Lezione 10. Schemi di controllo avanzati parte seconda. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 10 1

Transcript

1 Lezione 0. Schemi di controllo avanzati parte seconda F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 0

2 Schema. Desaturazione dell azione integrale 2. Predittore di Smith 3. egolatori in cascata F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 0 2

3 . Desaturazione dell azione integrale Tutti gli attuatori hanno dei limiti sull azione di controllo che possono esercitare sul sistema sotto controllo. Tali limiti sono ben modellabili mediante saturazione. Quando la legge di controllo contiene un azione integrale, la presenza della saturazione può causare un effetto indesiderato noto come carica integrale o wind-up. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 0 3

4 Schema di riferimento m w e u m y s -u u G(s) M M u -u M u M m t u u u Controllore con azione integrale Equazione della saturazione M t M u u u t t t u u u M M M Saturazione Grafico della saturazione m u M u M u M u u M F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 0 4

5 Descrizione qualitativa del fenomeno di carica integrale u T ) e(t)>0 u(t) cresce senza limiti mentre m(t) cresce solo fino a u M e m T 2 ) e(t)<0 m(t) dovrebbe diminuire, ma bisogna prima attendere che u(t) decresca fino a u M T T 2 T t [sec] T 3 ) quando finalmente u(t) raggiunge la soglia u M allora anche m(t) può diminuire. Si noti che basta un breve transitorio per portare e(t) a 0 F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 0 5

6 Implementazione anti-windup di un regolatore con azione integrale L obiettivo è implementare un regolatore con funzione di trasferimento (s) in modo da evitare il fenomeno di carica integrale senza alterare la funzione di trasferimento del controllore. N s Sia: s con D 0 0 D s per effetto della presenza di un integratore. L implementazione anti-windup prevede che si trovino K(s) e H(s) del seguente schema a blocchi, in modo tale che la funzione di trasferimento tra e(t) ed u(t) sia (s), e K(s) u H(s) F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 0 6

7 cioè, trovare K(s) e H(s) tali che: s Ks H s La soluzione si può ottenere scegliendo un polinomio φ(s) tale che: N s N s s s D s s D s da cui: K s N s s H s Si osservi che, per costruzione, D s s s Il polinomio φ(s) deve avere le seguenti caratteristiche: deve avere tutte le radici a parte reale negativa; deve avere grado non inferiore a N (s); 0 0 deve essere tale da rendere H(s) strettamente propria (per evitare anelli algebrici) H s s s F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 0 7 H D 0 D

8 Nel caso la variabile m sia misurabile, si usa la seguente implementazione: w e q u m y K(s) G(s) -u M z H(s) u M Nel caso la variabile m non sia misurabile, si usa la seguente implementazione: w e q u Sat m m y K(s) G(s) model -u M z H(s) u M F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 0 8

9 Per capirne il funzionamento, ci si riferisca al caso di un regolatore PI: s Scegliendo s st H K s s N s s s D s K i K p K p K p s st i K p s i i sti sti st st i st i st i w e K p um q u m -u M u M u -u m G(s) z M st i F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 0 9

10 w e K p um q u m -u M u M u -u m G(s) z M st i Quando il controllore opera nella zona lineare della m t u t saturazione si ha: M ( s) E( s) K p st i K p st sti i K F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 0 0 p K s Si supponga di operare in saturazione nelle seguenti condizioni: mt um con et 0 e qt 0 Dopo un transitorio si ha : zt u Però, appena l errore cambia segno si ha: t 0, q t u' t q t u M u e 0 M M i Controllore PI e si torna nella zona lineare.

11 Implementazione anti wind-up per un controllore PID (a derivazione dell uscita) w e _ q u m u K p z u M -u M _ G(s) y st i K p st st d d / N Azione proporzionale Azione integrale (con anti wind-up) Azione derivativa (a derivazione dell uscita) F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 0

12 2. Predittore di Smith La presenza di un ritardo di tempo nel processo sotto controllo pone dei limiti alle prestazioni ottenibili con il classico schema di controllo in retroazione. Infatti, il ritardo dà un contributo negativo al margine di fase e pone un limite invalicabile alla pulsazione critica, pena la perdita dell asintotica stabilità del sistema. Lo schema di progetto a predittore di Smith consente di superare le limitazioni dovute alla presenza di un ritardo. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 0 2

13 s N s s Sia G s G' se e la funzione di trasferimento Ds asintoticamente stabile del sistema sotto controllo. Si consideri il seguente schema di controllo in retroazione detto schema a predittore di Smith dove ' P G' s w N D e u y (s) G(s) s s z P(s) s s s G' s G s G' s G' s e e G ' s s Gs Ps F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 0 3

14 Il blocco P(s) è concepito in modo tale che: La variabile z(t) coincide con l uscita y(t) a meno del ritardo e quindi è di fatto una sua predizione. Infatti s s Zs Gs PsU s G' su s e GsU s e Y s cioè zt yt La funzione di trasferimento d anello è: L s ' sg s Ps ' sg ' s ' s G' s e quindi progetto del controllore può essere effettuato trascurando il ritardo, sulla base della sola. La funzione di trasferimento P(s) ha guadagno nullo. Quindi, la variabile z(t) a regime coincide con l uscita y(t) e quindi, come ci si aspettava, tutte le considerazioni sulla precisione statica del sistema di controllo prescindono dalla presenza del ritardo. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 0 4

15 Osservazione Lo schema a predittore di Smith può essere interpretato secondo il classico schema di controllo in retroazione, a patto di utilizzare un controllore equivalente con funzione di trasferimento non razionale. Infatti, non è difficile mostrare che lo schema a predittore di Smith è equivalente al seguente schema di controllo. w (s) e u (s) G(s) P(s) y dove s ' ' s sps è il controllore equivalente non razionale F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 0 5

16 Infatti, si ha: s D ' ' s sps s s s s Ns e s Ds N sds s sds NsN s NsN se N D N D Si osservi che: Il regolatore (s) ha tra i suoi zeri tutti i poli di G(s), da cui la necessaria ipotesi di asintotica stabilità di G(s). La funzione di trasferimento (s) non è razionale. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 0 6

17 Osservazione Si noti che la funzione di trasferimento in anello chiuso è: F s ' ' sg s sps ' sgs ' sg ' s s ' s ' G e s Essendo F' s ' sg ' s s ' s ' G la funzione di traferimento in anello chiuso senza ritardo si ha: F s s F' se Il ritardo permane nella relazione tra riferimento ed uscita ma, grazie allo schema a predittore di Smith, è come se fosse fuori dall anello. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 0 7

18 Esempio Utilizzando lo schema a predittore di Smith, progettare un controllore per un processo con funzione di trasferimento G s che rispetti le seguenti specifiche: 0 e 2 0.5s errore nullo a transitorio esaurito a fronte di variazioni a scalino del riferimento; 0.6 rad/s 30 m c rad/s 2s F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 0 8

19 Innanzitutto si studino le caratteristiche del sistema nel caso si cercasse di implementare un controllore senza usare lo schema a predittore di Smith. Per rispettare la specifica statica è necessario introdurre un integratore nel regolatore. Si scelga quindi come regolatore I s s La funzione di trasferimento d anello per μ = è: L I s I sg s 0 e 2 s 0.5s Si tracci il diagramma di Bode del modulo di j L I 2s F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 0 9

20 60 Diagramma di Bode - Modulo db pulsazione c 3 rad/s 80 c 90 2atan F. Previdi - Controlli Automatici - Lez m

21 Si può facilmente verificare che anche modificando il guadagno (per tagliare l asse a 0 db in 0.6 rad/s) e cancellando entrambi i poli (ed aggiungendone uno in alta frequenza) non si riesce ad ottenere margine di fase superiore a 30. L unico modo per rispettare le specifiche dinamiche è progettare secondo lo schema a predittore di Smith, senza dimenticare che il sistema in anello chiuso, pur rispettando le specifiche dinamiche, avrà comunque un ritardo pari a 2 s tra riferimento ed uscita. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 0 2

22 Si progetti quindi un regolatore che rispetti le specifiche di cui sopra per un processo descritto dalla seguente funzione di trasferimento 0 G' s 0.5s 2 Per rispettare la specifica statica è necessario introdurre un integratore nel regolatore. Si scelga quindi come regolatore ' I s s La funzione di trasferimento d anello per μ = è: L' I s ' sg ' s I s s 2 s 0. 5 s 2 Si tracci il diagramma di Bode del modulo di ' j L I F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 0 22

23 Diagramma di Bode - Modulo E identico al precedente! (l unica differenza è l assenza del ritardo) db pulsazione c 3 rad/s 90 2atan c 23 m F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 0 23

24 Si abbassi il guadagno di 20 db (per rispettare la specifica sulla pulsazione critica) scegliendo μ =0.. La funzione di trasferimento d anello è: L' II s ' sg ' s II 0. s 0 0.5s 2 s 0. 5 s 2 Si tracci il diagramma di Bode del modulo di ' j L II F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 0 24

25 40 Diagramma di Bode - Modulo db pulsazione c 0.9 rad/s 90 2atan c 42 m F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 0 25

26 isposta allo scalino in anello chiuso di F' s L' II L' s s II (senza ritardo).4.2 y(t) t a s m c tempo [s] F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 0 26

27 isposta allo scalino in anello chiuso di.4 F s con implementazione a predittore di Smith.2 y(t) ritardo di 2 s Tempo di assestamento tempo [s] 500 t a 2 s 5 s mc F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 0 27

28 3. egolatori in cascata E molto frequente che il processo sotto controllo possa essere rappresentato come la connessione di due sottosistemi. d u G (s) v G 2 (s) y Può accadere inoltre che la dinamica di G sia più favorevole di quella di G 2, vuoi perchè G è a fase minima mentre G 2 non lo è oppure semplicemente perchè, pur essendo entrambi a fase minima sul solo G è possibile chiudere un anello più veloce di quanto non si possa fare per la serie G G 2. Tali ipotesi sono in generale verificate quando G rappresenta l attuatore di un sistema descritto da G 2. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 0 28

29 In tal caso è possibile utilizzare uno schema di controllo in cascata. d w 2 (s) v 0 (s) u G (s) v G 2 (s) y Il regolatore (s) è progettato con riferimento al solo sottosistema G (s) ed ha lo scopo di attenuare l effetto dei disturbi garantendo che v(t) insegua v 0 (t) con una dinamica più rapida di quella ottenibile se si dovesse progettare il controllore considerando anche G 2 (s) (regolazione dell anello interno (veloce)). Il regolatore 2 (s) è progettato per ottenere una banda passante più stretta dell anello interno e quindi assumendo che sia v(t) v 0 (t) (regolazione dell anello esterno (più lento)). F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 0 29

30 Infatti: V s Ds sg s sg s s s G V 0 s Il regolatore (s) va progettato in modo tale che jg j 0 per c dove c è il limite di banda dell anello interno. Inoltre, visti i limiti posti da G 2 (s), è lecito supporre che la pulsazione critica ω c2 massima ottenibile per il sistema complessivo sia decisamente inferiore al limite di banda c dell anello interno (ipotesi di disaccoppiamento in frequenza). Quindi: jg j per c j G j 2 c F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 0 30

31 Esempio Si consideri un processo descritto dall interconnessione di due sottosistemi secondo il seguente schema d u G (s) v G 2 (s) y G s 0 2s 0.s G 2 s 25s Progettare un sistema di controllo in cascata che rispetti le seguenti specifiche: errore nullo a transitorio esaurito a fronte di variazioni a scalino del disturbo d(t) e del riferimento w(t) ; 0.5 rad/s c 2 rad/s 75 m2 F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 0 3

32 Lo schema di controllo in cascata è il seguente: w 2 (s) v 0 (s) u G (s) d v G 2 (s) y Il controllore s va progettato in modo da avere errore nullo a transitorio esaurito a fronte di andamenti a scalino del disturbo e quindi deve includere un integratore. Inoltre l anello interno, per rispettare l ipotesi di disaccoppiamento in frequenza, deve avere banda passante di almeno 5-0 rad/s. Una possibile scelta è: 2s s s L 0 I s s 0. per s F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 0 32

33 60 Diagramma di Bode - Modulo db pulsazione c 0 rad/s atan 35 c 45 m F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 0 33

34 Grazie all ipotesi di disaccoppiamento in frequenza il regolatore V per l anello esterno può essere progettato ipotizzando che s V s d w 2 (s) v 0 (s) u G (s) v 0 G 2 (s) 2 s y 25s 2 s s L I 2 s s Scegliendo 0.6 si ottiene 0.6 c2 rad/s con 90 m2 F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 0 34

35 40 Diagramma di Bode - Modulo db pulsazione c2 0.6 rad/s 90 c2 90 m2 F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 0 35