SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI Di un Polinomio

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1 SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI Di un Polinomio 1

2 Ripassiamo i prodotti notevoli NOME TIPO SVILUPPO Quadrato di un binomio ( a + b ) 2 a 2 + 2ab + b 2 Cubo di un binomio ( a + b ) 3 a 3 + 3a 2 b +3ab 2 +b 3 Somma per differenza ( a + b ) ( a b ) a 2 b 2 Quadrato di un trinomio ( a + b + c ) 2 a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2ac+2bc Somma di cubi Differenza di cubi ( a + b ) ( a 2 ab + b 2 ) ( a b ) ( a 2 +ab + b 2 ) a 3 + b 3 a 3 b 3 2 PROSEGUIAMO

3 Come faccio a scomporre in fattori primi? 3

4 PRIMA DI TUTTO Vedosec èdaraccogliereun fattore comune fra tutti i monomi, cioè faccio il: RACCOGLIMENTO TOTALE RIASSUMENDO Altrimenti 4

5 ALTRIMENTI faccio il raccoglimento parziale. 5

6 OPPURE Conto quanti monomi costituiscono il polinomio ed eventualmente cerco di riconoscere qualche prodotto notevole RIASSUMENDO 6 BINOMIO TRINOMIO QUADRINOMIO POLINOMIO OPPURE

7 Raccoglimento totale 3a 2 b - 5a 3 b 4 + a 4 b 6 = a 2 b ( 3-5ab 3 + 4a 2 b 5 ) BINOMIO Differenza di due quadrati ( a 2 b 2 ) = ( a b )( a + b ) Somma di due quadrati a 2 + b 2 NON SI PUO SCOMPORRE Somma di due cubi a 3 + b 3 = ( a +b )( a 2 + ab + b 2 ) Differenza di due cubi a 3 b 3 = ( a b )( a 2 + ab + b 2 ) Raccoglimento totale a 2 + 2ab + ab 2 = a (a+2b+ ab 2 ) Quadrato di un binomio a 2 + 2ab + b 2 = ( a + b ) 2 TRINOMIO Trinomio notevole x = (5 + 5)(5 + 5 ) x 5 Ruffini Vedi pag.15 Raccoglimento totale Vedi pag.8 Cubo di un binomio a 3 + b 3 + 3a 2 b + 3ab 2 = ( a + b ) 3 QUADRINOMIO Raccoglimento parziale Differenza di due quadrati ( di cui uno è il quadrato di un binomio) Ruffini Raccoglimento totale a 2 + b 2-2ab x 2 =(a - b) 2 - x 2 = [ (a b) + x ] [ (a b) x ] Vedi pag.15 Vedi pag.8 7 POLINOMIO Raccoglimento parziale Vedi pag.15 Quadrato di un trinomio a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc = ( a + b + c ) 2

8 RACCOGLIMENTO TOTALE 1) calcolo il M.C.D. dei monomi 2) divido i termini del polinomio per il M.C.D. 3a 2 b - 5a 3 b 4 + a 4 b 6 = a 2 b ( 3-5ab 3 + 4a 2 b 5 ) RIASSUMENDO 8

9 RACCOGLIMENTO PARZIALE 10a 3 b + 2xb - 5a 3 x = 5a 3 ( 2b 1 ) + x ( 2b - 1) = ( 2b 1 )( 5a 3 + x ) RIASSUMENDO 9

10 BINOMIO DIFFERENZA DI DUE QUADRATI ( a 2 b 2 ) = ( a b )( a + b ) ATTENZIONE!!!! La SOMMA di due quadrati NON si scompone mai!!!) DIFFERENZA DI CUBI a 3 b 3 = ( a b )( a 2 + ab + b 2 ) SOMMA DI CUBI a 3 + b 3 = ( a + b )( a 2 ab+ b 2 ) Ritorna ai prodotti notevoli RIASSUMENDO 10

11 TRINOMIO RIASSUMENDO Ritorna ai prodotti notevoli 11 QUADRATO DI UN BINOMIO (è un trinomio formato da: due quadrati e dal doppio prodotto delle basi) 16a 4 + b 2-8a 2 b = (4a 2 - b) 2 TRINOMIO NOTEVOLE ( deve essere sempre del tipo : x 2 + sx + p con s = a + b e p = ab ) x 2-9x 36 = ( x 12 ) ( x + 3 )

12 QUADRINOMIO 12 CUBO DI BINOMIO (ci sono due cubi e due tripli prodotti di ognuna delle due basi per il quadrato dell altra) RIASSUMENDO Ritorna ai prodotti notevoli a 3 + b 3 + 3a 2 b+ 3ab 2 = ( a + b ) 3 DIFFERENZA DI DUE QUADRATI ( di cui uno è il quadrato di un binomio) a 2 + b 2-2ab x 2 = (a - b) 2 - x 2 = [ (a b) + x ] [ (a b) x ]

13 QUADRINOMIO 13 CUBO DI BINOMIO (ci sono due cubi e due tripli prodotti di ognuna delle due basi per il quadrato dell altra) RIASSUMENDO Ritorna ai prodotti notevoli a 3 + b 3 + 3a 2 b + 3ab 2 = ( a + b ) 3 DIFFERENZA DI DUE QUADRATI ( di cui uno è il quadrato di un binomio) a 2 + b 2-2ab x 2 = (a - b) 2 - x 2 = [ (a b) + x ] [ (a b) x ]

14 POLINOMIO QUADRATO DI TRINOMIO (tre quadrati e tre doppi prodotti di ciascuna delle basi per le altre) a 2 + b 2 + c 2 + 2ab+ 2ac+ 2bc = ( a + b + c ) 2 Se non fosse possibile scomporre il polinomio con uno dei metodi precedenti, allora si può provare ad usare la: REGOLA DI RUFFINI Ritorna ai prodotti notevoli RIASSUMENDO 14

15 REGOLA DI RUFFINI x 5 10x 12 = Applico il teorema del resto per trovare lo zero. = ( x 2 ) ( x 4 + 2x 3 +4x 2 +8x + 6 ) 15

16 M.C.D. fra polinomi L M.C.D.fra due o più polinomi si calcola prendendo SOLO i fattori COMUNI, presi una sola volta con il minimo esponente 16

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18 18 EQUAZIONI FRATTE

19 Teoria Esempi Casi particolari Esempi di casi particolari Esercitazioni di verifica 19

20 EQUAZIONI DI I GRADO FRATTE: Un'equazione si dice fratta quando la x compare almeno una volta al denominatore. Per risolvere un equazione di I Grado fratta bisogna; 1. Scomporre in fattori i denominatori. 2. Calcolare il m.c.m. dei denominatori 3. Eliminare il denominatore e si impone. m.c.m 0 20

21 21 ESEMPIO DI EQUAZIONE DI I GRADO FRATTA 4 1 = x + 1 x 2 4( x 2) x + 1 = ( x + 1)( x 2) ( x + 1)( x 2) 4( x 2) = x + 1 4x 8 = x + 1 4x x = x = 9 x = Si trasformano le frazioni in frazioni con uguale denominatore Si moltiplicano entrambi i membri per il denominatore comune (II principio) Si eseguono le operazioni Si portano al primo membro i termini con la x al secondo membro i termini noti e si riducono i termini simili.

22 CASI PARTICOLARI Un Equazione può essere Impossibile Indeterminata (Identità) Non accettabile L equazione afferma un dato falso. Si ottiene Zero uguale a un numero. L equazione afferma un fatto vero ma che ha molteplici soluzioni L equazione è priva di significato, non ha soluzioni.

23 23 ESEMPIO DI EQUAZIONE IMPOSSIBILE x = 2 x 3 x 1 x 4x x = x 3 x 1 ( x 3)( x 1) ( x 1)(1) 2( x 3) 3 x = ( x 3)( x 1) ( x 3)( x 1) x 1 2x + 6 = 3 x x 2x + x = = 2 L equazione non ammette soluzioni.

24 ESEMPIO DI EQUAZIONE INDETERMINATA (IDENTITA ) x 1 1 = + 1 x = 1 0 = = 0 L equazione ammette un numero infinito di soluzioni poichè è verificata per tutti gli infiniti valori che possiamo attribuite all incognita x. 24

25 ESEMPIO DI EQUAZIONE NON ACCETTABILE x + 1 2x 2 = x 1 x 1 x + 1 2( x 1) 2x = ( x 1) x 1 x + 1 2x + 2 = 2x 3x = 3 x = 1 L equazione finale e quella iniziale sono equivalenti solo con la condizione x 1. 25

26 ESERCITAZIONI DI VERIFICA x+ 2 x = x x x x+ 1 x 1 x 5 = x x+ x + x = x x x x x -2

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