T1: Logica, discorso e conoscenza. Logica classica

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1 T1: Logica, discorso e conoscenza Primo modulo: Logica classica ovvero Deduzione formale vs verità: un introduzione ai teoremi limitativi Simone Martini Dipartimento di Scienze dell Informazione Alma mater studiorum Università di Bologna martini@cs.unibo.it Collegio Superiore ottobre novembre, / 232

2 1 Prima lezione: la logica dall informale al formale Pillole di storia (e problemi) della logica 2 Seconda lezione: Linguaggi del prim ordine Logica proposizionale; linguaggi predicativi 1 Terza lezione: verità e validità Formule vere dovunque e vere in classi di modelli 2 Quarta lezione: dimostrazioni Sistemi formali per la derivabilità 5 Quinta lezione: l aritmetica di Peano Un sistema di assiomi; proprietà 6 Sesta lezione: i teoremi limitativi I teoremi di Gödel e Church Outline 6 / 232

3 1 Prima lezione: la logica dall informale al formale Pillole di storia (e problemi) della logica 2 Seconda lezione: Linguaggi del prim ordine Logica proposizionale; linguaggi predicativi 1 Terza lezione: verità e validità Formule vere dovunque e vere in classi di modelli 2 Quarta lezione: dimostrazioni Sistemi formali per la derivabilità 5 Quinta lezione: l aritmetica di Peano Un sistema di assiomi; proprietà 6 Sesta lezione: i teoremi limitativi I teoremi di Gödel e Church Outline 79 / 232

4 Verità in un interpretazione Sia A una formula sul linguaggio L Σ Sia A una interpretazione per L Σ A è vera in A sse per ogni ρ, [A] A ρ = V In simboli: A = A Leggi: A è un modello di A Si estende ad insiemi di formule Γ: A = Γ sse per ogni A 2 Γ, si ha A = A 80 / 232

5 Esempi (già visti) P = 8n (s(n) = 0) è una formula nel linguaggio L +,s N, Z, { } sono tutte interpretazioni per L +,s N = P Z 6 = P { } 6 = P 81 / 232

6 Formule vere in ogni interpretazione? Dicemmo: Siamo tentati di dire che alcune sue formule sono vere : 8n(n = n), 8n(n + 0 = n), 8n8m8p(n = m m = p n = p) e che altre sono false : 8m(0 + 0 = m), 9n8m(n + m = 0) verità e falsità pre-suppongono un interpretazione canonica dei simboli del linguaggio Nessuna formula è vera o falsa in assoluto, ma solo in riferimento ad una specifica interpretazione (cioè una semantica) del linguaggio Siamo sicuri? Consideriamo P P, o 8x(x = x) Per una interpretazione qualsiasi A, queste formule sono vere in A 82 / 232

7 Leggi logiche Il linguaggio ha due livelli: 1 Livello logico comune: connettivi, quantificatori ecc. 2 Livello specifico: aspetti specifici del dominio La semantica del livello specifico dipende dall interpretazione perché dipende da come si associano oggetti semantici ai simboli La semantica del livello logico è invece fissata nella nozione di funzione semantica, [ ]] E.g., [A B ] A ρ = V sse [A] A ρ = V e [B ] A ρ = V [t 1 = t 1 ] A ρ = V sse [t 1 ] A ρ = [t 2 ] A ρ 83 / 232

8 Validità Una formula A è valida sse per ogni interpretazione A, si ha A = A = A Le formule valide sono leggi logiche La loro verità non dipende dal dominio, ma dalla semantica dei connettivi e dei quantificatori Questa semantica è per noi connaturata ( built-in ) alla logica che stiamo descrivendo 84 / 232

9 Alcune leggi logiche proposizionali 1 P P 2 P (Q P) a fortiori 3 P Q P 4 P P doppia negazione debole 5 (P Q) ( Q P) tollendo tollens 6 P ( P Q) legge debole di Duns Scoto 7 P ( P Q) legge forte di Duns Scoto 8 P P terzo escluso 9 P P doppia negazione forte 10 (P Q) ( P Q) legge di Filone Megarico 11 ((P Q) P) P legge di Pierce 85 / 232

10 Alcune leggi logiche quantificate 1 (8xP) (9xP) 2 9x8yP 8x9yP 3 8xP 9x P 4 9xP 8x P 86 / 232

11 Procedimento di decisione? Legge proposizionale Alberi semantici (tableaux) Tavola di verià Meccanizzabile (ma richiede tempo esponenziale) Il problema decidere se una formula A è una tautologia è conp-completo. Se P 6= NP, è intrinsecamente esponenziale Legge quantificata Ragionare a partire dalla definizione: difficile per via delle quantificazioni Meccanizzabile? 87 / 232

12 Una validità condizionata? Consideriamo le due formule 1 8n(n + 0 = n) 2 8n8m(n + m = m + n) 8n(0 + n = n) è certamente vera tutte le volte che (1) e (2) sono vere Più precisamente: In ogni interpretazione che è un modello di (1) e (2), anche 8n(0 + n = n) è vera Diciamo che 8n(0 + n = n) è conseguenza logica di (1) e (2) 88 / 232

13 Conseguenza logica formule chiuse Sia Γ un insieme di formule chiuse e P una formula. P è conseguenza logica di Γ (scrivi: Γ = P) sse per ogni interpretazione A, se A = Γ, allora A = P. P è necessariamente vera laddove le formule di Γ sono vere. 89 / 232

14 Conseguenza logica caso generale Sia Γ un insieme di formule e P una formula. P è conseguenza logica di Γ (scrivi: Γ = P) sse per ogni interpretazione A, e per ogni ambiente ρ su A: per tutte le Q 2 Γ [Q ] A ρ = V = [P ] A ρ = V P è necessariamente vera laddove le formule di Γ sono vere, nello stesso ambiente. 90 / 232

15 Centralità della conseguenza logica La matematica è incentrata su questa nozione La logica del novecento nasce per chiarire questa nozione Un insieme di formule caratterizza (assiomatizza) una certa nozione matematica (gli ordini parziali, i gruppi, gli anelli ecc.) Si studiano i teoremi che valgono per tutte quelle strutture (tutti i gruppi, tutti gli anelli, tutti gli ordini parziali ecc.) 91 / 232

16 Un esempio sul linguaggio del successore Sia L 0,succ il linguaggio di zero e successore. Sia G il seguente insieme di formule: 8a8b [succ(a) = succ(b) a = b] 8a [succ(a) 6= 0] Ogni modello di G (ogni interpretazione A tale che A = G) contiene un numero infinito di elementi. Ma non c è grande struttura. P.e. G 6 = 8x9yx = succ(y). 92 / 232

17 L insieme Ord Sia L Ord il linguaggio senza costanti o funzioni e col solo simbolo di predicato M Sia Ord il seguente insieme di formule su L Ord : 8xM(x, x) 8x8y(M(x, y) M(y, x) x = y) 8x8y 8z(M(x, y) M(y, z) M(x, z) Ord esprime che M è un predicato (binario) riflessivo, antisimmetrico e transitivo. Cioè M è una relazione d ordine. Se A è un modello di Ord, deve avere un ordine 93 / 232

18 Alcuni modelli di Ord N = Ord Z = Ord { } = Ord Molte altre interpretazioni D 0 : D = {0, 1}, M D0 (0, 0) = V, M D0 (1, 1) = V D 1 : D = {0, 1}, M D1 (0, 0) = V, M D1 (1, 1) = V, M D1 (0, 1) = V D 2 : D = {0, 1}, M D2 (0, 0) = V, M D2 (1, 1) = V, M D2 (1, 2) = V Ci sono infiniti modelli di Ord! 94 / 232

19 La teoria degli ordini parziali Un modello di Ord è un ordine parziale Le conseguenze logiche di Ord sono le proprietà che valgono per tutti gli ordini parziali Th(Ord) = {P Ord = P} La teoria degli ordini parziali è costituita da tutte quelle formule che sono conseguenza logica di Ord, cioè che sono vere in ogni ordine parziale. 95 / 232

20 Conseguenze di formule logiche Consideriamo il linguaggio puro (no costanti, no variabili, un insieme numerabile di simboli di predicato) La conseguenza logica ha senso anche in questo caso A, A B = B B non è certo una legge logica... B(c), 8x(A(x) B(x)) = A(c) 96 / 232

21 I gruppi Un gruppo è un insieme con un operazione binaria associativa L operazione ha un elemento neutro Ogni elemento ha un inverso Il linguaggio: L gruppo = {ɛ, 2 }; nessun predicato. Sia Grp l insieme delle quattro formule seguenti: 8x8y 8z[(x y) z = x (y z)] 8x(ɛ x) = x) e anche 8x(x ɛ) = x) 8x9y(x y = 0) (y x = 0) 97 / 232

22 La teoria dei gruppi Le conseguenze logica di Grp sono i teoremi sui gruppi Th(Grp) = {P Grp = P} Modelli di Grp sono Z con la somma; Q con il prodotto; R con il prodotto ecc. ecc. 98 / 232

23 Quanti sono i modelli di una teoria? 1 Ci sono solo modelli finiti (il cui dominio è finito) Linguaggio con una sola costante, diciamo 0 8x(x = 0) ha un solo modello, quello con un solo elemento Linguaggio con due sole costanti, diciamo 0 e 1 8x(x = 0 x = 1) (0 = 1) ha un solo modello, quello con un due elementi In questo caso i modelli di tali formule sono in numero finito (uno solo, in entrambi i casi) 2 Ci sono (anche) modelli infiniti (il cui dominio è infinito) Linguaggio con una sola costante (0) ed un simbolo di funzione s 1 8x (x = s(x)) ha modelli sia finiti (per esempi con due elementi) sia infiniti (cioè di cardinalità infinita) In questo caso è possibile dimostrare che esistono necessariamente una quantità infinita di modelli (ciascuno di essi con un dominio di cardinalità infinita) 99 / 232

24 Quanti sono i modelli di una teoria? 1 Ci sono solo modelli finiti (il cui dominio è finito) Linguaggio con una sola costante, diciamo 0 8x(x = 0) ha un solo modello, quello con un solo elemento Linguaggio con due sole costanti, diciamo 0 e 1 8x(x = 0 x = 1) (0 = 1) ha un solo modello, quello con un due elementi In questo caso i modelli di tali formule sono in numero finito (uno solo, in entrambi i casi) 2 Ci sono (anche) modelli infiniti (il cui dominio è infinito) Linguaggio con una sola costante (0) ed un simbolo di funzione s 1 8x (x = s(x)) ha modelli sia finiti (per esempi con due elementi) sia infiniti (cioè di cardinalità infinita) In questo caso è possibile dimostrare che esistono necessariamente una quantità infinita di modelli (ciascuno di essi con un dominio di cardinalità infinita) 100 / 232

25 Quanti sono i modelli di una teoria? 1 Ci sono solo modelli finiti (il cui dominio è finito) Linguaggio con una sola costante, diciamo 0 8x(x = 0) ha un solo modello, quello con un solo elemento Linguaggio con due sole costanti, diciamo 0 e 1 8x(x = 0 x = 1) (0 = 1) ha un solo modello, quello con un due elementi In questo caso i modelli di tali formule sono in numero finito (uno solo, in entrambi i casi) 2 Ci sono (anche) modelli infiniti (il cui dominio è infinito) Linguaggio con una sola costante (0) ed un simbolo di funzione s 1 8x (x = s(x)) ha modelli sia finiti (per esempi con due elementi) sia infiniti (cioè di cardinalità infinita) In questo caso è possibile dimostrare che esistono necessariamente una quantità infinita di modelli (ciascuno di essi con un dominio di cardinalità infinita) 101 / 232

26 Difficoltà della conseguenza logica Se Γ ha (anche) modelli infiniti (col dominio infinito) Allora Γ ha infiniti modelli (non è un gioco di parole... ) (Tale infinito è di una cardinalità estremamente grande) L insieme delle conseguenze logiche di Γ caratterizza così il comportamento di una collezione vastissima di interpretazioni Come stabilire allora una conseguenza logica? Non possiamo ragionare su questa (enorme) collezione di modelli! Alla ricerca di metodi sintattici 102 / 232

27 Dimostrazioni come oggetti formali Un linguaggio L Un insieme di formule su L, gli assiomi Un insieme di regole di inferenza Un insieme di (meta-)regole (sintattiche, combinatorie, effettive) che spiegano come le regole di inferenza permettono di dedurre nuove formule a partire da formula già dedotte Un teorema è una formula dedotta dagli assiomi con una serie (finita) di applicazioni delle regole di inferenza Nessun riferimento ad una specifica semantica o modello inteso 103 / 232

28 Pluralità di tipi di sistemi formali: Sistemi formali alla Hilbert (assiomi e regole) il più antico; comodo per parlare dei modelli di una teoria deduzione naturale (Gentzen, 1934) studio delle dimostrazioni come oggetti formali sequenti (Gentzen, 1934) studio delle dimostrazioni, dimostrazioni di consistenza tableaux (Beth, 1955) ricerca di dimostrazioni (in realtà: refutazioni) risoluzione (Robinson, 1963) ricerca di dimostrazioni (in realtà: refutazioni) reti di dimostrazione (Girard, 1987) dimostrazioni in logica lineare ecc. 104 / 232

29 Esempio: logica positiva dell implicazione alla Hilbert (Schemi di) assioma 1 A (B A) assioma K 2 (A (B C)) ((A B) (A C)) assioma S Regola di inferenza P Q Q P modus ponens Meta-regole 1 Ogni istanza di un assioma è un assioma 2 Una derivazione è una sequenza di formule P 0, P 1,..., P n dove ogni P i è: un assioma, oppure è ottenuta mediante modus ponens da P j e P k, con j, k < i 105 / 232

30 Una derivazione Vogliamo dimostrare A A 106 / 232

31 Una derivazione Vogliamo dimostrare A A (1) (A (B C)) ((A B) (A C)) sostituiamo A al posto di C assioma S 107 / 232

32 Una derivazione Vogliamo dimostrare A A (1) (A (B A)) ((A B) (A A)) sostituiamo (A A) al posto di B assioma S 108 / 232

33 Una derivazione Vogliamo dimostrare A A (1) (A ((A A) A)) ((A (A A)) (A A)) assioma S 109 / 232

34 Una derivazione Vogliamo dimostrare A A (1) (A ((A A) A)) ((A (A A)) (A A)) assioma S (2) A (B A) sostituiamo (A A) al posto di B assioma K 110 / 232

35 Una derivazione Vogliamo dimostrare A A (1) (A ((A A) A)) ((A (A A)) (A A)) assioma S (2) A ((A A) A) assioma K 111 / 232

36 Una derivazione Vogliamo dimostrare A A (1) (A ((A A) A)) ((A (A A)) (A A)) assioma S (2) A ((A A) A) assioma K (3) (A (A A)) (A A) MP, da (1) e (2) 112 / 232

37 Una derivazione Vogliamo dimostrare A A (1) (A ((A A) A)) ((A (A A)) (A A)) assioma S (2) A ((A A) A) assioma K (3) (A (A A)) (A A) MP, da (1) e (2) (4) A (B A) sostituiamo A al posto di B assioma K 113 / 232

38 Una derivazione Vogliamo dimostrare A A (1) (A ((A A) A)) ((A (A A)) (A A)) assioma S (2) A ((A A) A) assioma K (3) (A (A A)) (A A) MP, da (1) e (2) (4) A (A A) assioma K 114 / 232

39 Una derivazione Vogliamo dimostrare A A (1) (A ((A A) A)) ((A (A A)) (A A)) assioma S (2) A ((A A) A) assioma K (3) (A (A A)) (A A) MP, da (1) e (2) (4) A (A A) assioma K (5) A A MP, da (3) e (4) 115 / 232

40 Logica classica proposizionale, alla Hilbert 1 A (B A) 2 (A (B C)) ((A B) (A C)) 3 B C B 4 B C C 5 B (C B C) 6 B B C 7 C B C 8 (B D) ((C D) (B C D)) 9 (B C) ((B C) B) 10 B (B C) 11 A A 12 Regola: modus ponens 116 / 232

41 Logica classica dei predicati, alla Hilbert 1 Gli assiomi proposizionali 2 (8xP(x)) P(t) 3 P(t) 9xP(x) 4 8x(Q P(x)) (Q 8xP(x)) 5 8x(P(x) Q) (9xP(x) Q) 6 Regole di inferenza modus ponens P(x) 8xP(x) generalizzazione Condizione aggiuntiva: In 4 e 5, Q non deve contenere x (libera) 117 / 232

42 Alberi semantici: regole predicative 8x A[x] V 8x A[x] F 9x A[x] V 9x A[x] F A[t] V A[y] F A[y] V A[t] F t termine generico; y fresca nel suo ramo. Per l uguaglianza: ad un ramo può essere sempre aggiunto un nodo tra questi: t = t V t 1 = s 1... t n = s n f (t 1,..., t n ) = f (s 1,..., s n ) V t 1 = s 1... t n = s n P(t 1,..., t n ) P(s 1,..., s n ) V 118 / 232

43 Alberi semantici predicativi: esempio 8x(A[x] B[x]) (8xA[x] 8xB[x]) F 8x(A[x] B[x]) V 8xA[x] 8xB[x] F 8xA[x] V 8xB[x] F B[y] F A[y] V Le due regole centrali che eliminano 8 con y non possono essere scambiate! La y deve essere fresca nel ramo. A[y] B[y] V A[y] V B[y] F 119 / 232

44 Altri sistemi logici Diverso ruolo reciproco di assiomi e regole Diversa nozione di dimostrazione (e.g., no successione di formule, ma oggetto grafico bidimensionale) Un certo sistema formale S dà luogo ad una propria nozione di derivazione `S Equivalenza Tutti i sistemi formali per la logica del prim ordine sono equivalenti rispetto ai teoremi cioè, dati due sistemi formali S e S 0, si ha Γ `S A sse Γ 0 `S A 120 / 232

45 La deduzione naturale: calcolo minimale per e Assiomi: nessuno Regole: A B A B I A B A E 1 A B B E 2 [A]. B A B I A B A B E 121 / 232

46 Deduzione naturale: un esempio di dimostrazione ` A B B A [A B] [A B] A B A B B A 122 / 232

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