Specifiche nel dominio delle frequenze

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1 Specifiche frequenziali - 1 Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Specifiche nel dominio delle frequenze DEIS-Università di Bologna Tel crossi@deis.unibo.it URL: www-lar.deis.unibo.it/~crossi

2 Relazione tra specifiche e proprietà di Specifiche frequenziali - 2 Nell analisi del sistema in retro (parte 8, Controlli LA) si è visto come le specifiche sia statiche che dinamiche sul sistema in retroazione possano essere tradotte (in alcuni casi in maniera approx) in specifiche sulla funzione di anello. Il problema di progetto del controllo che rende soddisfatte le specifiche per il sistema in retro può quindi essere trasformato in un problema di progetto di

3 Stabilità robusta Specifiche frequenziali - 3 Alti margini di fase e di ampiezza danno garanzie di buona robustezza a fronte di incertezze sulla funzione di risposta armonica di anello (sia in termini di incertezze sul modulo che sulla fase) Lower bound su e Si è inoltre visto che la presenza di ritardi non modellati risulta tanto più critica (a parità di margine di fase) quanto più la pulsazione di attraversamento è alta ( ) Upper bound su

4 Specifiche statiche Specifiche frequenziali - 4 Riferimenti e disturbi sull uscita (usualmente confinati a frequenze basse) L inverso del modulo di nel campo di frequenze in cui è confinato il riferimento e/o il disturbo rappresenta il fattore di attenuazione a regime sull errore di inseguimento. Quindi per riferimenti/disturbi uscita caratterizzati spettralmente la specifica statica si traduce in un 15 Regione proibita per Lower bound su Livello di attenuazione su desiderato Magnitude (db) 1 5 Spettro in cui è confinato riferimento e/o disturbo sull uscita Frequency (rad/sec)

5 .Specifiche statiche Specifiche frequenziali - 5 Warning: disturbi sull attuatore Nella parte 8 di LA abbiamo assimilato disturbi sull attuatore con i disturbi sull uscita, pensando ad un disturbo equivalente filtrato da Quindi il legame dinamico tra ed risulta: Disturbo equivalente sull uscita ovvero alle frequenze in cui Il fattore di attenuazione è dato dall inverso di (e non di ) Quindi per disturbi sull attuatore caratterizzati spettralmente la specifica statica si traduce in un Lower bound su

6 .Specifiche statiche Specifiche frequenziali - 6 Caso di particolare interesse: riferimenti/disturbi del tipo In base al principio del modello interno, nella parte 8 di LA abbiamo visto come il soddisfacimento delle specifiche statiche in questo caso impone l inserimento di poli nell origine ovvero dei lower bound sul guadagno statico di al variare del tipo di specifica. Tipologia di ingresso Tipo di gradino rampa parab. Consideriamo nel dettaglio il caso di ingressi simultanei a gradino al variare delle specifiche statiche

7 .Specifiche statiche Dati del problema: Specifiche frequenziali - 7 Sovrapponendo gli effetti si ha: Dal teorema del valore finale:

8 .Specifiche statiche a. Specifica statica: Specifiche frequenziali - 8 Non è richiesto errore nullo Dove è dato e è assegnabile attraverso Quindi la specifica statica è soddisfatta se Termine dovuto a disturbi sull uscita e riferimenti (nota: se, ovvero il plant ha poli nell origine, questo termine è nullo) Termine dovuto a disturbi sull attuatore

9 .Specifiche statiche Specifiche frequenziali - 9 b. Specifica statica: L inseguimento (abbattimento) esatto di riferimenti (disturbi sull uscita) costanti si ha solo se il sistema ad anello presenta almeno un polo nell origine (principio del modello interno) oppure L abbattimento esatto di un disturbo sull attuatore costante si ha solo se il 1. Il plant controllato presenta almeno uno zero nell origine 2. Il regolatore presenta almeno uno polo nell origine

10 .Specifiche statiche Specifiche frequenziali - 1 Quindi per soddisfare la specifica statica relativamente a riferimenti e disturbi sull uscita costanti è necessario che Se (guadagno statico inver. prop. a ) Se (presenza di almeno un polo nell origine) e nel caso di disturbi sull attuatore Se (guadagno statico inver. prop. a ) Se (presenza di almeno un polo nell origine) 15 Quindi in termini di specifiche Nel dominio della frequenza, si ottengono dei vincoli sulla pendenza (o valore assoluto) del diagramma delle ampiezze di o di Magnitude (db) Frequency (rad/sec)

11 .Specifiche statiche Specifiche frequenziali - 11 Disturbi di misura (usualmente confinati a frequenze alte) Il modulo di nel campo di frequenze in cui è confinato il disturbo di misura rappresenta il fattore di attenuazione del disturbo sull errore Quindi per disturbi di misura caratterizzati spettralmente la specifica statica si traduce in un 5 Regione proibita per Upper bound su Magnitude (db) -5 Livello di attenuazione su desiderato -1 Spettro in cui è confinato il disturbo di misura Frequency (rad/sec)

12 .Specifiche statiche Specifiche frequenziali - 12 Le specifiche statiche sul riferimento-disturbo sull uscita e sul disturbo di misura valutate in maniera congiunta mostrano anche come le prime impongano un lower bound sulla pulsazione di attraversamento di, mentre le seconde un upper bound su tale valore. Il soddisfacimento delle specifiche statiche impone che: Massima frequenza nello spettro di e Magnitude (db) -5-1 Importanza del disaccoppiamento -15 in frequenza: Minima 1 1 frequenza 1 2 Frequency (rad/sec) nello spettro di

13 Specifiche dinamiche Specifiche frequenziali - 13 Usualmente date in termini di tempo di assestamento e sovraelongazione percentuale massima nella risposta al gradino Vincoli sulla posizione della coppia di poli c.c. dominanti del sistema retroazionato (Strumento naturale: Luogo delle radici) Posizione degli zeri del sistema retroazionato (in rapporto alla posizione dei poli). Anche in presenza di una coppi di poli c.c. all interno di regioni di specifica, la presenza di zeri può distruggere le proprietà dinamiche (vedi discussione più avanti.)

14 ..Specifiche dinamiche Specifiche frequenziali - 14 Come visto nella studio della funzione di sensitività complementare è anche possibile trasformare (in maniera approx) le specifiche dinamiche in specifiche frequenziali Se la funzione ad anello è caratterizzata da una pulsazione di attraversamento e un margine di fase allora è lecito aspettarsi che la coppia di poli c.c. dominanti in retroazione sia caratterizzata da Quindi Lower bound su Lower bound su

15 ..Specifiche dinamiche Specifiche frequenziali - 15 Graficamente: Possibile range per 5 Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Regione proibita per il diagramma delle fasi Frequency (rad/sec) Lower bound su dettato da specifiche su

16 ..Specifiche dinamiche Specifiche frequenziali - 16 Osservazione: Sotto certe ipotesi di regolarità il valore del margine di fase, e quindi il soddisfacimento o meno di certe specifiche dinamiche, potrebbe essere dedotto dalla lettura della pendenza del diagramma delle ampiezze in corrispondenza di Infatti, se Polo in Zero in e stabile e a fase minima, vale l algoritmo : per per per per Regola pratica: Se il diagramma delle ampiezze ha una pendenza di in corrispondenza della pulsazione di attraversamento e tale pendenza si conserva per circa una decade a cavallo di allora e lecito aspettarsi una fase per di circa e quindi un margine di fase

17 Specifiche frequenziali - 17 Considerazioni sugli zeri nelle specifiche dinamiche Come visto nella parte 4 di LA, la presenza di zeri nella f.d.t. può alterare notevolmente la dinamica di un sistema del secondo ordine in termini di sovraelongazione e di qualità della risposta: presenza di zeri vicino all origine: sovraelongazioni amplificate per sistemi a fase minima (addirittura sottoelongazioni per sistemi a fase non minima) Coppia di poli cc closed-loop ad alto smorzamento La presenza di uno zero qui distrugge le proprietà in termini di della coppia c.c. presenza di quasi cancellazioni zero-polo dominante: risposte brutte in quanto caratterizzate da doppia scala dei tempi (code di assestamento) Poli reali closed-loop con polo dominante La presenza di uno zero qui altera la risposta (coda di assestamento)

18 ..Considerazioni sugli zeri nelle specifiche dinamiche Specifiche frequenziali - 18 Osservazione importante: Nel caso della funzione di sensitività complementare (relazione dinamica tra riferimento e uscita) gli zeri coincidono con o zeri di fissati o zeri di assegnabili Da qui è possibile dedurre alcune regole pratiche : 1. Non introdurre zeri del regolatore vicino all asse immaginario 2. Se il sistema controllato ha uno zero a fase minima vicino all asse immaginario allora, se possibile, è conveniente cancellarlo con un polo del regolatore.

19 Specifica sulla moderazione controllo e realizzabilità fisica del controllore Specifiche frequenziali - 19 Dallo studio della funzione di sensitività del controllo sappiamo che la moderazione dello sforzo di controllo si ottiene: Limitando la pulsazione di attraversamento alla pulsazione di attraversamento del sistema controllato) (rispetto Realizzando regolatori passa basso (qualora questo sia compatibile con le specifiche da imporre) Affinché il regolatore sia fisicamente realizzabile (grado relativo>=), occorre che il grado relativo di sia >= di 15 quello di 1 Pendenza a frequenza elevata di almeno pari a quella di Magnitude (db) Frequency (rad/sec)

20 . Quindi, riepilogando Specifiche frequenziali - 2 Specifica statica per, costanti 15 Limite inf. per dato da specifica dinamica su Bode Diagram Limite sup. per dato da - Robustezza a ritardi - Moderazione controllo 1 Specifica statica per, definiti spettralmente Magnitude (db) Specifica statica per definito spettralmente Phase (deg) Fisica realizz. regolatore + moderazione controllo -18 Specifica dinamica su + robustezza stabilità Frequency (rad/sec) Praticamente sostituibile con un vincolo sulla pendenza di in

21 Struttura di controllo a due stadi Specifiche frequenziali - 21 E conveniente dividere il progetto del controllo in due passi associati al progetto di due sottoparti del regolatore: Regolatore statico : parte del regolatore il cui progetto mira ad imporre le specifiche statiche a bassa frequenza (disturbi sull uscita e/o riferimenti) Regolatore dinamico : parte del regolatore il cui progetto mira ad imporre le specifiche statiche ad alta frequenza (disturbi di misura) e le specifiche dinamiche

22 Progetto La presenza di poli nell origine in la specifica statica richieda Riferimento e disturbo uscita Specifiche frequenziali - 22 si rende necessaria qualora in presenza di segnali costanti Disturbo attuatore Numero poli nell origine per costanti costante tipo libero libero libero

23 .Progetto Specifiche frequenziali - 23 Analogamente nel caso di segnali a rampa: Riferimento e disturbo uscita rampa tipo tipo libero libero libero libero

24 .Progetto Specifiche frequenziali - 24 Il soddisfacimento di una eventuale specifica statica per riferimenti e/o disturbi sull uscita caratterizzati spettralmente può essere poi realizzato alzando il valore di (il cui valore risulta libero o limitato inferiormente dai ragionamenti precedenti) N.B. Implicito in questi ragionamenti c e il fatto che il progetto della parte dinamica NON alteri significativamente alle basse frequenze Magnitude (db) Frequency (rad/sec) Livello di attenuazione su desiderato a fronte di riferimenti e disturbi sull uscita caratterizzati spettralmente

25 Progetto Specifiche frequenziali - 25 Il progetto del secondo stadio di controllo (regolatore dinamico ) risulta il vero e proprio progetto di controllo ( la parte complicata ) Non esiste in generale una procedura unica per il progetto di. Cercheremo di identificare Alcuni scenari che possono guidare nella scelta della struttura di (numero di poli-zeri, alternanza poli-zeri.) Strutture di regolazione standard Alcune procedure per la determinazione dei parametri di una volta identificata la struttura

26 .Progetto Dalla discussione precedente gli obiettivi dietro il progetto di sono: 1. Imporre in un certo intervallo frequenziale 2. Garantire un certo margine di fase Specifiche frequenziali Garantire una certa attenuazione e pendenza a freq. elevate Già tenuto in conto con il progetto di N.B. Tali obiettivi vanno raggiunti lavorando sul sistema esteso Magnitude (db) Phase (deg) Bode Diagram Frequency (rad/sec)

27 .Progetto Specifiche frequenziali - 27 Nota: l obiettivo 3 riguarda solo proprietà del diagramma dei moduli di. Il suo soddisfacimento non comporta quindi problemi in quanto è sufficiente introdurre poli del regolatore a frequenze elevate. 15 Bode Diagram La parte critica nel progetto di è quindi l imposizione di una certa e di un certo margine di fase robustamente Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec)

28 .Progetto 15 Bode Diagram Specifiche frequenziali Magnitude (db) Phase (deg) Vincoli indotti dal progetto dello stadio precedente: Frequency (rad/sec) Se nel progetto di il valore di è vincolato (in particolare ) allora nel progetto del secondo stadio il valore di non è un grado di libertà ( ) Se il progetto di è stato realizzato per soddisfare specifiche statiche per riferimenti-disturbi caratterizzati spettralmente (ovvero imponendo sufficiente amplificazione a alle basse frequenze) allora occorre che poli e zeri di siano scelti a frequenza suff. elevata