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1 L soluzon Data la funzon ln( ) f ( ) 3 a trova l domno d f b scrv, splctamnt pr stso, qual sono gl ntrvall n cu f() rsulta postva qull n cu rsulta ngatva c dtrmna l vntual ntrszon con gl ass d studa l comportamnto dlla funzon agl strm dl suo domno, dtrmnando vntual asntot; (gustfcar rsultat d lmt) calcola la drvata prma scrv, splctamnt pr stso, qual sono gl ntrvall n cu la funzon è crscnt qull n cu è dcrscnt, scrvndo s c sono vntual massm o mnm rlatv o flss a tangnt orzzontal f dsgna un grafco approssmatvo n un opportuno sstma d rfrmnto a) Dobbamo mporr ch l argomnto dl logartmo sa maggor d zro, coè > 0 Qusta condzon ngloba anch la condzon ch l dnomnator sa dvrso da zro Qund D (0, ) b) Il numrator 3 ln() è postvo quando >, mntr l dnomnator è postvo pr > 0 Confrontando l sgno d numrator dnomnator 3ln() tnuto conto ch l domno è (0, ), s vnc ch la funzon è postva pr > ngatva pr 0 < < : 0 D: f() > 0: c) Non v possono ssr ntrszon con l ass y poché 0 non appartn al domno Quanto all ntrszon con l ass, s tratta d capr s v sono valor d pr qual s abba 3ln( ) 0 Una frazon è ugual a 0 s solo s l numrator è 0 Qusto sgnfca ch dv ssr ln() 0, ch quval a 0 S ottn dunqu V è dunqu l ntrszon (,0) d) Dobbamo calcolar du lmt: lm f ( ) 0 lm f ( ) S ha ch ln( ) lm 3 0

2 n quanto l numrator tnd a - d l dnomnator tnd a 0 (praltro, com abbamo studato nl punto c), appna a dstra d 0 la funzon rsulta ngatva) Invc, l scondo ln( ) lmt, lm 3 dà luogo alla forma ndtrmnata Samo sotto l pots n cu è possbl utlzzar la rgola d d l Hôptal S ha dunqu: 3 3ln( ) (3ln ) 3 lm lm lm lm 0 ( ) Qund v è un asntoto orzzontal, dato dalla rtta d quazon y 0 ln( ) ln( ) ) ( ) 3 f 3 D consgunza, f ( ) > 0 s solo s ln() > 0, ch è quvalnt a ln() < pplchamo la funzon sponnzal ad ambo mmbr, ottnndo ln < coè < In concluson, tnuto conto anch dl domno, f ( ) > 0 pr 0 < <, mntr f ( ) < 0 pr > : D: 0 f ( ) > 0 : Dunqu la funzon è crscnt nll ntrvallo (0,) d è dcrscnt nll ntrvallo (, ) Nl ln( ) 3 punto d ascssa d ordnata y f() 3 v è un massmo M(,3/) f) M

3 Calcola l ara comprsa tra l ass d l grafco dlla funzon f() ( ), rapprsntato n fgura, nll ntrvallo [-,] Innanztutto notamo ch, com anch s nota dalla fgura, l grafco ntrsca l ass nl punto d ascssa -/ La funzon è ngatva a snstra d -/ postva a dstra d -/ Qund l ara crcata è data da, dov ) ( d ( d ) Pr comodtà rsolvamo prma l ntgral ndfnto, pr trovar una prmtva d f: Prtanto: ( ) d d ( ) d ( ) d d d

4 [ ] ( ) 4 ) ( ) ( d [ ] ) ( d Prtanto 4 4

5 3 In una comptzon lttoral v è un afflunza all urn dl 70% d l partto poltco ottn l 30% d vot Non v sono schd banch o null a) Qual è la prcntual d vot rfrta a tutt gl avnt drtto? b) Qual dovrbb ssr la prcntual d vot ottnuta dal partto affnché sso ottnga l 30% d tutt gl avnt drtto? a) Il partto ottn l 30% dl 70% dgl avnt drtto, ovvrosa coè l % d vot d tutt gl avnt drtto b) Dcamo la prcntual d vot (su votant) ch dv ottnr al fn d ottnr l 30% d vot rfrto a tutt gl avnt drtto S dv dunqu avr ch da cu ,9% 70

6 4 S sprmnta un farmaco pr la dmnuzon dlla prsson artrosa I rsultat sono rportat n tablla, dov nlla prma colonna è ndcata la dos d farmaco nlla sconda colonna la corrspondnt dmnuzon prcntual dlla prsson dos (mg) dmnuzon prsson (%) S trov l quazon dlla rtta d rgrsson lnar n modo da sprmr la dmnuzon d prsson n funzon dlla dos Indchamo con la dos con y la prcntual d dmnuzon d prsson Innanztutto calcolamo la mda artmtca dll du varabl S ha: ,4 y 4, 4 L quazon dlla rtta d rgrsson è dl tpo y m q dov: m ( )( y ( ) y ) q s trova mponndo l passaggo dlla rtta pr l barcntro, coè l punto d coordnat (, y ) : q y m Calcolamoc tutt dat d cu abbamo bsogno su una tablla: Prtanto: y y ( )( y y ) ( ) -3,4-4,4 4,96,6 -,4-4,4 6,6,96 0,6 0,6 0,36 0,36,6 3,6,76,6,6 4,6,96 6,76 somma: 39, 3, m ( )( y y ) 39, 3, ( ),69

7 q y m 4,4,69 7,4,90 La rtta d rgrsson lnar ha dunqu quazon y,69,90