto se si riconosce che il rumore può dipendere dall ingresso. Il modello è invece approssimato se si considerano il segnale ed il rumore come segnali indipendenti. Questa è una approssimazione perché non è detto che il rumore di quantizzazione possa essere considerato scorrelato dall ingresso; questa ipotesi è valida solo se il segnale in ingresso è sufficientemente attivo. 30/11/2012 CI - AD Delta-Sigma Massimo Barbaro 3

4 : Oversampling Se l ingresso è abbastanza attivo si può considerare il rumore di quantizzazione come una variabile aleatoria con densità di potenza uniforme (rumore bianco). Abbiamo già calcolato la potenza dell errore di quantizzazione pari a V 2 LSB / 12. Tale potenza è distribuita uniformemente su una banda pari f S (frequenza di campionamento). L integrale del quadrato della densità di potenza è sempre pari a V 2 LSB / 12 30/11/2012 CI - AD Delta-Sigma Massimo Barbaro 4

5 : Oversampling Il segnale in ingresso al quantizzatore deve avere banda limitata (f 0 ). In un convertitore classico (Nyquist rate) la frequenza di campionamento f S =2 f 0. Nel caso di un convertitore delta-sigma la frequenza è molto maggiore (più di 20 volte) della banda del segnale. In questo modo, poiché l area totale della densità spettrale di potenza del rumore di quantizzazione deve essere costante e dipendere solo dalla risoluzione del quantizzatore si può fare in modo che solo una parte del rumore vada a sovrapporsi alla banda del segnale. Dato che per ricostruire il segnale bisogna filtrare l uscita del quantizzatore nella banda utile si può eliminare una buona quantità di rumore. 30/11/2012 CI - AD Delta-Sigma Massimo Barbaro 5

6 Oversampling: Effetti sul SNR Se il segnale viene sovracampionato (oversampling) con frequenza f S in modo che: f S /2f 0 = OSR (OverSampling Ratio) Poiché per ricostruire il segnale bisogna fitrare nella banda del segnale (f 0 ) la potenza di rumore superstite, dopo il filtraggio risulta: N= (2f 0 (V 2 LSB / 12 )) / f S = (V 2 LSB / 12 ) / OSR Se l ingresso è un onda sinusoidale full-range la sua potenza è: Da cui: S= V 2 REF / 8 = 2 2N V 2 LSB / 8 SNR = 10 log(s/n) = 10log(3/2 2 2N )+10log(OSR)= =6.02N log(OSR) Da cui si evince che nel caso di un quantizzatore con sovracampionamento si ha un aumento del SNR rispetto ad un convertitore normale pari a 3dB per ogni raddoppio della frequenza di campionamento (3dB/ottava). Questo vuole dire anche che un convertitore a N bit con OSR=4 è equivalente (in termini di SNR) ad un convertitore a N+1 bit. 30/11/2012 CI - AD Delta-Sigma Massimo Barbaro 6

7 Oversampling: Limiti L oversampling da solo non è sufficiente per alcuni motivi. Principalmente l equivalenza fra quantizzatore a N bit e quantizzatore a N+M bit è valida solo in termini di SNR. Questo vuole dire che potrei pensare di ottenere un convertitore equivalente a 16 bit partendo da uno a 12 bit (ogni bit in più lo si ottiene quadruplicando la frequenza di campionamento) ma solo in termini di SNR, l altro parametro importante (la linearità) non verrebbe alterato dall oversampling ed allora per avere veramente un convertitori a 16 bit dovrei partire da un convertitore a 12 bit che ha già una linearità di 16 bit (in cui cioè INL<LSB/2 4, dove l LSB è quello del convertitore a 12 bit, nel caso generale avrei bisogno di un convertitore a N bit con INL<LSB/2 M ). Per ovviare a questo problema si può pensare di partire da un quantizzatore a 1 solo bit che è inerentemente lineare (infatti per due punti passa una ed una sola retta). Il problema è che per trasformare un convertitore a 1 bit in uno a 16 con il solo oversampling bisognerebbe aumentare la frequenza di campionamento di 4 15 volte (ogni volta che moltiplico per 4 aumento di un bit e me ne servono altri 15). La cosa è evidentemente improponibile ed è per questo che oltre l oversampling si ricorre a un altro stratagemma noto come noise-shaping. 30/11/2012 CI - AD Delta-Sigma Massimo Barbaro 7

8 : Noise Shaping Il noise-shaping si basa sull idea di filtrare in modo diverso il segnale ed il rumore di quantizzazione in modo che, mentre il segnale subisce un filtraggio passa-basso il rumore subisca un filtraggio passa-alto che sposti la maggior parte del rumore di quantizzazione alle frequenze fuori dalla banda del segnale che verranno quindi filtrate via in sede di ricostruzione del segnale. La catena di elaborazione è mostrata in figura: filtro anti-aliasing, S&H (che può essere omesso se il blocco successivo è impementato con switched capacitors), modulatore delta-sigma (che implementa il noise-shaping ed il quantizzatore) ed infine la parte digitale (chiamata filtro decimatore) che effettua il filtraggio passa-basso (digitale) di ricostruzione e il downsampling per tornare alla frequenza di Nyquist. 30/11/2012 CI - AD Delta-Sigma Massimo Barbaro 8

9 : Modulatore Il modulatore delta-sigma ha lo schema a blocchi in figura. 30/11/2012 CI - AD Delta-Sigma Massimo Barbaro 9

10 : Modulatore (2) Si vede come le funzioni di trasferimento del segnale e del rumore siano differenti (parliamo di sistemi a tempo discreto quindi le funzioni di trasferimento sono in z): S TF (z) = Y(z)/U(z) = H(z)/(1+H(z)) N TF (z) = Y(z)/E(z) = 1/(1+H(z)) In particolare la funzione di trasferimento del rumore ha gli zeri dove H(z) ha i poli (quando H(z) va all infinito N TF (z) va a zero). Se allora la funzione di trasferimento H(z) è passa basso (con i poli in continua) quella del rumore è passa-alto e correttamente si è realizzato il noise-shaping ossia si è spostato il rumore fuori dalla banda del segnale. La scelta più semplice è quella di usare un integratore, ad esempio del primo ordine, per realizzare H(z). 30/11/2012 CI - AD Delta-Sigma Massimo Barbaro 10

11 Implementazione a Switched-Cap Un modulatore delta-sigma del primo ordine può essere ottenuto usando un integratore come funzione di trasferimento H(z). In tale caso il circuito che implementa il modulatore può interamente essere realizzato con capacità commutate sia per implementare l integratore che per effettuare la conversione D/A all uscita del quantizzatore e la conseguente differenza col segnale di ingresso. 30/11/2012 CI - AD Delta-Sigma Massimo Barbaro 11

12 : Conclusioni I convertitori sigma-delta sfruttano due effetti combinati (oversampling e noise-shaping) per ottenere convertitori ad elevata risoluzione (N=20bit) partendo da un convertitore ad un solo bit. La complessità è spostata dalla parte analogica (che viene spesso implementata a capacità commutate con filtri del primo o secondo ordine) alla parte digitale (il decimatore). L ordine di un modulatore delta-sigma è dato dall ordine del filtro H(z) che precede il quantizzatore. 30/11/2012 CI - AD Delta-Sigma Massimo Barbaro 12