Mauro Piccioni PROBABILITÀ DI BASE CON 136 ESERCIZI SVOLTI. II edizione

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3 Mauro Piccioni PROBABILITÀ DI BASE CON 136 ESERCIZI SVOLTI II edizione

4 Copyright MMXI ARACNE editrice S.r.l. via Raffaele Garofalo, 133/A B Roma (06) ISBN I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento anche parziale, con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi. Non sono assolutamente consentite le fotocopie senza il permesso scritto dell Editore. I edizione: febbraio 2010 II edizione: marzo 2011

5 Indice 1 Gli elementi fondamentali del modello Spazi di probabilità ed eventi Esperimenti aleatori e spazi dei campioni Insiemi e operazioni sugli insiemi Eventi, attributi e funzioni indicatrici Esercizi Le funzioni di massa e di probabilità Spazi niti Proprietà elementari delle probabilità Somme in nite e spazi numerabili De nizione di probabilità su spazi al più numerabili Esercizi Approfondimenti Dimostrazione delle proposizioni 1.8 e Sulla continuità della probabilità Risposte agli esercizi Risposte agli esercizi Risposte agli esercizi Trasformazioni, variabili aleatorie e leggi Leggi indotte da una trasformazione Trasformazioni aleatorie Alcune variabili aleatorie e le loro leggi Esercizi Funzioni di ripartizione Proprietà delle funzioni di ripartizione Funzioni di ripartizione di funzioni di v.a Test di signi catività e funzioni di sopravvivenza Esercizi Approfondimenti Prova delle Proposizione Funzioni di ripartizione a gradino e non Risposte agli esericizi iii

6 iv INDICE Risposte agli esercizi Risposte agli esercizi La struttura delle leggi congiunte Indipendenza e prodotto di probabilità Leggi congiunte e marginali Indipendenza tra due eventi e prodotto di due spazi di probabilità Esercizi Probabilità condizionata De nizione di probabilità condizionata e prime proprietà Correlazione tra eventi La probabilità condizionata come misura di probabilità Costruzione di una legge congiunta da una marginale e una famiglia di condizionate Esercizi Approfondimenti Tabelle a doppia entrata di massima correlazione Risposte agli esercizi Risposte agli esercizi Risposte agli esercizi Indipendenza e calcolo combinatorio Mutua indipendenza e probabilità prodotto Prodotto di spazi di probabilità e trasformazioni indipendenti Mutua indipendenza di una famiglia nita di eventi Esercizi Oggetti combinatorici fondamentali Disposizioni e loro conteggio Combinazioni e numeri di occupazione Coe cienti multinomiali Le statistiche di Maxwell-Boltzmann, Fermi-Dirac e Bose- Einstein Esercizi Approfondimenti Il numero delle combinazioni con ripetizione Risposte agli esercizi Risposte agli esercizi Risposte agli esercizi Schemi d urna e legge dei grandi numeri Schemi di estrazione da un urna Schema di Bernoulli e legge binomiale Legge ipergeometrica ed estrazioni senza reimmissione.. 134

7 INDICE v Formula delle probabilità composte e applicazioni: leggi di Polya Esercizi Schemi di estrazione da urne con più colori Estrazioni con reimmissione: legge multinomiale Estrazioni senza reimmissione Esercizi Il signi cato della legge dei grandi numeri Approfondimenti Simmetria della legge ipergeometrica Urne con più colori: estrazioni con rinforzo e legge di Bose-Einstein Risposte agli esercizi Risposte agli esercizi Risposte agli esercizi Indipendenza condizionata e alberi in niti Indipendenza condizionata Indipendenza condizionata tra eventi Indipendenza tra due trasformazioni condizionale a una terza Lo schema di Bernoulli condizionato Esercizi Alberi di profondità in nita e tempi di attesa Il tempo di primo successo in alberi niti Il tempo di primo successo in alberi in niti Legge congiunta di tempi d attesa Esercizi Approfondimenti Dimostrazione della Proposizione Risposte agli esercizi Risposte agli esercizi Risposte agli esercizi La dipendenza markoviana Dipendenza markoviana in generale Proprietà markoviana Catene di Markov De nizione ed esempi Leggi stazionarie e di equilibrio Catene irriducibili catene ergodiche e teorema di Markov Problemi di assorbimento Esercizi Approfondimenti Dimostrazione della Proposizione Dimostrazione della Proposizione

8 vi INDICE Dimostrazione della Proposizione 7.12 (2) Risposte agli esercizi Risposte agli esercizi Valori attesi e applicazioni Valore attesi su spazi niti o numerabili Valore atteso come estensione lineare di una probabilità Il principio di inclusione-esclusione Variabili non negative con in niti valori Somme in nite di funzioni di segno qualunque e de nizione generale di valore atteso Esercizi I momenti, la varianza e la covarianza I momenti di una legge La varianza come indice di dispersione Lo spazio delle variabili aleatorie di quadrato integrabile Esercizi Approfondimenti Dimostrazione della Proposizione Legge dei grandi numeri per variabili aleatorie non integrabili Approssimazione di variabili aleatorie e regressione Risposte agli esercizi Risposte agli esercizi Risposte agli esercizi Funzioni generatrici e limite centrale Valori attesi condizionati Esercizi La funzione generatrice delle probabilità De nizione e prime proprietà Convoluzione e funzioni generatrici delle probabilità Momenti e funzioni generatrici delle probabilità Applicazioni della funzione generatrice delle probabilità Esercizi Legge gaussiana e teorema del limite centrale Convergenza in legge Dalla legge dei grandi numeri al teorema del limite centrale Applicazioni statistiche del teorema del limite centrale Esercizi Approfondimenti Valore atteso condizionato come predittore ottimo Prova della Proposizione Prova della Proposizione Risposte agli esercizi Risposte agli esercizi

9 INDICE vii Risposte agli esercizi Risposte agli esercizi Spazi di probabilità continui Schema di Bernoulli in nito e legge di Lebesgue Dallo schema di Bernoulli alla legge di Lebesgue Funzioni di ripartizione di v.a. assolutamente continue Approfondimenti

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11 Prefazione Il presente volume è in gran parte incentrato sulla probabilità discreta, contesto nel quale gli strumenti principali del calcolo delle probabilità (in particolare il condizionamento) possono essere introdotti in modo assolutamente rigoroso senza le complicazioni tipiche della teoria della misura (problemi di estensione, insiemi di misura nulla e così via). L enfasi è soprattutto posta sulla costruzione dei modelli probabilistici, a cominciare dalla scelta di un appropriato spazio dei campioni. Con l esclusione dell ultimo capitolo gli spazi dei campioni sono niti o numerabili, e la -algebra degli eventi coincide con l insieme delle parti. L inclusione degli spazi dei campioni numerabili permette comunque di cominciare ad apprezzare le di coltà analitiche sottostanti alla de nizione dei valori attesi, di coltà che vengono risolte sviluppando le proprietà delle somme in - nite. Nell ultimo capitolo si cominciano a trattare spazi di probabilità e variabili aleatorie continue, presentandone alcuni esempi fondamentali. In questo modo il lettore comincia ad essere esposto ad alcune costruzioni tipiche della teoria della misura, anche se per una trattazione sistematica si rimanda ad un corso successivo in cui sia possibile, tra l altro, l utilizzazione dell integrazione in più dimensioni. Il testo ha come riferimento il corso di Calcolo delle Probabilità per gli studenti del Corso di Laurea in Matematica presso la Sapienza Università di Roma che, con qualche interruzione, ho insegnato da sei anni a questa parte. Questo corso si svolge durante il secondo semestre del primo anno. La collocazione dei corsi di probabilità all interno dei corsi di laurea in matematica è molto cambiata con l avvento dei nuovi ordinamenti (la famosa riforma 3+2): quasi tutti prevedono ora un corso obbligatorio di probabilità, posto al primo o al secondo anno. Fino a qualche anno fa l insegnamento della probabilità era invece facoltativo e posto a valle del biennio formativo. Accadeva quindi sovente di incontrare brillanti matematici che non erano stati mai esposti all insegnamento della probabilità. La collocazione del corso al terzo anno imponeva un bilanciamento tra la possibilità di una trattazione rigorosa basata sulla teoria della misura e la necessità di stimolare l intuizione e gli aspetti modellistici. Chiaramente l anticipazione dei contenuti richiesta dai nuovi ordinamenti richiede un diverso bilanciamento tra i due aspetti e una proposta in merito è quella presentata da questo testo. Al di fuori del corso di laurea in Matematica, la scelta degli argomenti dovrebbe risultare appropriata in particolare per i corsi di laurea dedicati alix