Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1

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1 Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1 28-Intervalli di confidenza vers. 1.1 (21 novembre 2014) Germano Rossi 1 germano.rossi@unimib.it 1 Dipartimento di Psicologia, Università di Milano-Bicocca G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 16

2 Saltare Saltare il paragrafo 28.3 e il Calcolo 28.5 relativi alla Regressione (che non è in programma) G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 16

3 Stima puntuale e intervallare Stima puntuale Viene calcolato un unico valore che è considerato la stima del parametro della popolazione (H 0 ) Su questo unico valore si calcola una statistica la cui probabilità costituisce il rischio nel prendere la decisione di rifiutare l ipotesi nulla Stima intervallare Vengono calcolate 2 stime diverse che costituiscono il limite inferiore e quello superiore di un intervallo entro questo intervallo di probabilità, cadrà il parametro della popolazione e utilizzeremo questo intervallo per prendere una decisione G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 16

4 Stima puntuale e intervallare la stima puntuale si occupa di un solo valore (la stima della popolazione) l intervallo di confidenza (o di fiducia) fornisce un insieme di valori che includono il valore della popolazione (data una certa probabilità) se usiamo la media come esempio, riflette l insieme di valori verosimili che includerebbero la vera media della popolazione (se fosse nota) Anziché riportare che la stima della media della popolazione è 5.3, diciamo che la media della popolazione è probabilmente compresa nell intervallo fra 4.0 e 6.6 L ampiezza dell intervallo dipenderà dalla variabilità delle osservazioni a maggiore variabilità nei dati corrisponderà una maggiore ampiezza dell intervallo G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 16

5 Stima puntuale e intervallare usualmente si utilizza il 95% (complemento a 1 di α = 5%) ma si può usare anche il 99% (corrispondente ad α = 1%) l intervallo di confidenza al 95% è l insieme dei valori che al 95% includono la vera media della popolazione l errore standard è la deviazione standard delle distribuzioni campionarie delle statistiche di interesse è fondamentale per ottenere gli intervalli di confidenza In pratica, la stima puntuale ci dice se una certa media di un campione può venire da una certa popolazione oppure no la stima intervallare ci dice da quali popolazioni può venire quella media del campione G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 16

6 Stima puntuale e intervallare La teoria legata alla distribuzione normale (Capitolo 11) ci dice che, per grandi campioni, il 95% circa delle medie campionarie giace fra ±2 s cioè fra z = 1.96 e z = con piccoli campioni z non funziona perfettamente e si utilizza la distribuzione t (identica alla distribuzione z per grandi campioni) il valore di t corrispondente al livello di confidenza prescelto può essere ottenuto dalla Tabella 28.1 (p. 273) per determinati gradi di libertà I limiti di fiducia sono semplicemente gli estremi dell intervallo di confidenza G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 16

7 Test di significatività e intervalli di confidenza La maggior parte delle volte, nell ipotesi nulla ipotizziamo qualcosa pari a 0 la correlazione è nulla (ρ = 0) la differenza delle medie è nulla (µ 1 µ 2 = 0, µ 1 = µ 2 ) la media delle differenze è nulla (µ x1 x 2 ) Perciò di solito se l intervallo di confidenza non contiene il valore zero, la media campionaria è statisticamente significativa Tuttavia gli intervalli di confidenza contengono abbastanza informazione per valutare la significatività statistica Invece la verifica di ipotesi di per sé non contiene abbastanza informazione per calcolare gli intervalli di confidenza G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 16

8 Verifica d ipotesi con un campione Ho un campione (N=20) con X=195 e s = 15 in una variabile. Conosco la media della popolazione (µ = 200) Ipotizzo che il campione sia stato estratto casualmente da quella popolazione (H 0 : µ c = µ = 200 e H 1 : µ c µ) Uso t = X µ s = N 15/ 20 = 1.49 ipotizzando α =.05, per 19 gl, v c = ±2.09 se fosse vera l ipotesi nulla, un campione estratto da quella popolazione avrebbe il 95% di probabilità di avere una media che sta a 2.09 errori standard sotto o sopra la media accettiamo H 0 perché 1.49 < 2.09 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 16

9 Stima intervallare Il test puntuale ci permette di accettare o rifiutare l ipotesi nulla Ma l ipotesi nulla è un singolo, specifico valore Ho un campione (N=20) con X = 195 e s = 15 in una variabile. Se ipotizzassi H 0 : µ c = µ = 200 e H 1 : µ c < µ troverei un valore t non significativo Quindi il campione con X=195 è stato estratto da una popolazione con µ = 200 ma potrebbe essere stato estratto da popolazioni con µ = 195 oppure µ = 196 oppure µ = ma anche con µ = Se fossero possibili più ipotesi nulle, dovremmo calcolare più statistiche t L alternativa è usare la stima intervallare G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 16

10 Stima intervallare Usiamo la formula inversa del punto z, ma usando il valore critico di t per determinati gradi di libertà (X t c s X ) µ X (X + t c s X ) dove X è la media del campione usata come stima della media della popolazione; t c è il valore critico di t per 95% o per 99%; s X è l errore standard Se N=20 (gdl=19), i valori critici di t sarebbero t=2.09 per il 95% e t=2.86 per il 99% G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 16

11 Stima intervallare: campione unico Lavoriamo con la stima della media della popolazione (stimata dalla media del campione) calcoliamo l errore standard s/ N = 15/ 20 Sostituiamo i valori (ipotizzando 95%) (X t c s X ) µ X (X + v c s X ) ( µ ( ) l intervallo di fiducia al 95% è compreso fra e al 95% il nostro campione può essere stato estratto casualmente da popolazioni la cui media oscilla fra e G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 16

12 Stima intervallare: differenza medie Anche per la differenza delle medie, possiamo calcolare un intervallo di confidenza, sempre usando il valore critico di t al 5% o all 1% per avere intervalli di fiducia pari al 95% o al 99% [(X 1 X 2 ) t c s X1 X 2 ] µ 1 µ 2 [(X 1 X 2 ) + t c s X1 X 2 ] Applicandolo all esempio dei Testimoni di Geova: (X 1 X 2 ) = 1.33 t 95% = 2.09 s X1 X 2 = e ovvero l intervallo di fiducia oscilla fra e 4.67 Poiché l intervallo include anche il valore 0 (H 0 : µ 1 µ 2 = 0) corrispondente alla nostra ipotesi nulla, dobbiamo accettarla come vera. G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 16

13 Stima intervallare: media differenze Per la media delle differenze, la formula diventa D t c s D < µ D < D + t c s D Se la media delle differenze è 3,3571 la dev. st. delle diff. è 6, la numerosità è N=14 l errore standard sarà s/ N = 6, / 14 = < µ D < quindi compreso fra e lo 0 è compreso, quindi non significativo G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 16

14 Stima intervallare: correlazione Per la correlazione è un pochino più complesso r dev essere normalizzata con z r = 1 2 log 1 + r e 1 r oppure tramite la Tabella 26.5 z r è il coefficiente di correlazione normalizzato di Fisher r =.881 diventa r z = G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 16

15 Stima intervallare: correlazione ci serve anche la deviazione standard di z r, che è 1 N 3 l intervallo di confidenza della correlazione (al 95%) sarà z r ± 1.96s zr dove 1.96 è il punto z corrispondente ad un area del 5% bidirezionale Supponiamo di aver calcolato una correlazione di.45 in un campione di N=30 il suo errore standard sarà 1/ 30 3 = dalla tabella ricaviamo z r =.485 è l intervallo z r ± 1.96s zr =.485 ± G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 16

16 Stima intervallare: correlazione con z r ± 1.96s zr =.485 ± l intervallo sarà compreso fra e ma questi sono i valori espressi in punti z con la Tabella 26.5 torniamo indietro e troviamo.11 e.69 L intervallo non comprende lo 0, quindi la correlazione di.45 è significativa G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 16