FACOLTA' DI INGEGNERIA

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1 FCOLT' DI INGEGNERI Corso di laurea in Ingegneria per l'mbiente e il Territorio e Ingegneria Telematica Prova scritta di lgebra Lineare e Geometria assegnata il 9//9 - Durata della prova: due ore - Non si puo uscire dall'aula prima di aver consegnato denitivamente il compito. - Non si possono consultare i libri di testo. - Usare solo la carta fornita dai Docenti. ) Studiare il fascio di conice del piano z = di equazione: I : (k + )x + y + ky + = con k IR. In particolare, trovare punti base e conice spezzate. ) Sia C la conica del fascio passante per il punto ( p 3 3 ; ). Trovare una sua forma canonica. II ) Sia } la parabola del fascio. Trovare il cilindro di vertice V (; ; ; ) e direttrice }. ) Studiare il fascio di quadrice di equazione x y + x + yz + z = III In IR, sia dato il seguente spazio vettoriale V = L(v ; v ; v 3 ) dove v ; v e v 3 sono i vettori v = (; ; ; ), v = (; ; ; ) e v 3 = (; ; ; ). Sia f : V! V l'endomorsmo denito da con parametro reale. f(v ) = ( + ; ; ; ) f(v ) = (; ; ; ) f(v 3 ) = (; ; ; ). Studiare M B (f) con B una base di V, al variare del parametro trovando una base per Imf e Kerf.. Studiare la semplicita di f, e nei casi in cui e semplice determinare una base di autovettori. 3. Trovare f (; ; ; ) al variare di

2 Soluzione Sia Si a I : (k + )x + y + ky + = : : x + y + + k(x + y) = : pertanto per k = si ottiene la circonferenza C := x + y + = e perq k = si ottiene la parabola } := x + y =. I punti base sono i ( p q 3 ; ip 3 i ) e p 3+ ( i ; +ip 3 ). llora jbj = k+ k k = (k + ) ( k ). jbj =, k = ; ;. per k = si a la conica spezzata nelle due rette (y + i p 3)(y i p 3) =. Se k = ; si spezza nelle due rette (y + x)(y x) = : Se k = ; si spezza nelle due rette (y + + i p 3x)(y + i p 3x) = :. jbj 6=, k 6= ; ; e si anno conice irriducibili. Essendo jj = k+ = k + Si a: jj =, k =. E non si anno parabole eccetto quella ce si ottiene per k =, } = x + y =. jj >, k > e si anno ellissi. Nel nostro caso si a la circonferenza per k =. jj <, k < e si anno iperboli. In particolare, T r =, k = e quindi non si anno iperboli equilatere. ) La conica C del fascio riciesta e quella ce si ottiene per k =, ovvero 3x + y y + =. Gli autovalori relativi alla sottomatrice, sono = 3 e =. Dall'uguaglianza = jbcj si ottiene = 3. Quindi una forma canocia di C e 3X + Y = 3, X + Y 3 =. II ) La parabola riciesta e } : x + y = : Quindi da z(ax + by + cz + d) + x + y = imponendo ce si abbia il punto V (; ; ; ) sia vertice si ottiene a b a b c d d C C =

3 da cui a = ; b = ; c = ; d = : Pertanto il cilindro riciesto e il seguente x + y + z =. ) la matrice del fascio e la seguente e jbj = - - = ( + )( + ) jj = - = ( + ) Quindi: jbj =, = e rk(b) = 3 ed essendo jj 6= la quadrica e il cono: : x y + x yz + z = : Sia jbj 6=, 6=. In tal caso, si anno quadrice non degeneri; in particolare, essendo jj =, =, si a il paraboloide y + x =, e per 6= solo iperboloidi e/o ellissoidi. Studiamo il segno degli autovalori relativi al polinomio caratteristico associato alla sottomatrice. Quindi: j ITj = -T --T -T = = T 3 + T + ( + )T ( + ) e dalla regola di Cartesio si trova ce si sono solo iperboloidi, ed essendo jb >, >, si anno iperboloidi iperbolici e jb <, <, si anno iperboloidi ellittici. III Sia B = [v ; v ; v ] una base di V. Si a jj = jm B B(f)j = + - = ( + )( ) Quindi: jj 6=, 6= ; ; ed in tali casi f e un isomorsmo. Sia =. In tal caso si a:

4 e rk =. Pertanto dim Imf = ed una base e data da f(; ; ) B ; (; ; ) B g; dim Kerf = e Kerf = f(x; y; z) V j x = ; y = g, pertanto una base e data da f(; ; ) B g = v 3 : Sia =. In tal caso si a: e rk =. Pertanto dim Imf = ed una base e data da f(; ; ) B ; (; ; ) B g; dim Kerf = e Kerf = f(x; y; z) V j x = ; y = zg, pertanto una base e data da f(; ; ) B g = v + v 3 : Sia =. In tal caso si a: e rk =. Pertanto dim Imf = ed una base e data da f(; ; ) B ; (; ; ) B g; dim Kerf = e Kerf = f(x; y; z) V j x = z; y = zg, pertanto una base e data da f(; ; ) B g = v v + v 3 : Calcoliamo adesso j ITj = +-T -T - -T Si anno quindi i seguenti autovalori: = ( + T )[ T ( T ) ( )] = = ( + T )(T + )(T ) T = + ; T = ; T 3 = : llora T 6= T 6= T 3 se 6= ; e si anno tre autovalori distinti allora f e semplice. Troviamo una base di autovettori per 6= ;. Si a: V + = f(x; y; z) B V j x = + + y; z = + + yg ed una base e data dal vettore a = ( ++ ; ; ++ ) B = ++ v + v + ++ v 3. Si noti ce e consigliabile mettere al denominatore + + in quanto esso e sicuramente diverso da zero. ltrimenti si deve analizzare quando + e uguale o no a zero. V = f(x; y; z) B V j x = ; y = zg ed una base e data dal vettore a = (; ; ) B = v v 3.

5 V = f(x; y; z) B V j x = ; z = yg ed una base e data dal vettore a 3 = (; ; ) B = v + v 3. Si noti ce e consigliabile mettere al denominatore in quanto esso e sicuramente diverso da zero. ltrimenti si devono analizzare i casi 6= ed =. Quindi una base di autovettori e fa ; a ; a 3 g : Sia = ; si a T = doppio e T = con m =. Calcoliamo dim V ; essendo il rango della seguente uguale a due si a dim V = e pertanto per = f non e semplice. Sia = ; si a T = doppio e T = 3 con m essendo il rango della seguente =. Calcoliamo dim V uguale a due si a dim V = e pertanto per = f non e semplice. 3) per trovare f (; ; ) bisogna trovare prima le componenti di v = (; ; ) rispetto alla base B di V e poi risolvere il sistema del tipo X = Y dove Y e a matrice i cui elementi sono le componenti di v rispetto a B, ce sono [v] B = (; ; ) B = v + v 3. Per cui si + x y Quindi se 6= ; il sistema ammette una ed una sola soluzione X = ( + ; ; ; ); se = il sistema ammette per Rouce-Capelli soluzioni Y = (; ; z) e quindi f (; ; ) B = f(; ; z)g. Se = il sistema e impossibile e quindi f (; ; ) B = ;. ;