Meccanica dei fluidi. Ø definizioni; Ø statica dei fluidi (principio di Archimede); Ø dinamica dei fluidi (teorema di Bernoulli).

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1 Meccanica dei fluidi Ø definizioni; Ø statica dei fluidi (principio di Archimede); Ø dinamica dei fluidi (teorema di Bernoulli). [importanti applicazioni in biologia / farmacia : ex. circolazione del sangue] Paolo Bagnaia - CTF - - Meccanica dei Fluidi 1

2 Definizioni fluido = sostanza che può scorrere, ed assumere la forma (=liquido) o le dimensioni (=gas) del contenitore; massa volumica : ρ = dm / dv (= massa / volume, in Kg/m 3, g/cm 3 ) [*]; pressione : p = df / da (=forza/ area, in N/m = pascal, dine/cm ) [**]; viscosità : f = η A v / s (forza di taglio tra superfici, vedi oltre). [*] in alcuni testi vecchi, massa volumica densità (bello, ma meno chiaro); [**] p non è un vettore, la pressione è isotropa (= la stessa in tutte le direzioni), vedi principio di Pascal. Paolo Bagnaia - CTF - - Meccanica dei Fluidi

3 Viscosità f v=0 A s Δv f f = η A Δv / s A = area di due lamine di liquido, poste a distanza s; Δv = velocità relativa delle lamine; η = coefficiente di viscosità del liquido (funzione anche di temperatura, pressione); f = forza di viscosità (due forze uguali ed opposte sulle due lamine). Paolo Bagnaia - CTF - - Meccanica dei Fluidi 3

4 Principio di Pascal Un cambiamento di pressione in un fluido è trasmesso inalterato a tutte le porzioni del fluido ed alle pareti ( la pressione è isotropa). f p Paolo Bagnaia - CTF - - Meccanica dei Fluidi 4

5 Statica dei fluidi 0 p atm = p o 1 [il liquido è a riposo] Ø F = F 1 + mg = F 1 + ρvg; Ø p = F / A = F 1 / A + ρvg / A = = p 1 + ρg (y - y 1 ); Ø y 1 0; y - y 1 = h; p 1 = p o = p atm ; Ø p = p o + ρgh. y la pressione aumenta linearmente con la profondità. Paolo Bagnaia - CTF - - Meccanica dei Fluidi 5

6 vasi comunicanti p o p o p o p o p o stessa altezza p 1 p p 1 =p il liquido è in quiete p 1 = p ; h 1 = h il liquido è alla stessa altezza in tutti i vasi; [NB : è necessario che tutta la superficie del liquido sia a pressione p o ] Paolo Bagnaia - CTF - - Meccanica dei Fluidi 6

7 Il barometro p atm + ρgh 1 = p =0 + ρg(h 1 +h ); p atm = ρ g h ; p=0 vuoto h l altezza della colonna di liquido (mercurio) non dipende né dalla forma dei tubi, né dall altezza h 1, ma solo dalla massa vol. ρ e dalla pressione atmosferica p atm. Si può misurare p atm in mm-hg ( = h se Hg). p at m ρ h 1 Paolo Bagnaia - CTF - - Meccanica dei Fluidi 7

8 La pressa idraulica f 1 S 1 S f p 1 = f 1 / S 1 = p = f / S ; f = f 1 S / S 1 >> f 1 ; p 1 p È un moltiplicatore di forza (una leva idraulica ) incompressibilità V 1 = S 1 d 1 = V = S d ; lavoro, per spostamenti d 1 e d : fs 1 ds 1 1 L = f d = = f d = L S1 S [le forze sono conservative l energia meccanica si conserva il lavoro speso sul pistone 1 viene integralmente restituito sul pistone ] Paolo Bagnaia - CTF - - Meccanica dei Fluidi 8

9 Principio di Archimede cubetto, di lato d, parallelo alla verticale; F 1 F h d p 1 p 6 forze, dovute alla pressione, sulle faccie; 4 forze (due coppie sui lati) si annullano; restano F 1 = p 1 d e F = p d ; F TOT = F 1 - F = (p 1 - p ) d ; p 1 p = ρ liquido g [(h+d) h] = ρ liquido g d. F TOT = (p 1 - p ) d = ρ liquido g d d = V corpo ρ liquido g = m liquido g; la forza di Archimede è pari alla forza peso del liquido spostato, ed è diretta verso l alto la forza totale sul corpo è F Arch + F peso = (m liquido - m corpo ) g = (ρ liquido - ρ corpo ) V g [ navi, etc.] Paolo Bagnaia - CTF - - Meccanica dei Fluidi 9

10 fluido ideale in fluidodinamica si definisce il fluido ideale : Ø incompressibile (i.e. ρ è costante, indipendente da p, v, T, h,...); Ø viscosità nulla (η = 0, lavoro di scorrimento nullo); Ø moto non rotazionale (cfr. i vortici nei fiumi); Ø moto laminare (= le traiettorie delle molecole del fluido sono linee che non si chiudono e non variano nel tempo). Concetto di tubo di flusso : Paolo Bagnaia - CTF - - Meccanica dei Fluidi 10

11 dinamica dei fluidi (1) spiegazione dei termini : S,v, S 1, v 1,h 1,p 1 v tubo di flusso h,p δ S v h 1, = quota ( energia potenziale); p 1, = pressione; v 1, = velocità; S 1, δ 1, = V = m / ρ. Paolo Bagnaia - CTF - - Meccanica dei Fluidi 11

12 dinamica dei fluidi () S 1 v tubo di flusso S nel tempo Δt, dati due volumi uguali, di area S 1 e S : attraverso S 1 : m 1 = ρ V 1 = ρ d 1 S 1 = ρ v 1 Δt S 1 ; attraverso S : m = ρ V = ρ d S = ρ v Δt S ; NB : ρ 1 = ρ m 1 = m v 1 S 1 = v S ; portata Q = dv / dt [= v 1 S 1 = v S ] = costante. NB : v 1 / S (!!!), cfr. le automobili in autostrada! quale è la differenza? ρ 1 = ρ ρ V 1 = V V Soluzione : per le automobili, ρ costante Paolo Bagnaia - CTF - - Meccanica dei Fluidi 1

13 legge di Bernoulli (1) S 1, v 1,h 1,p 1 v tubo di flusso S,v, h,p esprime la conservazione dell energia nel moto dei fluidi; calcoliamo variazione di energia cinetica, lavoro della gravità, lavoro delle forze di pressione tra i punti e 1, per una piccola massa m, che occupa un volume V (m = ρ V) : Ø ΔK = K - K 1 = ½ m v - ½ m v 1 = ½ ρ V (v - v 1 ); Ø ΔL G = L 1,G = - mg (h - h 1 ) = - ρ V g (h - h 1 ); Ø ΔL P = L,P - L 1,P = - (p S δ - p 1 S 1 δ 1 ) = - (p - p 1 ) V; Paolo Bagnaia - CTF - - Meccanica dei Fluidi 13

14 legge di Bernoulli () S,v, S 1, v 1,h 1,p 1 v tubo di flusso h,p teorema dell energia cinetica : ΔK = ΔL G + ΔL P ½ ρ V (v - v 1 ) = - ρ V g (h - h 1 ) - (p - p 1 ) V; [ dividere / V ] ½ ρ (v - v 1 ) = - ρ g (h - h 1 ) - (p - p 1 ); [riarrangiare i termini] ½ ρ v + ρ g h + p = ½ ρ v 1 + ρ g h 1 + p 1 ; [i due punti sono generici] ½ ρ v + ρ g h + p = costante; NB : in tutti i costante la somma dei tre termini è la stessa, se calcolata punti del tubo di flusso; inoltre, non varia nel tempo. Paolo Bagnaia - CTF - - Meccanica dei Fluidi 14

15 Fine parte Paolo Bagnaia - CTF - - Meccanica dei Fluidi 15

Meccanica dei fluidi. ! definizioni; ! statica dei fluidi (principio di Archimede); ! dinamica dei fluidi (teorema di Bernoulli).

Meccanica dei fluidi. ! definizioni; ! statica dei fluidi (principio di Archimede); ! dinamica dei fluidi (teorema di Bernoulli). Meccanica dei fluidi! definizioni;! statica dei fluidi (principio di Archimede);! dinamica dei fluidi (teorema di Bernoulli). [importanti applicazioni in biologia / farmacia : ex. circolazione del sangue]

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