Appello febbraio. Vero o falso. Es 1 Es 2 Es 3 Es 4 Tot

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1 Es Es 2 Es 3 Es 4 Tot Appello febbraio Calcolo delle probabilità 5 febbraio 208 Studente: Matricola: Vero o falso Esercizio (0 pti). Si dica, motivando la propria risposta, se le seguenti affermazioni sono vere o false:. sia Ω = {, 2, 3, 4} e siano P e Q due misure di probabilità tali per cui allora P() = P(2) = P(3) = P(4) = 4, Q(2) = Q(4) = 2, P(A) = Q(A), per ogni A A := {, Ω, {, 2}, {2, 3}, {3, 4}, {, 4}}. 2. sia (X n ) n una sequenza di v.a. i.i.d. tali per cui EX n = 4 e VarX n = n, allora X n in probabilità per n ; 3. siano X e Y v.a. discrete non correlate allora Z := 2X Y ha varianza data da Var[Z] = 4Var[X] Var[Y ]; 4. sia f(x, y) = { Cyxe x x [, ], y [, ], 0 altrimenti, allora per esiste C > 0,tale per cui f rappresenta una densità di probabilità; 5. siano P e Q due misure di probabilità definite sullo steso spazio (Ω, A), se vale P(A) = Q(A), per ogni A tale per cui P(A) 2, allora P(A) = Q(A) per ogni A A. Soluzione. V basta svolgere i conti che tutti gli elementi di A.

2 F usando la disuguaglianza di Chebyshev abbiamo che P ( X n 4 ɛ) VarX n ɛ 2 = 2 ɛ 2 n, da cui prendendo il limite n segue che X n converge in probabilità a 4; F l uguaglianza corretta è in quanto vale l uguaglianza Var[Z] = 4Var[X] + Var[Y ], Var[aX + by ] = a 2 Var[X] + b 2 Var[Y ], da cui la tesi notando che ( ) 2 = ; F per x = e y = otteniamo che f(x, y) < 0 da cui non può essere una densità- V se A è tale per cui P(A) 2, allora per ipotesi vale P(A) = Q(A). Sia ora A tale per cui P(A) > 2, allora segue che P(Ac ) < 2 da cui P(A) = P(A c ) = Q(A c ) = Q(A). Page 2

3 Esercizi Esercizio 2 (6 pti). L azienda Z produce computer, in particolare la fabbrica A produce 4 dei computer totali, la fabbrica B produce 2 dei computer totali e la fabbrica C produce i restanti. Sappiamo però che 50, 20 e 0 dei computer prodotti rispettivamente da A, B e C sono difettosi. (i) qual è la probabilità che prendendo a caso un computer sia difettoso; (ii) sapendo che un computer scelto a caso è difettoso, qual è la probabilità che sia stato prodotto da A? Soluzione. (i) si applichi la formula delle probabilità totali, da cui chiamando D l evento il computer è difettoso segue P(D) = P(A)P(D A) + P(B)P(D B) + P(C)P(D C). (ii) dalla formula di Bayes e dai punti precedenti otteniamo P(A D) = P(D A)P(A) P(D). Esercizio 3 (6 pti). Sia f data da f(x, y) = C(x + y)e 2(x+y) x, y, 0 altrimenti Si calcoli: (i) C affinché f sia una densità di probabilità; (ii) le densità di X e Y ; (ii) Cov(X, Y ) Soluzione. (i) Calcolando esplicitamente l integrale otteniamo C (x + y)e 2(x+y) dxdy = C 4 e 2(y+) (2y + 3)dy = C 3 4e 4, da segue C = 4 3 e4 ; (ii) svolgendo i conti otteniamo f X (x) = f(x, y)dy = 3 e 2x+2) (2x + 3), e dalla simmetria di f possiamo concludere che f Y sia uguale a f X. Page 3

4 (iii) calcoliamo Cov(X, Y ) = E[XY ] E[X]E[Y ], svolgendo i conti abbiamo e E[XY ] = C xy(x + y)e 2(x+y) dxdy = 5 2, EX = EY = C 3 e 2x+2) (2x + 3)dx = 9 2. Esercizio 4 (8 pti +2). Si consideri un urna contenente 00 palline di cui 40 bianche, 40 nere e 20 rosse. Si supponga di estrarre ogni giorno una pallina dall urna. Si indichi con X i il valore dell estrazione all i esimo giorno, assumendo le estrazioni indipendenti. Sia τ il giorno in cui viene estratta per la prima volta una pallina bianca e sia σ il giorno in cui viene estratta per la prima volta un pallina nera. (i) si calcolino le distribuzioni delle variabili aleatorie a valori in N, τ e σ; (ii) σ e τ sono indipendenti? (iii) si calcoli la densità (discreta) congiunta di σ e τ; (iv+(v)) sia Y := min{σ, τ} e Z := max{σ, τ} min{σ, τ}, Y e Z sono indipendenti? Si calcolino le distribuzioni marginali di Y e Z. Soluzione. (i) σ e τ sono due v.a. geometriche di parametro p = 40 immediatamente la loro densità (discreta); (ii) non sono indipendenti, infatti vale (iii) sia m < n, allora vale 00 = 2 5, da cui sappiamo P(τ =, σ = ) = P(X = B, X = N) = 0 P(X = B)P(X = N) = P(τ = n, σ = m) = = P (X = R,..., X n = R, X n = B, X n+ {B, R},..., X m {B, R}, X m = N) = ( ) m ( ) n m = , (iv) + (v) si noti che τ > σ allora Y = σ e Z = τ σ e per τ < σ allora Y = τ e Z = σ τ. Allora abbiamo P(Y = m, Z = n) = P(Y = m, Z = n, τ > σ) + P(Y = m, Z = n, τ < σ) = P(σ = m, τ = m + n) + P(τ = m, σ = m + n) = ( ) m ( ) n m = = 4 ( ) m ( ) n 2 3, Page 4

5 da cui possiamo notare che la densità congiunta è il prodotto di due densità geometriche, per cui Y e Z sono indipendenti con distribuzione geometrica di parametro 2 5 e 3 5. Page 5