PROBABILITA. Sono esempi di fenomeni la cui realizzazione non è certa a priori e vengono per questo detti eventi aleatori (dal latino alea, dado)

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1 L esito della prossima estrazione del lotto L esito del lancio di una moneta o di un dado Il sesso di un nascituro, così come il suo peso alla nascita o la sua altezza.. Il tempo di attesa ad uno sportello di un dato ufficio La durata di una lampadina o di un elettrodomestico Sono esempi di fenomeni la cui realizzazione non è certa a priori e vengono per questo detti eventi aleatori (dal latino alea, dado)

2 Spesso è necessario prendere decisioni in condizioni di incertezza. Pensiamo, ad esempio, ad un medico che deve decidere, a partire da certi sintomi, se il paziente è affetto da una malattia A, piuttosto che B o C, oppure ad un giudice che deve decidere se un certo fattore inquinante (amianto, diossina, ) può ritenersi o meno responsabile di una certa malattia. E quindi fondamentale nei confronti di un fenomeno dall esito incerto, poter identificare quali sono gli eventi che si possono verificare ed inoltre riuscire ad esprimere il proprio grado di fiducia nel verificarsi di tali eventi.

3 SPAZIO DEGLI EVENTI Quali sono gli eventi possibili per un dato fenomeno aleatorio? Se il fenomeno aleatorio che stiamo esaminando è il lancio di una moneta, gli eventi possibili saranno due: testa T, o croce C. Se il fenomeno aleatorio cui siamo interessati è il genotipo di un certo locus genetico a due alleli A 1, A 2, gli eventi possibili sono tre: A 1 A 1, A 1 A 2, A 2 A 2. Se siamo interessati alla prossima estrazione del lotto, gli eventi possibili sono tutte le cinquine che si possono formare con i numeri naturali da 1 a 90 (quante sono?)

4 SPAZIO DEGLI EVENTI Indichiamo con Ω l insieme di tutti gli esiti possibili del fenomeno considerato, tale insieme è detto spazio degli eventi. Con riferimento agli esempi precedenti, si ha lancio della moneta Ω ={T, C} genotipi Ω ={A 1 A 1, A 1 A 2, A 2 A 2 } Si dice evento elementare ogni elemento dell insieme Ω Si dice evento composto un sottoinsieme (non singoletto) di Ω Ad esempio l evento Il genotipo presenta almeno un allele A 1 è un evento composto costituito dal sottoinsieme {A 1 A 1, A 1 A 2 }

5 SPAZIO DEGLI EVENTI Poichè Ω è costituito da tutti gli esiti possibili del fenomeno considerato, tale insieme è detto evento certo. In effetti è conseguenza dei fatti che Ω si verifichi certamente. In generale un evento è una proposizione non ambigua suscettibile di assumere i due valori V vero, F falso. Diremo evento impossibile, e lo indicheremo Ø un evento che non può verificarsi in nessun caso, un evento per il quale è conseguenza dei fatti che sia falso. Ad esempio nel lancio di un dado a sei facce l evento esce il punteggio 8 è un evento impossibile.

6 SPAZIO DEGLI EVENTI In generale, un evento si dirà aleatorio o possibile quando non si può stabilire a priori se è V o F. Si dice che un evento A implica un evento B (A B) se il fatto che A sia vero implica necessariamente il verificarsi di B. Ad esempio, nel lancio di un dado, l evento esce il punteggio 3 implica l evento esce un punteggio dispari

7 SPAZIO DEGLI EVENTI La negazione A di un evento A (Ω\A) è un evento che è vero quando A è falso e viceversa. Ad esempio,nel lancio di un dado, l evento esce un punteggio pari ha come negazione l evento esce un punteggio dispari

8 SPAZIO DEGLI EVENTI Si dirà evento intersezione degli eventi A e B, e si indicherà con A B, l evento che è vero se sono veri entrambi gli eventi A e B, mentre risulta falso se almeno uno dei due è falso. Ad esempio, nel lancio del dado, l evento esce un punteggio dispari maggiore di 2, {3,5}, è l evento intersezione dei due eventi esce un punteggio dispari, {1,3,5}, esce un punteggio maggiore di 2, {3,4,5,6}.

9 SPAZIO DEGLI EVENTI Si dirà evento unione degli eventi A e B, e si indicherà con A B, l evento che è vero se uno almeno degli eventi A, B è vero, mentre risulta falso se entrambi sono falsi. Ad esempio, nel lancio del dado, l evento esce un punteggio dispari o maggiore di 2, {1,3,4,5,6}, è l evento unione dei due eventi esce un punteggio dispari, {1,3,5}, esce un punteggio maggiore di 2, {3,4,5,6}.

10 SPAZIO DEGLI EVENTI Si dirà che due eventi A, B sono incompatibili se il verificarsi di uno esclude il verificarsi dell altro (A B=Ø) Ad esempio, nel lancio del dado, l evento esce un punteggio dispari è incompatibile con l evento esce un punteggio pari

11 SPAZIO DEGLI EVENTI Si dirà che due eventi A, B sono esaustivi se è necessario che almeno uno si verifichi (A B=Ω) Ad esempio, nel lancio del dado, l evento esce un punteggio dispari e l evento esce un punteggio maggiore di 1 sono esaustivi

12 SPAZIO DEGLI EVENTI Se n eventi A 1, A 2,., A n, sono esaustivi (A 1 A 2. A n = Ω ) e a due a due incompatibili (A i A j =Ø per ogni coppia di indici i, j con i,j=1,2, n e i j) diremo che essi formano una partizione dello spazio degli eventi. Ad esempio, nel lancio del dado, l evento esce un punteggio dispari e l evento esce un punteggio pari costituiscono una partizione dello spazio degli eventi

13 La probabilità è una misura delle aspettative nel verificarsi di un evento. Il valore della probabilità è la misura (un numero) che esprime l opinione del soggetto (decisore) in merito al verificarsi di un ben determinato evento A, ovvero esprime il suo grado di fiducia nel verificarsi dell evento. La probabilità di un evento non è un numero oggettivo e tipico dell evento, ma, piuttosto, è una misura della certezza individuale nel verificarsi dell evento, che dipende dalle informazioni che si hanno a disposizione al momento di effettuare la valutazione

14 REGOLE DI COERENZA (B. de Finetti) Tali regole essenzialmente consistono nel fatto che uno stesso individuo, in una ben precisa situazione, dovendo scommettere su diversi eventi A 1, A 2,., A n, può dare alla probabilità di ciascun evento qualunque valore tra 0 e 1 conformemente al proprio giudizio, facendo però attenzione a non dare ad un competitore la possibilità di guadagnare sicuramente, mediante un opportuna combinazione di scommesse sugli eventi considerati

15 La probabilità dell evento A è quel valore p che l individuo che procede alla valutazione è disposto a pagare per ricevere una vincita unitaria (corrispondente a un milione, un dollaro, un euro, ) nel caso si verifichi l evento. Per esempio, p=1/5, vuol dire che si è disposti a pagare 20 cents, per ricevere 1 euro se l evento si verifica.

16 REGOLE DI COERENZA: 1- Se A è un evento certo P(A) = 1, se A è impossibile P(A) = 0, quindi P(Ω) = 1, P(Ø) = 0 (Nessuno pagherebbe alcuna posta per un evento impossibile, d altra parte nessun banco accetterebbe una posta inferiore a 1 da parte di uno scommettitore su un evento certo) 2- Se A, B sono incompatibili P(A B) = P(A) + P(B) (Se si è disposti a pagare x per ricevere 1 se si verifica A e si è disposti a pagare y per ricevere 1 se si verifica B, saremo disposti a pagare x+y per ricevere 1 se si verifica A oppure si verifica B)

17 La valutazione di una probabilità si riconduce talvolta a semplici giudizi qualitativi di equiprobabilità (regola di valutazione classica) Se, infatti n eventi incompatibili ed esaustivi sono giudicati da un individuo ugualmente probabili, la valutazione di probabilità di ciascun evento non potrà che essere p= 1/n (perché?.), e un evento che sia unione di k degli n eventi equiprobabili non potrà che avere probabilità k/n (perché?.)

18 ESEMPIO: Se lanciamo una moneta e non abbiamo motivo di dubitare che la moneta sia truccata, potremo ragionevolmente ritenere ugualmente probabili i due possibili esiti del lancio, quindi attribuiremo a T e C probabilità P(T) = P(C)= 1/2. ESEMPIO: Se lanciamo un dado a sei facce e non abbiamo motivo di dubitare che il dado sia truccato, essendo lo spazio degli eventi Ω ={1,2,3,4,5,6} attribuiremo a ciascun risultato probabilità 1/6, quindi attribuiremo all evento esce un punteggio superiore a 4 la probabilità 2/6 = 1/3

19 ESEMPIO: Lanciando due dadi indistinguibili si osserva ad un primo lancio due punteggi uguali 1, 1; ad un secondo lancio si osservano i punteggi diversi 2, 3. E ragionevole ritenere i due risultati equiprobabili? NO perché i due punteggi uguali possono essere ottenuti in un solo modo, mentre punteggi diversi possono essere ottenuti in due modi. Nel nostro caso 2 su un dado e 3 sull altro e viceversa.

20 Lo spazio degli eventi più idoneo a rappresentare l esperimento del lancio di due dadi è Ω x Ω, vale a dire l insieme di tutte le coppie ordinate Ωx Ω ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1), (2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} Se i dadi non sono truccati è ragionevole ritenere gli eventi semplici equiprobabili, quindi la probabilità di ottenere punteggio 1 su entrambi i dadi è valutata 1/36, mentre la probabilità di ottenere su un dado 2 e sull altro 3, corrispondente alle coppie (2,3), (3,2), vale 2/36

21 Lanciamo due dadi, facciamo la somma dei punteggi ottenuti. Su quale numero mi conviene scommettere? Abbiamo visto che lo spazio degli eventi più idoneo a rappresentare l esperimento del lancio di due dadi è ΩxΩ, vale a dire l insieme di tutte le coppie ordinate. Si osserva che la somma dei punteggi può variare da un punteggio minimo 2 ad un punteggio massimo 12.

22 Rappresentando nel piano cartesiano le coppie possibili si osserva che il punteggio 7 è il più probabile in quanto proviene da 6 coppie (1,6), (2,5) (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), dunque la probabilità di ottenere 7 è 6/36 = 1/6 (tutti gli altri punteggi hanno un numero inferiore di coppie da cui provengono, perché?) Generalizzando. Lanci due dadi ad n facce, su quale punteggio ti conviene scommettere?

23 Vogliamo valutare la probabilità che un nascituro sia di sesso maschile (evento M). Ragionando in termini di equiprobabilità, possiamo immaginare che ci sia simmetria tra i due casi possibili (trascuriamo il caso degli ermafroditi), perché a priori non c è motivo di ritenere il contrario, e valutare quindi P(M) =1/2

24 Vogliamo valutare la probabilità che un nascituro sia di sesso maschile (evento M). Basandoci su un modello genetico: da una coppia di genitori XX-XY sono possibili le seguenti combinazioni per i cromosomi del nascituro: XX, XY,XX,XY. Seguendo la legge di disgiunzione di Mendel: le possibili trasmissioni di alleli da genitori a figli sono tutte equiprobabili, la probabilità di ciascuna è quindi 1/4, dunque P(M) = 2/4 = 1/2

25 Vogliamo valutare la probabilità che un nascituro sia di sesso maschile (evento M). Basandoci su di una valutazione statistica o frequentista: assumiamo come valutazione di P(M) la frequenza relativa delle nascite maschili osservate in un certo periodo, otteniamo P(M) = 0.515

26 Ripetiamo un esperimento un numero n di volte, che cosa si intende per frequenza assoluta di un evento? Il numero di volte che l evento si verifica nelle n ripetizioni dell esperimento (numero dei successi ) Che cosa si intende per frequenza relativa dell evento? Il rapporto tra la frequenza assoluta e il numero n delle ripetizioni dell esperimento ESEMPIO: si è lanciato 1000 volte una moneta ottenendo 479 volte T. La frequenza assoluta di T è 479, la frequenza relativa è 479/1000 = 0.479

27 In generale, secondo una valutazione statistica, indicando con f n la frequenza relativa del numero di volte che si è osservato il verificarsi dell evento A su n (n grande) osservazioni del fenomeno compiute in un certo periodo, pensando che il fenomeno si ripeta analogamente anche nel futuro, si valuta la probabilità p(a) = f n Con diverse impostazioni o, meglio, utilizzando modelli e informazioni diverse, si può arrivare, dunque, a valutazioni diverse.

28 Diversa è la situazione, tipica della statistica, in cui vogliamo usare frequenze relative, misurate su un campione, per valutare un altra probabilità: in base a ipotesi teoriche abbiamo dedotto una certa distribuzione di probabilità sugli eventi possibili e vogliamo utilizzare le frequenze relative per verificare se questa distribuzione è giusta.

29 Ad esempio, in un incrocio tra monoibridi, abbiamo ipotizzato la validità della legge di disgiunzione di Mendel e vogliamo verificare attraverso le frequenze (assolute o relative) dei due fenotipi se esse sono in accordo a quelle predette dalla legge. Fenotipo A: osservati 740 Fenotipo a : osservati 260 Rapporti attesi: 3/4, 1/4 Vale la legge di Mendel?

30 Altra situazione tipica della statistica: vogliamo usare frequenze relative, misurate su un campione, per valutare un altra probabilità quella dell intera popolazione. Non possiamo studiare un certo fenomeno sull intera popolazione, ma solo su un sottoinsieme di essa, vale a dire su di un campione (possibilmente ampio) della popolazione.

31 Naturalmente il campione deve presentare le stesse caratteristiche dell intera popolazione, campione significativo. Deve essere possibile ripetere l esperimento nelle stesse condizioni un numero elevato di volte. Ciascun esperimento deve essere indipendente dagli altri. Esempio: in un sondaggio pre-elettorale, dove si deve decidere tra due candidati A, B, furono intervistate 1000 persone rappresentative della popolazione elettorale e di queste 572 si dichiararono a favore di A. Cosa possiamo dire della percentuale effettiva p dei votanti per A?