Chiusura lineare. N.B. A può essere indifferentemente un insieme, finito o no, o un sistema. Es.1. Es.2
|
|
- Gaspare Carbone
- 8 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Chiusura lineare Def. Sia A V (K) con A. Si dice copertura lineare (o chiusura lineare) di A, e si indica con L(A), l insieme dei vettori di V che risultano combinazioni lineari di un numero finito di vettori di A. N.B. A può essere indifferentemente un insieme, finito o no, o un sistema. Es.1 Es.2
2 Proprietà della chiusura lineare Prop.1 Siano A un sottoinsieme (o un sistema) non vuoto di V (K) e L(A) la sua chiusura lineare, allora 1. L(A) è un sottospazio vettoriale di V (K); 2. A L(A); 3. L(L(A)) = L(A); 4. L(A) è incluso in ogni sottospazio vettoriale di V (K) che include A (cioè L(A) è il più piccolo sottospazio vettoriale di V (K) che include A). Prop.2 Siano A e B sottoinsiemi (o sistemi) non vuoti di V (K), allora 1. A B L(A) L(B); 2. L(A B) = L(A) + L(B).
3 Generatori. Spazi finitamente generati Def. Sia A un sistema (o un sottoinsieme) non vuoto di V (K). Il sottospazio vettoriale L(A) si dice spazio generato da A ed A si dice sistema (o insieme) di generatori di L(A). Pertanto A è detto sistema (o insieme) di generatori di V (K), che è detto spazio generato, se V (K) = L(A), cioè se ogni vettore di V (K) si può scrivere come combinazione lineare di un numero finito di vettori di A. Def. Uno spazio vettoriale V (K) si dice finitamente generato se ammette almeno un sistema di generatori. Es.
4 Proprietà dei sistemi di generatori Lemma Sia A = [v i ] i In un sistema di generatori di V (K). Se in A esiste un v s che è esprimibile come combinazione lineare dei rimanenti vettori di A, allora A \ {v s } è ancora un sistema di generatori di V (K). Teorema Ogni spazio vettoriale finitamente generato e non banale ammette almeno un sistema libero di generatori.
5 Sistemi di generatori e sistemi liberi. Lemma di Steinitz Lemma di Steinitz In uno spazio vettoriale f.g. siano B = [v i ] i In un sistema di generatori e A = [w j ] j Im un sistema libero, allora m n.
6 Basi Def. Si dice base di uno spazio vettoriale V (K) una sequenza libera di generatori. N.B. Applicando un teorema precedente possiamo dunque dire che ogni spazio vettoriale finitamente generato e non banale ammette almeno una base. Prop. Tutte le basi di uno spazio vettoriale f.g. hanno la stessa cardinalità. Dimensione Def. Si dice dimensione di uno spazio vettoriale f.g., e si denota con dim V (K), la cardinalità di una sua base qualunque. N.B. Uno spazio vettoriale di dimensione n si denota con V n (K).
7 Conseguenze del lemma di Steinitz Corollario In V n (K) con n > 0 a. m vettori con m > n sono linearmente dipendenti; b. m vettori con m < n non possono generare V n (K); c. una sequenza di n generatori è libera, quindi è una base; d. una sequenza libera di n vettori genera V n (K), quindi è una sua base. Prop.1 In V n (K) esistono sottospazi vettoriali di ogni dimensione t con 0 t n. Prop.2 Siano U e W sottospazi vettoriali di V n (K) e sia U W, allora: a. dim U dim W ; b. U = W dim U = dim W.
8 Conseguenze del lemma di Steinitz Completamento di una sequenza libera ad una base Teorema (del completamento) Siano B = (e i ) i In una base e A = (v i ) i Ip una sequenza libera di V n (K) (dunque p n). Allora in B esiste una sottosequenza B, formata da n p vettori, tale che A B risulti una base di V n (K). N.B.Il teorema precedente ci dice che in uno spazio vettoriale di dimensione finita è sempre possibile costruire basi contenenti vettori prefissati, purchè linearmente indipendenti. Essi infatti, assunti in un dato ordine, formano una sequenza libera che può essere completata in modo da ottenere una base dello spazio che, ovviamente, conterrà i vettori di partenza. Def. Se A è una sequenza libera e B una base, la sottosequenza B di B tale che A B è una base, è detta completamento di A.
9 Complemento diretto di un sottospazio Prop. In V n (K) siano B una base, A una sequenza libera, B B un completamento di A. Allora V n (K) = L(A) L(B ). Def. Se V (K) = U W i due sottospazi U e W si dicono l uno complemento diretto dell altro. Corollario In V n (K) ogni sottospazio vettoriale ammette almeno un complemento diretto.
10 Formula di Grassmann Teorema (formula di Grassmann) Siano U e W sottospazi di uno spazio f.g. V n (K). Allora dim U + dim W = dim (U W ) + dim (U + W )
11 Caratterizzazione di una base Teorema Una sequenza B = (v i ) i In di vettori di V (K) è una sua base se, e soltanto se, ogni vettore di V (K) si può esprimere in uno ed un solo modo come combinazione lineare dei vettori di B.
12 Componenti in una data base Def. In V n (K) siano B = (e i ) i In una base e v un vettore con v = k 1 e 1 + k 2 e k n e n. L ennupla dei coefficienti (k i ) i In è detta ennupla delle componenti di v in B. Es. Prop. Sia B una base di uno spazio vettoriale V n (K). La corrispondenza φ B che ad ogni vettore v associa l ennupla (k i ) i In delle sue componenti in B è una biiezione di dominio V n (K) e codominio K n.
13 Cambiamento di base Siano B = (e i ) i In e B = (e i ) i I n due basi di V n (K). Dato che B è base, i vettori di B possono essere scritti come combinazioni lineari dei vettori di B: e 1 = h 11e 1 + h 12 e h 1n e n ( ) e 2 = h 21e 1 + h 22 e h 2n e n. e n = h n1 e 1 + h n2 e h nn e n Analogamente, i vettori di B possono essere scritti come combinazioni lineari dei vettori di B : e 1 = h 11 e 1 + h 12 e h 1n e n e ( ) 2 = h 21 e 1 + h 22 e h 2n e n. Ponendo E = e 1 e 2. e n e n = h n1 e 1 + h n2 e h nn e n, E = e 1 e 2., e n la ( ) risulta equivalente alla E = HE la ( ) risulta equivalente alla E = HE H = (h ij ) i,j In H = ( h ij ) i,j In
14 Matrice del cambiamento di base Def. La matrice H che ha nelle righe le componenti dei vettori di B in B è detta matrice del cambiamento di base da B a B. La matrice H che ha nelle righe le componenti dei vettori di B in B e risulta la matrice del cambiamento di base da B a B. Sostituendo E = HE in E = HE si ottiene E = H(HE) cioè E = ( HH)E. Dunque la matrice HH ha nelle righe le componenti dei vettori di B in B ed è perciò HH = n. Analogamente, H H = n. Pertanto Prop. Una matrice di cambiamento di base è quadrata e invertibile e la sua inversa è la matrice del cambiamento di base opposto.
15 Componenti di un vettore rispetto a basi distinte Attraverso la matrice del cambiamento di base si può stabilire un legame fra le componenti di un vettore v di V n (K) rispetto a due distinte basi B = (e i ) i In e B = (e i ) i I n. Dette X v e X v le matrici colonna delle componenti del vettore v in B e B rispettivamente, risulta v = t X v E (se si esprime v rispetto a B) v = t X v E (se si esprime v rispetto a B ). Pertanto t X v E = t X v E e, sostituendo E = HE, si ottiene t X v E = ( t X v H)E. Per l unicità delle componenti deve essere t X v = t X v H da cui, passando alle trasposte, X v = t H X v Dato che la matrice del cambiamento di base è invertibile, si può equivalentemente scrivere X v = t H 1 X v
1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali
1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali Definizione 1 (Applicazioni lineari) Si chiama applicazione lineare una applicazione tra uno spazio vettoriale ed uno spazio vettoriale sul campo tale che "!$%!
DettagliLezione 9: Cambio di base
Lezione 9: Cambio di base In questa lezione vogliamo affrontare uno degli argomenti piu ostici per lo studente e cioè il cambio di base all interno di uno spazio vettoriale, inoltre cercheremo di capire
Dettaglix 1 + x 2 3x 4 = 0 x1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 + x 2 3x 4 = 0.
Problema. Sia W il sottospazio dello spazio vettoriale R 4 dato da tutte le soluzioni dell equazione x + x 2 + x = 0. (a. Sia U R 4 il sottospazio dato da tutte le soluzioni dell equazione Si determini
DettagliAPPLICAZIONI LINEARI
APPLICAZIONI LINEARI 1. Esercizi Esercizio 1. Date le seguenti applicazioni lineari (1) f : R 2 R 3 definita da f(x, y) = (x 2y, x + y, x + y); (2) g : R 3 R 2 definita da g(x, y, z) = (x + y, x y); (3)
DettagliUniversità degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica
Università degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Esame di Geometria (Prof. F. Tovena) Argomenti: Proprietà di nucleo e immagine di una applicazione lineare. dim V = dim
DettagliLEZIONE 16. Proposizione 16.1.2. Siano V e W spazi vettoriali su k = R, C. Se f: V W
LEZIONE 16 16.1. Applicazioni lineari iniettive e suriettive. Ricordo le seguenti due definizioni valide per applicazioni di qualsiasi tipo ϕ: X Y fra due insiemi. L applicazione ϕ si dice iniettiva se
DettagliESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA
ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Francesco Bottacin Padova, 24 febbraio 2012 Capitolo 1 Algebra Lineare 1.1 Spazi e sottospazi vettoriali Esercizio 1.1. Sia U il sottospazio di R 4 generato dai
DettagliParte 6. Applicazioni lineari
Parte 6 Applicazioni lineari A Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Applicazioni fra insiemi, 2 Applicazioni lineari tra spazi vettoriali, 2 3 Applicazioni lineari da R n a R
Dettagli3 Applicazioni lineari e matrici
3 Applicazioni lineari e matrici 3.1 Applicazioni lineari Definizione 3.1 Siano V e W dei K spazi vettoriali. Una funzione f : V W è detta applicazione lineare se: i u, v V, si ha f(u + v = f(u + f(v;
DettagliEsercizi su lineare indipendenza e generatori
Esercizi su lineare indipendenza e generatori Per tutto il seguito, se non specificato esplicitamente K indicherà un campo e V uno spazio vettoriale su K Cose da ricordare Definizione Dei vettori v,,v
DettagliApplicazioni lineari
Applicazioni lineari Esempi di applicazioni lineari Definizione. Se V e W sono spazi vettoriali, una applicazione lineare è una funzione f: V W tale che, per ogni v, w V e per ogni a, b R si abbia f(av
DettagliDimensione di uno Spazio vettoriale
Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione
Dettagli2.1 Definizione di applicazione lineare. Siano V e W due spazi vettoriali su R. Un applicazione
Capitolo 2 MATRICI Fra tutte le applicazioni su uno spazio vettoriale interessa esaminare quelle che mantengono la struttura di spazio vettoriale e che, per questo, vengono dette lineari La loro importanza
DettagliOGNI SPAZIO VETTORIALE HA BASE
1 Mimmo Arezzo OGNI SPAZIO VETTORIALE HA BASE CONVERSAZIONE CON ALCUNI STUDENTI DI FISICA 19 DICEMBRE 2006 2 1 Preliminari Definizione 1.0.1 Un ordinamento parziale (o una relazione d ordine parziale)
DettagliLEZIONE 14. a 1,1 v 1 + a 1,2 v 2 + a 1,3 v 3 + + a 1,n 1 v n 1 + a 1,n v n = w 1
LEZIONE 14 141 Dimensione di uno spazio vettoriale Abbiamo visto come l esistenza di una base in uno spazio vettoriale V su k = R, C, permetta di sostituire a V, che può essere complicato da trattare,
DettagliLezioni di Algebra Lineare III. Applicazioni lineari e matrici Struttura algebrica delle soluzioni dei sistemi lineari
Versione ottobre novembre 2008 Lezioni di Algebra Lineare III. Applicazioni lineari e matrici Struttura algebrica delle soluzioni dei sistemi lineari Contenuto 1. Applicazioni lineari 2. L insieme delle
DettagliAlgebra e Geometria. Ingegneria Meccanica e dei Materiali Sez (2) Ingegneria dell Automazione Industriale Sez (2)
Algebra e Geometria Ingegneria Meccanica e dei Materiali Sez (2) Ingegneria dell Automazione Industriale Sez (2) Traccia delle lezioni che saranno svolte nell anno accademico 2012/13 I seguenti appunti
DettagliAnno 1. Le relazioni fondamentali (equivalenza, d'ordine, inverse, fra insiemi)
Anno 1 Le relazioni fondamentali (equivalenza, d'ordine, inverse, fra insiemi) 1 Introduzione In questa lezione imparerai a utilizzare le diverse tipologie di relazione e a distinguerle a seconda delle
Dettagli4. Operazioni elementari per righe e colonne
4. Operazioni elementari per righe e colonne Sia K un campo, e sia A una matrice m n a elementi in K. Una operazione elementare per righe sulla matrice A è una operazione di uno dei seguenti tre tipi:
DettagliLEZIONE 17. B : kn k m.
LEZIONE 17 17.1. Isomorfismi tra spazi vettoriali finitamente generati. Applichiamo quanto visto nella lezione precedente ad isomorfismi fra spazi vettoriali di dimensione finita. Proposizione 17.1.1.
DettagliMATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni.
MATEMATICA. Sistemi lineari in due equazioni due incognite. Date due equazioni lineari nelle due incognite x, y come ad esempio { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un
Dettaglif(x, y, z) = (x + ky + z, x y + 2z, x + y z) f(x, y, z) = (x + 2y z, x + y z, x + 2y) F (f(x)) = (f(0), f(1), f(2))
Algebra Lineare e Geometria Analitica Politecnico di Milano Ingegneria Applicazioni Lineari 1. Sia f : R 3 R 3 l applicazione lineare definita da f(x, y, z) = (x + ky + z, x y + 2z, x + y z) per ogni (x,
Dettagli1. Sia dato un poliedro. Dire quali delle seguenti affermazioni sono corrette.
. Sia dato un poliedro. (a) Un vettore x R n è un vertice di P se soddisfa alla seguenti condizioni: x P e comunque presi due punti distinti x, x 2 P tali che x x e x x 2 si ha x = ( β)x + βx 2 con β [0,
DettagliFederico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 1/24
Contenuto Endomorfismi auto-aggiunti. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale Gli autovalori di una matrice simmetrica sono tutti reali. (Dimostrazione fatta usando i numeri complessi). Dimostrazione
DettagliAutovalori e Autovettori
Daniela Lera Università degli Studi di Cagliari Dipartimento di Matematica e Informatica A.A. 2008-2009 Autovalori e Autovettori Definizione Siano A C nxn, λ C, e x C n, x 0, tali che Ax = λx. (1) Allora
DettagliSpazi lineari - PARTE II - Felice Iavernaro. Dipartimento di Matematica Università di Bari. 9 e 16 Marzo 2007
Spazi lineari - PARTE II - Felice Iavernaro Dipartimento di Matematica Università di Bari 9 e 16 Marzo 2007 Felice Iavernaro (Univ. Bari) Spazi lineari 9-16/03/2007 1 / 17 Condizionamento dei sistemi lineari
DettagliParte 2. Determinante e matrice inversa
Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice
DettagliALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE
ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE 1 DIPENDENZA E INDIPENDENZA LINEARE Se ho alcuni vettori v 1, v 2,, v n in uno spazio vettoriale V, il sottospazio 1 W = v 1,, v n di V da loro generato è
DettagliLEZIONE 23. Esempio 23.1.3. Si consideri la matrice (si veda l Esempio 22.2.5) A = 1 2 2 3 3 0
LEZIONE 23 231 Diagonalizzazione di matrici Abbiamo visto nella precedente lezione che, in generale, non è immediato che, data una matrice A k n,n con k = R, C, esista sempre una base costituita da suoi
DettagliAPPLICAZIONI LINEARI. B si definisce surriettiva. 9 quando ogni elemento di. B risulta IMMAGINE di. almeno un elemento di A.
APPLICAZIONI LINEARI Siano V e W due spazi vettoriali, di dimensione m ed n sullo stesso campo di scalari R. Una APPLICAZIONE ƒ : V W viene definita APPLICAZIONE LINEARE od OMOMORFISMO se risulta, per
Dettagli15 febbraio 2010 - Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 2009-2010 COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...
15 febbraio 010 - Soluzione esame di geometria - 1 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 009-010 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura
DettagliAlgebra Lineare e Geometria
Algebra Lineare e Geometria Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica A.A. 2013-2014 Prova d esame del 16/06/2014. 1) a) Determinare la matrice associata all applicazione lineare T : R 3 R 4 definita da
DettagliCORSO DI LAUREA INF TWM ANNO DI IMMATRICOLAZIONE MATRICOLA
COGNOME NOME CORSO DI LAUREA INF TWM ANNO DI IMMATRICOLAZIONE MATRICOLA SIMULAZIONE SCRITTO DI MATEMATICA DISCRETA, SECONDA PARTE Per ottenere la sufficienza bisogna rispondere in modo corretto ad almeno
DettagliLezioni del corso di Geometria e Algebra. prof. Michele Mulazzani dott. Alessia Cattabriga
Lezioni del corso di Geometria e Algebra prof Michele Mulazzani dott Alessia Cattabriga AA 20001/2002 Indice 1 Equazioni e sistemi lineari 4 11 Alcune strutture algebriche 4 12 Operazioni standard su K
DettagliLEZIONE 31. B i : R n R. R m,n, x = (x 1,..., x n ). Allora sappiamo che è definita. j=1. a i,j x j.
LEZIONE 31 31.1. Domini di funzioni di più variabili. Sia ora U R n e consideriamo una funzione f: U R m. Una tale funzione associa a x = (x 1,..., x n ) U un elemento f(x 1,..., x n ) R m : tale elemento
DettagliParte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli
Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici
Dettaglix u v(p(x, fx) q(u, v)), e poi
0.1. Skolemizzazione. Ogni enunciato F (o insieme di enunciati Γ) è equisoddisfacibile ad un enunciato universale (o insieme di enunciati universali) in un linguaggio estensione del linguaggio di F (di
DettagliLezione 6 Nucleo, Immagine e Teorema della Dimensione. 1 Definizione di Nucleo e Immagine
Lezione 6 Nucleo, Immagine e Teorema della Dimensione In questa lezione entriamo nel vivo della teoria delle applicazioni lineari. Per una applicazione lineare L : V W definiamo e impariamo a calcolare
DettagliEsame di Geometria - 9 CFU (Appello del 28 gennaio 2013 - A)
Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 28 gennaio 23 - A) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Nello spazio R 3, siano dati il piano e i punti P = (, 2, ), Q = (2,, ). π : x + 2y 3
DettagliForme bilineari e prodotti scalari. Definizione Dato lo spazio vettoriale V (K) sul campo K, una funzione. b :
Forme bilineari e prodotti scalari Definizione Dato lo spazio vettoriale V (K) sul campo K, una funzione b : { V V K ( v, w) b( v, w), si dice forma bilineare su V se per ogni u, v, w V e per ogni k K:
Dettagli(V) (FX) Z 6 è un campo rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto.
29 giugno 2009 - PROVA D ESAME - Geometria e Algebra T NOME: MATRICOLA: a=, b=, c= Sostituire ai parametri a, b, c rispettivamente la terzultima, penultima e ultima cifra del proprio numero di matricola
DettagliRICHIAMI SULLE MATRICI. Una matrice di m righe e n colonne è rappresentata come
RICHIAMI SULLE MATRICI Una matrice di m righe e n colonne è rappresentata come A = a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n............ a m1 a m2... a mn dove m ed n sono le dimensioni di A. La matrice A può
Dettagliu 1 u k che rappresenta formalmente la somma degli infiniti numeri (14.1), ordinati al crescere del loro indice. I numeri u k
Capitolo 4 Serie numeriche 4. Serie convergenti, divergenti, indeterminate Data una successione di numeri reali si chiama serie ad essa relativa il simbolo u +... + u +... u, u 2,..., u,..., (4.) oppure
DettagliProdotto elemento per elemento, NON righe per colonne Unione: M R S
Relazioni binarie Una relazione binaria può essere rappresentata con un grafo o con una matrice di incidenza. Date due relazioni R, S A 1 A 2, la matrice di incidenza a seguito di varie operazioni si può
DettagliEquazioni alle differenze finite (cenni).
AL 011. Equazioni alle differenze finite (cenni). Sia a n } n IN una successione di numeri reali. (Qui usiamo la convenzione IN = 0, 1,,...}). Diremo che è una successione ricorsiva o definita per ricorrenza
DettagliGeometria I A. Algebra lineare
UNIVERSITÀ CATTOLICA DEL SACRO CUORE Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Geometria I A. Algebra lineare Prof.ssa Silvia Pianta Anno Accademico 22/23 Indice Spazi vettoriali 7 Definizione
DettagliAppunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli. 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti.
Appunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti. Def. Si dice equazione differenziale lineare del secondo ordine
DettagliRango: Rouchè-Capelli, dimensione e basi di spazi vettoriali.
CAPITOLO 7 Rango: Rouchè-Capelli, dimensione e basi di spazi vettoriali. Esercizio 7.1. Determinare il rango delle seguenti matrici al variare del parametro t R. 1 4 2 1 4 2 A 1 = 0 t+1 1 A 2 = 0 t+1 1
DettagliCorrispondenze e funzioni
Corrispondenze e funzioni L attività fondamentale della mente umana consiste nello stabilire corrispondenze e relazioni tra oggetti; è anche per questo motivo che il concetto di corrispondenza è uno dei
DettagliALGEBRA I: MODULI. Abbiamo indicato con 0 A, 1 A lo zero e l unità nell anello A e con 0 M l elemento neutro del gruppo abeliano (M, +).
ALGEBRA I: MODULI 1 GENERALITÀ SUGLI A-MODULI Il concetto di A-modulo generalizza quello di spazio vettoriale su un campo K Definizione 11 Sia A un anello commutativo con unità Un A-modulo è un insieme
DettagliLE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE
LE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE Sia f:a B una funzione tra due insiemi. Se y appartiene all immagine di f si chiama fibra di f sopra y l insieme f -1 y) ossia l insieme di tutte le controimmagini
DettagliMATEMATICA DEL DISCRETO elementi di teoria dei grafi. anno acc. 2009/2010
elementi di teoria dei grafi anno acc. 2009/2010 Grafi semplici Un grafo semplice G è una coppia ordinata (V(G), L(G)), ove V(G) è un insieme finito e non vuoto di elementi detti vertici o nodi di G, mentre
DettagliTeoria degli insiemi
Teoria degli insiemi pag 1 Easy Matematica di dolfo Scimone Teoria degli insiemi Il concetto di insieme si assume come primitivo, cioè non riconducibile a concetti precedentemente definiti. Sinonimi di
DettagliRichiami di algebra lineare e geometria di R n
Richiami di algebra lineare e geometria di R n combinazione lineare, conica e convessa spazi lineari insiemi convessi, funzioni convesse rif. BT.5 Combinazione lineare, conica, affine, convessa Un vettore
DettagliSTRUTTURE ALGEBRICHE
STRUTTURE ALGEBRICHE Operazioni in un insieme Sia A un insieme non vuoto; una funzione f : A A A si dice operazione binaria (o semplicemente operazione), oppure legge di composizione interna. Per definizione
DettagliLe equazioni. Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. Antonio Manca da materiali offerti dalla rete.
Le equazioni Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. Antonio Manca da materiali offerti dalla rete. Definizione e caratteristiche Chiamiamo equazione l uguaglianza tra due espressioni algebriche,
DettagliII Spazi vettoriali ed applicazioni lineari
II Spazi vettoriali ed applicazioni lineari Nel capitolo precedente abbiamo visto come assumano un ruolo importante nello studio dello Spazio Euclideo la sua struttura di spazio affine e quindi di spazio
DettagliFondamenti di Automatica
Fondamenti di Automatica Analisi dei sistemi dinamici Dott. Ing. Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria - Università di Ferrara Tel. +39 0532 974839 E-mail: marcello.bonfe@unife.it pag. 1 Analisi dei
DettagliDiagonalizzazione di matrici e applicazioni lineari
CAPITOLO 9 Diagonalizzazione di matrici e applicazioni lineari Esercizio 9.1. Verificare che v = (1, 0, 0, 1) è autovettore dell applicazione lineare T così definita T(x 1,x 2,x 3,x 4 ) = (2x 1 2x 3, x
DettagliAPPUNTI DI MATEMATICA ALGEBRA \ INSIEMISTICA \ TEORIA DEGLI INSIEMI (1)
ALGEBRA \ INSIEMISTICA \ TEORIA DEGLI INSIEMI (1) Un insieme è una collezione di oggetti. Il concetto di insieme è un concetto primitivo. Deve esistere un criterio chiaro, preciso, non ambiguo, inequivocabile,
DettagliAPPUNTI DI ALGEBRA LINEARE
APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE. Definizione Si dice spazio vettoriale (sul campo dei numeri reali R) un insieme V per il quale siano definite l operazione interna di somma (che ad ogni coppia di vettori e
DettagliOttimizzazione Multi Obiettivo
Ottimizzazione Multi Obiettivo 1 Ottimizzazione Multi Obiettivo I problemi affrontati fino ad ora erano caratterizzati da una unica (e ben definita) funzione obiettivo. I problemi di ottimizzazione reali
DettagliAppunti di Algebra Lineare
Appunti di Algebra Lineare Indice 1 I vettori geometrici. 1 1.1 Introduzione................................... 1 1. Somma e prodotto per uno scalare....................... 1 1.3 Combinazioni lineari e
DettagliMatematica generale CTF
Successioni numeriche 19 agosto 2015 Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Definizione
DettagliEquazioni non lineari
Equazioni non lineari Data una funzione f : [a, b] R si cerca α [a, b] tale che f (α) = 0. I metodi numerici per la risoluzione di questo problema sono metodi iterativi. Teorema Data una funzione continua
DettagliSiano V e W due spazi vettoriali. La definizione seguente é è tra quelle basilari per il corso di Matematica B. L : V W
Matematica B - a.a 2006/07 p. 1 Siano V e W due spazi vettoriali. La definizione seguente é è tra quelle basilari per il corso di Matematica B. Definizione 1. La funzione L : V W si dice una applicazione
DettagliCorso di Calcolo Numerico
Corso di Calcolo Numerico Dottssa MC De Bonis Università degli Studi della Basilicata, Potenza Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Corso di Calcolo Numerico - Dottssa MC De Bonis
Dettagli1 Convessità olomorfa
1 Convessità olomorfa Esercizio 1 Sia f O(C n ) e sia X = {f = 0}; dimostrare che, per ogni K compatto di X, l inviluppo K O(Cn ) è contenuto in X. Esercizio 2 Fissato un reale δ (0, 2π), consideriamo
DettagliMATRICI E DETERMINANTI
MATRICI E DETERMINANTI 1. MATRICI Si ha la seguente Definizione 1: Un insieme di numeri, reali o complessi, ordinati secondo righe e colonne è detto matrice di ordine m x n, ove m è il numero delle righe
DettagliEsistenza di funzioni continue non differenziabili in alcun punto
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CAGLIARI FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA Esistenza di funzioni continue non differenziabili in alcun punto Relatore Prof. Andrea
DettagliIntroduzione Ordini parziali e Reticoli Punti fissi
Introduzione Ordini parziali e Reticoli Punti fissi By Giulia Costantini (819048) & Giuseppe Maggiore (819050) Table of Contents ORDINE PARZIALE... 3 Insieme parzialmente ordinato... 3 Diagramma di Hasse...
DettagliIniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora:
Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora: G.C.D.( a d, b d ) = 1 Sono state introdotte a lezione due definizioni importanti che ricordiamo: Definizione
DettagliEQUAZIONI DIFFERENZIALI. 1. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x 2 log t (d) x = e t x log x (e) y = y2 5y+6
EQUAZIONI DIFFERENZIALI.. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x log t (d) x = e t x log x (e) y = y 5y+6 (f) y = ty +t t +y (g) y = y (h) xy = y (i) y y y = 0 (j) x = x (k)
DettagliAPPLICAZIONI LINEARI
APPLICAZIONI LINEARI Esercizi Esercizio 1. Sia f: R 3 R 2 (x, y, z) (x + 2y + z, y + z). (1) Verificare che f è lineare. (2) Determinare una base di ker(f) e stabilire se f è iniettiva. (3) Calcolare w
DettagliOttimizzazione nella gestione dei progetti Capitolo 4: la gestione dei costi (Programmazione multimodale): formulazioni
Ottimizzazione nella gestione dei progetti Capitolo 4: la gestione dei costi (Programmazione multimodale): formulazioni CARLO MANNINO Università di Roma La Sapienza Dipartimento di Informatica e Sistemistica
DettagliL anello dei polinomi
L anello dei polinomi Sia R un anello commutativo con identità. È possibile costruire un anello commutativo unitario, che si denota con R[x], che contiene R (come sottoanello) e un elemento x non appartenente
DettagliCapitolo 2 Distribuzioni di frequenza
Edizioni Simone - Vol. 43/1 Compendio di statistica Capitolo 2 Distribuzioni di frequenza Sommario 1. Distribuzioni semplici. - 2. Distribuzioni doppie. - 3. Distribuzioni parziali: condizionate e marginali.
Dettagli11) convenzioni sulla rappresentazione grafica delle soluzioni
2 PARAGRAFI TRATTATI 1)La funzione esponenziale 2) grafici della funzione esponenziale 3) proprietá delle potenze 4) i logaritmi 5) grafici della funzione logaritmica 6) principali proprietá dei logaritmi
DettagliCORSO DI ALGEBRA (M-Z) Prof. A. Venezia
CORSO DI ALGEBRA (M-Z) Prof. A. Venezia 2018-19 Complementi ed Esercizi APPLICAZIONI LINEARI Siano V e V spazi vettoriali sul campo K. Una applicazione L: V V si dice lineare se: 1 AL. L(v+w) = L(v) +
DettagliLezione 1. Gli Insiemi. La nozione di insieme viene spesso utilizzata nella vita di tutti i giorni; si parla dell insieme:
Lezione 1 Gli Insiemi La nozione di insieme viene spesso utilizzata nella vita di tutti i giorni; si parla dell insieme: degli iscritti ad un corso di laurea delle stelle in cielo dei punti di un piano
DettagliRette e curve, piani e superfici
Rette e curve piani e superfici ) dicembre 2 Scopo di questo articolo è solo quello di proporre uno schema riepilogativo che metta in luce le caratteristiche essenziali delle equazioni di rette e curve
DettagliRELAZIONI E FUNZIONI. Per ricordare. Figura 1. Figura 2. Figura 3. Figura 4
RELAZIONI E FUNZIONI 3 Per ricordare H Dati due insiemi A e B e una proposizione aperta px,y, con x 2 A e y 2 B, si dice che x eá in relazione con y, e si scrive x R y, sepx,y eá vera; si parla allora
DettagliRicerca Operativa 2. Introduzione al metodo del Simplesso
Ricerca Operativa 2. Introduzione al metodo del Simplesso Luigi De Giovanni Giacomo Zambelli 1 Problemi di programmazione lineare Un problema di ottimizzazione vincolata è definito dalla massimizzazione
DettagliLezioni di Geometria e Algebra. Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio
Lezioni di Geometria e Algebra Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio CAPITOLO 4 Applicazioni lineari 1. Definizioni ed esempi. In questo capitolo ci proponiamo di studiare le funzioni tra spazi
Dettagli10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue.
10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue. Lo scopo principale di questo capitolo è quello di far vedere che esistono sottoinsiemi di R h che non sono misurabili secondo Lebesgue. La costruzione di insiemi
DettagliInsiemi di generatori e basi
Insiemi di generatori e basi Proposizione (Corollario al Teorema di Steinitz) Siano V (K) uno spazio vettoriale, B una sua base di cardinalità n e A un sottoinsieme di V di n vettori. Allora: se A è libero,
DettagliApplicazioni lineari
CAPITOLO 8 Applicazioni lineari Esercizio 8.. Sia T : R 3 R 3 l applicazione definita da T(x,x,x 3 ) = (x,x,x 3 ). Stabilire se T è lineare. Esercizio 8.. Verificare che la funzione determinante definita
DettagliMetodi Computazionali
Metodi Computazionali Elisabetta Fersini fersini@disco.unimib.it A.A. 2009/2010 Catene di Markov Applicazioni: Fisica dinamica dei sistemi Web simulazione del comportamento utente Biologia evoluzione delle
Dettaglil insieme Y è detto codominio (è l insieme di tutti i valori che la funzione può assumere)
Che cos è una funzione? Assegnati due insiemi X e Y si ha una funzione elemento di X uno e un solo elemento di Y. f : X Y se esiste una corrispondenza che associa ad ogni Osservazioni: l insieme X è detto
DettagliIGiochidiArchimede-SoluzioniBiennio 22 novembre 2006
PROGETTO OLIMPII I MTEMTI U.M.I. UNIONE MTEMTI ITLIN SUOL NORMLE SUPERIORE IGiochidirchimede-Soluzioniiennio novembre 006 Griglia delle risposte corrette Problema Risposta corretta E 4 5 6 7 8 9 E 0 Problema
Dettagli1 Insiemi e terminologia
1 Insiemi e terminologia Assumeremo come intuitiva la nozione di insieme e ne utilizzeremo il linguaggio come strumento per studiare collezioni di oggetti. Gli Insiemi sono generalmente indicati con le
DettagliFunzioni e loro invertibilità
Funzioni e loro invertibilità Una proposta didattica di Ettore Limoli Definizione di funzione Sono dati due insiemi non vuoti A (dominio) e B (codominio) Diremo che y=f(x) è una funzione, definita in A
DettagliSe x* e punto di minimo (locale) per la funzione nell insieme Ω, Ω = { x / g i (x) 0 i I, h j (x)= 0 j J } lo e anche per F(x) = f o (x) + c x x 2
NLP -OPT 1 CONDIZION DI OTTIMO [ Come ricavare le condizioni di ottimo. ] Si suppone x* sia punto di ottimo (minimo) per il problema min f o (x) con vincoli g i (x) 0 i I h j (x) = 0 j J la condizione
DettagliLE FUNZIONI A DUE VARIABILI
Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre
DettagliSTRINGHE di un ALFABETO. Consideriamo un alfabeto di simboli V V è un insieme finito e non vuoto. Alfabeto della lingua inglese I={a,b,c,..
STRINGHE di un ALFABETO Consideriamo un alfabeto di simboli V V è un insieme finito e non vuoto Alfabeto binario A={0,1} Alfabeto della lingua inglese I={a,b,c,..z} Stringhe o parole Gli elementi di V
DettagliCorso di Matematica per la Chimica
Dott.ssa Maria Carmela De Bonis a.a. 203-4 I sistemi lineari Generalità sui sistemi lineari Molti problemi dell ingegneria, della fisica, della chimica, dell informatica e dell economia, si modellizzano
DettagliTeoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26
Indice L attività di recupero 6 Funzioni Teoria in sintesi 0 Obiettivo Ricerca del dominio e del codominio di funzioni note Obiettivo Ricerca del dominio di funzioni algebriche; scrittura del dominio Obiettivo
DettagliUniversità degli Studi di Roma La Sapienza Laurea in Ingegneria Energetica A.A. 2014-2015 Programma del corso di Geometria Prof.
Università degli Studi di Roma La Sapienza Laurea in Ingegneria Energetica A.A. 2014-2015 Programma del corso di Geometria Prof. Antonio Cigliola Prerequisiti Logica elementare. Principio di Induzione.
DettagliIl rischio di un portafoglio
Come si combinano in un portafoglio i rischi di 2 titoli? dipende dai pesi e dal valore delle covarianze covarianza a a ρ a b ρ a b ρ b b ρ coefficiente di correlazione = cov / ² p = a² ² + b² ² + 2 a
DettagliI sistemi di numerazione
I sistemi di numerazione 01-INFORMAZIONE E SUA RAPPRESENTAZIONE Sia dato un insieme finito di caratteri distinti, che chiameremo alfabeto. Utilizzando anche ripetutamente caratteri di un alfabeto, si possono
Dettagli