Esercizi di Probabilità e Statistica

Transcript

1 Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò 6 luglio 6 Vettori aleatori e funzioni di v.a. Esercizio Si lanciano due dadi equi. Qual è la probabilità che la somma sia? [ ] Siano X, X le v.a. che indicano l esito rispettivamente dei due lanci. Sia Z X + X. Calcoliamo la probabilità P {Z }. P {Z } 6 P {X y} P {X y} P {X } P {X }+ y + P {X } P {X } + P {X } P {X } ( ) 6 Esercizio Si consideri un urna con palline numerate. Si estraggono due palline con reimmissione. Sia (X, X ) il vettore aleatorio che descrive l esperimento. a) Calcolare la densità congiunta del vettore e le densità marginali. b) Ripetere il calcolo nel caso di estrazione in blocco delle due palline. a) Nel caso di estrazioni con reimmissione abbiamo che le v.a. X e X sono indipendenti. La probabilità di estrarre una pallina è, quindi le probabilità marginali P {X x } P {X x }. La probabilità congiunta è data da P {X x, X x } P {X x } P {X x } b) Nel caso di estrazioni senza reimmissione abbiamo che le v.a. X e X non sono indipendenti. Se consideriamo le possibili coppie di palline estratte gli unici casi impossibili sono quando abbiamo due palline uguali. Quindi lo spazio campionario è formato da 9 casi, e di conseguenza la probablità congiunta in questo caso è data da P {X x, X x } 9 Ricostruiamo ora le densità marginali P {X x } z P {X x, X z} 9 9

2 Allo stesso modo calcoliamo P {X x }. Quindi abbiamo che nel secondo caso le densità marginali sono le stesse del primo caso, ma la denistà congiunta è diversa e in particolare non è ricostruibile a partire dalle densità marginali tramite prodotto. Ciò dimostra che non c è indipendenza. Esercizio Si consideri un urna con palline numerate. Si estraggono due palline senza reimmessione. Sia (X, X ) il vettore aleatorio che descrive l esperimento. Calcolare la densità condizionata della prima pallina estratta dato il risultato della seconda estrazione. [ 9 ] Considerando i risultati ottenuti con l esercizio precedente abbiamo che la probabilità congiunta di estrarre una certa coppia di palline è 9 mentre la densità marginale di estrarne una è, quindi la probabilità condizionata della prima pallina estratta data la seconda è P {X x X x } P {X x, X x } P {X x } Esercizio Sia (X, Y ) un vettore aleatorio con la seguente densità congiunta X \ Y Dopo aver verificato che si tratti di una densità ben data, calcolare la denistà marginale di X e Y e discutere della loro eventuale indipendenza. Calcolare poi la densità di X condizionata a Y. Calcolare infine la media, la varianza delle due v.a., la covarianza e il coefficiente di correlazione. [E[X], E[Y ] 5 ρ[x, Y ].], V ar[x] 9 9, V ar[y ], Cov[X, Y ] 9, La densità del vettore aleatorio è ben data perchè la somma di ogni elemento della matrice da. Quindi supponendo {,, } il codominio di ciascuna v.a. i j P {X i, Y j} Calcoliamo le densità marginali. Le densità marginali relative a X sono le somme di ciascuna riga, mentre quelle relative a Y sono le somme di ciascuna colonna. X \ Y 5 6

3 Quindi P {X } 5, P {Y }, P {X }, P {Y } 6, P {X }, P {Y }. Le due v.a. non sono indipendenti infatti possiamo trovare almeno un caso in cui il prodotto delle probabilità marginali non coincide con la congiunta. P {X, Y } P {X } P {Y } 6 Passiamo ora al calcolo delle probabilità condizionate di X dato Y. P {X i Y j} X \ Y P {X i, Y j} P {Y j} Calcoliamo la media e la varianza delle v.a.. E[X] P {X } E[Y ] {,,} {,,} V ar[x] E[X ] E[X] V ar[y ] E[Y ] E[Y ] E[X Y ],j {,,} {,,} P {Y } 5 {,,} P {X } P {Y } j P {X, Y j} Cov[X, Y ] E[X Y ] E[X] E[Y ] Cov[X, Y ] ρ[x, Y ]. V ar[x] V ar[y ] ( ) ( ) 5 Esercizio 5 Si calcoli la denistà della somma di n variabili aleatorie bernouilliane indipendenti di parametro p. Siano X i Bin(, p) con i n e sia X (X,..., X n ) il vettore aleatorio che le contiene. Sia poi φ(x) n i X i. P {φ(x) } P {X φ ()} Il vettore aleatorio X assume il valore se delle n variabili bernouilliane assumono valore. Quindi φ () contiene l insieme di esiti in cui delle n v.a.

4 solo hanno successo, ovvero assumono valore. Ma questo significa che la probabilità della somma di n v.a. bernouilliane corrisponde alla probabilità di avere successi su n prove ovvero la probabilità di una v.a. con legge binomiale di parametri n e p. ( ) n P {X φ ()} p ( p) n Quindi se Z n i X i con X i Bin(, p) allora Z Bin(n, p). Esercizio 6 Si dimostri che la densità di probabilità della somma S di due v.a. aleatorie discrete X e Y, indipendenti e con densità di Poisson di parametri λ X e λ Y è ancora di Poisson con parametro λ X + λ Y. Utilizziamo il teorema di convoluzione. P {X+Y } P {X z}p {Y z} z e (λ X +λ Y )! z z λ z X λ z Y z! e λx ( z)!e λ Y ( ) λ z X λ z Y (λ X + λ Y ) e (λ X +λ Y ) z! Esercizio In una banca ci sono due sportelli. Sia (X, X ) il numero di clienti in coda nei due sportelli e si supponga che tale vettore aleatorio segua la seguente densità X \ X Verificare che sia una densità discreta e calcolare la probabilità che le due code differiscano esattamente di una persona. [.55] La somma di tutti gli elementi della densità congiunta da quindi è ben definita. La probabilità che vogliamo calcolare è P { X Y }. P { X Y } P {X Y } + P {X Y } P {X z, Y z } + P {X z, Y z + }.55 z (Equivale alla somma degli elementi subito sopra e sotto la diagonale della matrice.) Esercizio Si lancia una moneta equa volte. Sia X il numero totale di teste e sia Y il numero di teste dell ultimo lancio ( o ). Si calcoli la densità congiunta di (X, Y ) e le due densità marginali.

5 Calcoliamo le densità marginali p X e p Y. Nel primo caso, abbiamo che X si distribuisce con legge binomiale di parametri e.5, in quanto vogliamo conoscere la probabilità di ottenere x successi (il numero di teste) su prove (i lanci). Quindi da cui p X () ( ).5.5 ( ).5 P {X } P {X } P {X } P {X } Nel secondo caso Y si distribuisce in modo uniforme con probabilità.5. Quindi p Y ().5 da cui P {Y } P {Y }.5 Calcoliamo ora la densità congiunta. Facciamo però prima le seguenti considerazioni: Y pone un vincolo sul valore assunto dalla terza moneta quindi, intuitivamente c è una dipendenza tra X e Y. Ciò significa che non è possibile costruire la densità congiunta a partire dalle marginali. I codomini delle v.a. X e Y sono rispettivamente {,,, } e {, }. Se conosciamo il risultato che ha fornito la terza moneta abbiamo che la probabilità di {X i} dato {Y j} non è altro che la probabilità di avere (i j) successi su prove. Quindi P {X i, Y j} P {X i Y j} P {Y j} ( i j ).5 i j.5 (i j).5 ( ).5 i j Chiaramente questa probabilità è nulla nei casi in cui i < j (quindi il solo caso {X, Y }) oppure i > + j (quindi il caso {X, Y }). Vediamo ora la densità congiunta che otteniamo, dove l (i-j) esimo elemento della tabella non è altro che P {X i, Y j}. X \ Y Esercizio 9 Siano X e Y due v.a. indipendenti di Poisson con parametri λ X e λ Y. Sia Z X + Y. Calcolare la densità e la media di X condizionata a Z z. Cosa possiamo dire a riguardo? 5

6 P {X + Y z X x} P {X x} P {X x Z z} P {X x X+Y z} P {X + Y z} P {Y z x} P {X x} P {X + Y z} ( ) z x λ z x Y z x! e λy (λ X +λ Y ) z λx X x! e λ X z! e (λ X +λ Y ) ) z x ( λx λ X + λ Y λ X + λ Y ( λy Come possiamo vedere, abbiamo una distribuzione binomiale di parametri λ z e X λ X +λ Y. Trattandosi di una distribuzione conosciuta sappiamo anche calcolare velocemente la media. Ricordando che la media di una v.a. binomiale di parametri n e p è n p, λ X E[X Z z] z λ X + λ Y Esercizio Due amici lanciano una moneta corretta n volte. Qual è la probabilità che il numero di teste ottenuto da ciascuno sia lo stesso? Siano X, Y le v.a. che contano il numero di teste ottenute dai due amici con n lanci. Entrambe si distribuiscono con legge binomiale di parametri n e.5. La probabilità che i due amici abbiamo ottenuto lo stesso numero di teste è la seguente n P {X Y } P {X, Y } Dal momento che i lanci dei due amici sono indipendenti abbiamo che la densità congiunta si scompone nel prodotto delle due marginali. P {X Y } n P {X } P {Y } [ n (n ) ( ) n ( ) n ) x ( ) ] n ( ) n 6