STIME E LORO AFFIDABILITA

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Gabriela Santini
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1 TIME E LORO AFFIDABILITA L idea chiave su cui si basa l aalisi statistica è che si ossoo eseguire osservaioi su u camioe di soggetti e che da questo si ossoo comiere iferee sulla oolaioe raresetata da tutti i soggetti co caratteristiche aaloghe a quelle del camioe Ache se be iaificato uo studio uò dare solo ua idea della risosta cercata, a causa esseialmete della variabilità casuale del camioe stesso strettamete collegata, tra l altro, al umero di soggetti iclusi i uo studio Le quatità statistiche otteute (medie, roorioi, odds, coefficieti di regressioe, etc.) soo stime imrecise dei veri valori ella oolaioe geerale

solo ua idea della risosta cercata, a causa esseialmete della variabilità casuale del camioe stesso strettamete collegata, tra l altro, al umero di

2 TIMA Ua misura descrittiva calcolata dai dati di ua oolaioe èdetta arametro. Ua misura descrittiva calcolata dai dati di u camioe è detta stima del arametro. L isieme dei metodi che ci cosetoo di estedere i risultati otteuti dal camioe a tutta la oolaioe oggetto dello studio costituiscoo la iferea statistica. tima dei arametri Verifica delle iotesi

L isieme dei metodi che ci cosetoo di estedere i risultati otteuti dal camioe a tutta

3 La stima è il calcolo, dai dati di u camioe, di ua qualche statistica, ed è ua arossimaioe del corrisodete arametro della oolaioe da cui il camioe è stato estratto. tima utuale: si calcola u sigolo valore umerico er stimare il corrisodete arametro. Es. ua media, ua roorioe, ua deviaioe stadard. tima di itervallo: si calcola u itervallo di valori che, co u certo grado di robabilità, coterrà il arametro da stimare.

tima utuale: si calcola u sigolo valore umerico er stimare il corrisodete arametro. Es.

4 INTERVALLI DI CONFIDENZA Le stime di itervallo foriscoo iformaioi sia sul valore umerico del arametro icogito che sul grado di attedibilità della stima. La rocedura di calcolo degli itervalli, detti di cofidea, si basa sulla determiaioe di due limiti etro i quali, co ua robabilità -, è coteuto il arametro, a artire dalle iformaioi camioarie. - (L θ L ) co 00 L e L diedeti dalla dimesioe del camioe - grado di attedibilità della stima ed è detto livello di cofidea

La rocedura di calcolo degli itervalli, detti di cofidea, si basa sulla determiaioe di due limiti etro i quali, co

5 uoiamo di costruire u itervallo di cofidea er la media di ua variabile casuale che segue ua distribuioe di Gauss N(m,s ), co variaa della oolaioe ota. - a (L m L) Devo idividuare i valori di L e L che mi garatiscao che, estraedo dalla oolaioe altri camioi di uguale dimesioe, co robabilità ari al 95% la media camioaria sarà coteuta ell itervallo. Doo aver eseguito la stima utuale della media della variabile X osso cosiderare la uova variabile casuale Z, e alicado il teorema del limite cetrale osso scrivere: Z N(0,)

- a (L m L) Devo idividuare i valori di L e L che mi garatiscao che, estraedo dalla oolaioe altri camioi di uguale dimesioe, co

6 L L L L L L L L L L

7 Dato che la variabile casuale Z er il Teorema Cetrale del limite segue ua distribuioe di Gauss stadard, che è simmetrica, abbiamo otuto trasformare L e L i L e L, ifie abbiamo otuto sostituirli co tab, che si ricavao dalle tavole della distribuioe di Gauss stadard. er -0,95 (cioè 0,05) tab ±,96. er -0,99 (cioè 0,0) tab ±,58.

L e L, ifie abbiamo otuto sostituirli co tab, che si ricavao dalle tavole della

8 Itervallo di cofidea er la media di ua variabile casuale co distribuioe di Gauss N(m,s ), e variaa icogita. Nella realtà quotidiaa ache la variaa della oolaioe è icogita e si stima (stima utuale) co la variaa dei dati camioari. La variaa ha ua sua distribuioe camioaria che rede il ome di distribuioe χ e diede dai gradi di libertà (deomiatore della variaa). er costruire l itervallo di cofidea seguiremo lo stesso ragioameto ma il raorto diveta t : t che ha distribuioe t-studet che diede dai gradi di libertà (della variaa).

La variaa ha ua sua distribuioe camioaria che rede il ome di distribuioe χ e diede dai gradi di libertà (deomiatore della variaa).

9 La distribuioe t-studet: ha la stessa forma della distribuioe di Gauss co icco meo alto e code iù esati; è simmetrica itoro alla media; ha media ero; ha variaa >, che si avvicia all uità er esiste ua famiglia di distribuioi t distite dai gradi di libertà; t N(0,) er camioi gradi (gradi di libertà ). Ache er la distribuioe t-studet esistoo delle tavole er determiare i valori di area sotto la curva (robabilità) er i corrisodeti uti sull asse delle ascisse e i relaioe ai diversi di gradi di libertà

libertà; t N(0,) er camioi gradi (gradi di libertà ).

10 t t c c c c c c c c I limiti c sarao ricavati dalle tavole t-studet i corrisodea dei gradi di libertà e del livello di cofidea.

11 L itervallo di cofidea er la media di ua variabile co distribuioe di Gauss co media icogita e variaa ota er -0,95 (cioè 0,05) è ari a,96. er -0,99 (cioè 0,0) è ari a,58. L itervallo di cofidea er la media di ua variabile co distribuioe di Gauss co media e variaa icogita t t t si ottiee dalla distribuioe t-studet co - gradi di libertà

12 Iterretaioe robabilistica degli itervalli di cofidea: estraedo tutti i ossibili camioi da ua oolaioe distribuita ormalmete la media della oolaioe cadrà (-)% volte ell itervallo calcolato. Iterretaioe ratica degli itervalli di cofidea: se effettuiamo il camioameto da ua oolaioe co distribuioe ormale abbiamo ua robabilità del (-)% che l itervallo calcolato cotega la media della oolaioe.

Iterretaioe ratica degli itervalli di cofidea: se effettuiamo il camioameto da ua oolaioe co

13 Lo scoo riciale degli itervalli di cofidea è quello di idicare la Imrecisioe delle stime camioarie come raresetaioe dei valori della oolaioe L imrecisioe della stima camioaria è idicata dall amiea degli itervalli: iù ami soo gli itervalli Miore è la recisioe L amiea diede esseialmete da tre fattori: dal umero di soggetti studiati (camioi oco umerosi, coclusioi iattedibili) dalla variabilità dei soggetti i studio (miore variabilità, stima iù recisa) dal livello di cofidea (maggiore è il livello di cofidea, tato iù ami soo gli itervalli)

diede esseialmete da tre fattori: dal umero di soggetti studiati (camioi oco umerosi, coclusioi iattedibili) dalla variabilità dei

14 TIME DI INTERVALLO I coclusioe è ossibile idicare ua formula geerica er la datermiaioe di u itervallo di cofidea : tima ± (fattore di correioe * errore della stima) Media ercetuale Valore che serve a determiare i due limiti (iferiore e sueriore) teedo i cosideraioe il grado di attedibilità della stima

errore della stima) Media ercetuale Valore che serve a determiare i due

15 EERCIZIO oo state misurate le ulsaioi cardiache i 0 soggetti asiosi Determiare l itervallo di cofidea er la media della oolaioe, iotiado che: la variaa della oolaioe sia ari a 3 la variaa della oolaioe o sia ota

di cofidea er la media della oolaioe, iotiado che: la variaa

16 QUEITO ( ) ( )

17 QUEITO s t s t ( ) ( ) t g l

9 0.95 0.6.45 87.9 0.6.45 87.9 0.95.6 9.

18 L itervallo di cofidea er la differea di due medie itervallo di cofidea er la differea di due medie Dai due camioi si determiao le medie della variabile i studio e avremo: - differea delle medie delle oolaioi stima della differea delle medie delle oolaioi / / variaa della differea delle medie camioarie. L itervallo sarà: ( ) ( )

studio e avremo: - differea delle medie delle oolaioi stima della differea delle

19 Abbiamo usato erché eravamo a cooscea della variaa della oolaioe. Nel caso o si coosca la variaa della oolaioe si deve stimare dai camioi la variaa comue (ooled): ) ( ) ( Gradi di libertà L itervallo di cofidea diveta: ( ) ( )..,.., t t l g l g

20 EERCIZIO 3 i disoe dei valori relativi ad i battiti cardiaci i u camioe di soggetti asiosi ed i u camioe di atleti: asiosi atleti determiare l itervallo di cofidea er la differea delle medie delle oolaioi iotiado che:. le variae siao ote e risettivamete ari a.5 e 4. le variae o siao ote

66 68 66 66 64 6 65 determiare l itervallo di cofidea er la differea delle medie delle

21 QUEITO ( ) ( ) ( ).96 ( ) ( ) ( )

22 QUEITO ( ) ( ) t t 3.36 ) ( ) (.0 8,0.05 t ( ) ( ) ( ) ( )

23 INTERVALLI DI CONFIDENZA ER UNA ROORZIONE I medicia sesso è imortate quatificare u feomeo er meo delle ercetuali. Es.: ercetuale di soggetti affetti da ua certa malattia, ercetuale di soggetti sottoosti ad u trattameto Il arametro da stimare diveta la roorioe ella oolaioe e er costruire litervallo di cofidea rocederemo el seguete modo: ( ) L L

24 La variabile X che cota il umero dei successi sul umero di rove ha ua distribuioe Biomiale co e q uò essere arossimata ad ua Gauss: se, la umerosità camioaria, è grade ( ) e 0.5 quidi stadardiata X X ; ( ) X L L ; ( ) X c c ; ( ) egue N(0,) Limiti uguali ed oosti

25 Nel ostro caso il arametro si trova ache a deomiatore e ioltre sotto radice. Bisoga quidi raioaliare, elevare al quadrato el ostro caso, er togliere il sego di radice. ; ) ( ; ) ( c X X c X

26 er sufficietemete grade l itervallo di cofidea uò essere determiato secodo la seguete formula: ) ( ) (

27 Aalogamete a quato fatto er gli itervalli di cofidea er le medie, è ossibile costruire l itervallo di cofidea er la differea tra due roorioi. La stima di tale itervallo viee dalla seguete formula: ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) (

28 I u gruo di 500 soggetti obesi, 300 soo sottoosti ad ua dieta A e 00 ad ua dieta B. i evideia ua riduioe rilevate di eso i 05 soggetti trattati co la dieta A e i 60 trattati co la dieta B.. Determiare l itervallo di cofidea al 95% er la roorioe di soggetti trattati co la dieta A e co la dieta B. Determiare l itervallo di cofidea al 95% er la differea delle roorioi

29 QUEITO. Dieta A 300 X 05 05/ Dieta B 00 X 60 60/ ( ) ( )

30 QUEITO. Dieta A 300 X 05 05/ Dieta B 00 X 60 60/ ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )

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