1. Indicato con T il punto di tangenza delle due circonferenze e posto TQ = QC = y, applicando il ( ) ( ) ( ) 2. =, con la limitazione 0 x 1.

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1 PROBLEMA. Indicato con T il punto di tangenza delle due circonferenze e posto TQ = QC = y, applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo ABC, si ha: + y = + y, ovvero y = + e, infine, y = f =, con la limitazione. La funzione f = ottenuta rappresenta un iperbole equilatera con asintoti =, y = e + interseca gli assi coordinati nei punti R ( ;) e S ( ; ). La funzione f () considerata, prescindendo dalle limitazione geometriche, ha per dominio D = [ R, ]. Essa risulta monotona decrescente in ciascun arco connesso e i due archi connessi (rami dell iperbole) giacciono in differenti semipiani rispetto all asintoto orizzontale, pertanto risulta invertibile in tutto il dominio. y La sua inversa è la funzione = f ( y) =, ottenuta algebricamente esplicitando la dalla y relazione y = f () o, più semplicemente, con considerazioni geometriche, scambiando con y, in virtù della simmetria del grafico rispetto alla retta y =. Il grafico della funzione inversa è il medesimo. = si ottiene operando una simmetria rispetto all asse dei + soli punti del grafico precedente, aventi ordinata negativa.. Il grafico della funzione g

2 La tangente t, in R, ha equazione y = g '( ) equivalente a y = f '( ) y = +., ovvero Per quanto riguarda il punto S, trattandosi di un punto angoloso, non esiste tangente. È possibile però determinare una tangente destra t e una tangente sinistra t, simmetriche rispetto all asse. La tangente t della g() coincide con la tangente in S alla f(). L equazione della retta t è y = f '()( ) ovvero y = +, mentre la tangente t, per simmetria, ha equazione y =.. L area richiesta è = d = d = [ + ln ] = ln A ROS PROBLEMA. Per la funzione esponenziale f = b si distinguono i due seguenti casi: a) se < b <, la funzione, definita per ogni reale, è positiva decrescente, per + tende asintoticamente a zero, per tende a +. b) se b >, la funzione, definita per ogni reale, è positiva crescente, per tende asintoticamente a zero, per + tende a +. tutte le curve esponenziali, al variare di b, passano per ( ;)

3 t '() = b ( t b ). Poiché f t b t ln, l equazione della tangente nel generico punto P ; è t t y b = b ln b( t). Ponendo in tale equazione y = si ottiene A t ;. Essendo B ( t;), si ln b ha: AB = t t =. Tale misura è indipendente dalla scelta del punto P e vale quando ln b ln b b = e, b =. e. L ascissa del punto di tangenza e il coefficiente angolare della retta r, di equazione y = m, si m = e = ottengono risolvendo il sistema la cui soluzione è. L ampiezza angolare m = e m = e richiesta, espressa in radianti, è α = arctan e,8 L area richiesta, evidenziata nella figura precedente, può essere calcolata come differenza tra l area del rettangolo OABC e l integrale della funzione definito tra e. L area richiesta vale pertanto [ e ] = e e d = e. QUESTIONARIO n n. Dalla regola di derivazione D = n segue che la derivata seconda è n n n D = D( n ) = n n. Iterando il procedimento fino alla derivata n sima si ottiene ( n ) n n a + a ( n) n D = n =. Nella derivata n sima di un polinomio di grado n i termini di grado inferiore a n danno contributo nullo. Pertanto, dato il polinomio p a a, la sua derivata n sima è data dal prodotto a n Per una = n n. + dimostrazione formale della regola induzione. ( n ) ( n) n D = n = si può applicare il principio di. La retta r, in quanto perpendicolare al piano del triangolo ABC, risulta perpendicolare in B ai lati AB e BC. Ne segue che i triangoli PAB e PBC sono rettangoli in B. Poiché la retta r è perpendicolare a BA e la retta AC è perpendicolare ad AB, segue, per il teorema delle tre

4 perpendicolari, che la retta AC è perpendicolare al piano BAP e, di conseguenza, il triangolo PAC è rettangolo in A.. La richiesta si traduce nella condizione ' = f, ovvero e =, da cui = ln 4. Usando la sostituzione sin t t = il limite proposto assume la forma 4lim = 4 = 4 t t 5. Posto VH = risulta AH = a. Il volume del cono è pertanto π π V cono = f = ( a ) = ( a ) con a (l inclusione dei valori limite ha solo senso matematico, ma non ha rilevanza in un problema concreto). Dallo studio del segno di f ' = π ( a ) si ottiene f ' > per < a, pertanto il volume massimo vale f a = πa. Per a =, 8m, la capacità del serbatoio, espressa in litri, è 7 π,8 6, Il dominio della funzione, dato dalla condizione cos, è costituito da tutti i valori reali π π tali che + kπ + kπ, con k intero. 7. La condizione di continuità in = 4 traducono in 6 k 9 = =. Il valore richiesto è implica le uguaglianze lim h lim h = h( 4) che si 9 k = = 4

5 n 8. Per definizione di progressione aritmetica si ha: n n n =, ovvero n n + n = equivalente all equazione = + che! ( n )!! ( n )!! ( n )! n semplificata dà ( n ) ( n ) n n = + n. Semplificando per n (n>) si ottiene 6 n 9 n + 4 =. Delle due soluzioni n =, n 7 è accettabile solo la seconda. = 9. Se l angolo ABC = 45 il triangolo ABC non è costruibile poiché AC < AH, in quanto AC = AH = >. Se l angolo ABC = risulta AH ' = < = AC e si possono costruire due triangoli, BAC e BAC, con le caratteristiche assegnate.. Il solido richiesto è ottenuto dalla rotazione attorno all asse y della regione R. Il suo volume si può ottenere come differenza tra il volume del cilindro con raggio di base OA e altezza AB e quello del solido ottenuto dalla rotazione attorno all asse y della regione R. L equazione della curva OB è = f y = y. Pertanto risulta Vol = π OA AB π [ f ( y) ] 4 dy = π π y dy = 8 π 5 Le tracce non presentano difficoltà né di tipo concettuale, né di tipo tecnico. Gli argomenti trattati rientrano nei canoni tradizionali della disciplina. I quesiti sono in generale semplici, ma non banali. Il livello di difficoltà dei due problemi si equivale, contrariamente a quanto accadeva in tempi non molto lontani. GIANFRANCO PISTONI - FERRUCCIO ROHR