Studia le cause del movimento dei corpi (cioè perchè essi si muovono)
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- Leo Masi
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1 Studia il movimento dei corpi (cioè come essi si muovono) Studia le cause del movimento dei corpi (cioè perchè essi si muovono) Si occupa delle condizioni di equilibrio dei corpi (è un caso particolare della Dinamica)
2 LA CINEMATICA
3 I tre concetti fondamentali della cinematica E l insieme di tutti gli oggetti rispetto ai quali il movimento avviene con le stesse caratteristiche E la linea che unisce tutte le posizioni attraverso le quali è passato un oggetto (un punto materiale) in movimento E un oggetto così piccolo rispetto alle dimensioni della traiettoria da esso percorsa che può essere considerato un punto geometrico (però dotato di massa). Talvolta ci riferiremo ad esso utilizzando altri termini quali corpo o particella.
4 Diagrammi cartesiani in tre, due e una dimensione P(x) x P(x,y)
5 Cinematica in una dimensione traiettoria x(to) x(t1) x(t3) x(t2) x(t4).. x
6 Il Vettore Spostamento Consideriamo un oggetto in moto tra due istanti di tempo t 1 e t 2, nei quali assume rispettivamente le posizioni x 1 e x 2 : Δx = x 2 x 1 Spostamento Se x 1 = 10.0 m x 2 = 30.0 m : Δx = x 2 x 1 = 30.0m 10.0m = 20.0m Lo spostamento è positivo Consideriamo una persona in movimento verso sinistra: Se x 1 = 30.0 m x 2 = 10.0 m : Δx = x 2 x 1 = 10.0m 30.0m = 20.0m Lo spostamento è negativo Lo spostamento può essere anche negativo perché è una grandezza vettoriale e come tale, a differenza delle grandezze scalari definite solo da un valore numerico, è caratterizzato da 3 elementi: direzione, verso e modulo (o valore assoluto).
7 Il Diagramma Orario x = f (t) Il Diagramma orario permette di rappresentare la posizione di un oggetto o di un punto materiale in moto unidimensionale al passare del tempo sotto forma di una curva (da non confondere con la traiettoria dell oggetto nello spazio reale) descritta dalla funzione x(t), ossia x = f (t). x(t) x4 x2 x3 x1 x0=x(t0) t0 t1 t2 t3 t4 t oggetto fermo
8 Diagramma orario della posizione di un armadillo al passare del tempo Qual è la velocità dell armadillo?
9 La Velocità Media e il Moto Uniforme La velocità di un oggetto si definisce come la distanza percorsa dall oggetto durante il suo cammino divisa per il tempo impiegato a percorrere tale distanza Velocità scalare media dis tan za percorsa v= tempo trascorso unità di misura: metri al secondo (m/s) Δx x 2 x1 v= = Δt t 2 t1 Equazione del moto uniforme (cioè a velocità costante v = v ) x(t) = xo + vt
10 Moto a Velocità Variabile In generale, se la velocità non è costante, la velocità scalare media è uguale alla pendenza (coefficiente angolare) della retta che unisce i due punti tra i quali si verifica il moto (ovvero quelli corrispondenti all istante iniziale e finale del moto). Nel caso dell armadillo avremo: v= Δx 6m = =2m/s Δt 3s
11 Diagramma della Velocità: v = f (t) velocità variabile velocità costante Anche la velocità, come lo spostamento, è una grandezza vettoriale. Nel caso unidimensionale il suo modulo coincide con la velocità scalare. Una velocità negativa indica semplicemente un verso di percorrenza nel senso delle x decrescenti. v1 v2 v3
12 La velocità istantanea Grazie al nuovo metodo introdotto da Cartesio, già nel XVII secolo si era in grado di calcolare la velocità media di un corpo. Ma nè Galileo, nè Cartesio, nè i loro contemporanei, erano in grado di calcolare la velocità istantanea di un corpo nè tantomeno di descrivere il moto di un corpo che procede a velocità variabile, accelerando o decelerando. Δx 0 Δt 0 La soluzione al problema fu trovata un secolo più tardi da Isaac Newton, il vero gigante della Scienza Classica, e da Gottfried Leibniz, i quali nel XVIII secolo inventarono un nuovo metodo matematico noto come calcolo infinitesimale. Con questo metodo la velocità istantanea resta definita attraverso un passaggio al limite come la velocità media durante un intervallo di tempo infinitamente piccolo (cioè, al limite, per Δt tendente a zero): Δx v= Δt Δx v(t) = lim Δt 0 Δt
13 Funzioni (algebriche) dominio codominio y = f (x) Una funzione è una relazione che ad ogni elemento del dominio X associa uno ed un solo elemento del codominio Y 4 Esempi di funzioni: y = mx Retta passante per l origine y = 2x x A = 2, y A = f (2) = 4 m=coefficiente angolare y = mx + q Retta non passante per l origine y = x 2 Parabola con l asse verticale parallelo all asse y e passante per l origine
14 Calcolo infinitesimale: la derivata prima Il procedimento utilizzato da Newton per ricavare la velocità istantanea equivale a quello che matematicamente viene definito calcolo della derivata prima di una funzione in un punto. Dal punto di vista matematico, il problema è quello di trovare il coefficiente angolare m P della retta t tangente al grafico γ di una funzione continua di equazione y=f(x) nel punto P di coordinate (x 0,f(x 0 )), laddove in generale per calcolare m sarebbero necessari 2 punti. y f (x 0 +h) γ Q Si considera un altro punto Q della curva preso incrementando l ascissa x 0 di P di una quantità arbitraria h (che indicheremo anche con Δx: h e Δx sono diversi da zero) quindi Q(x 0 +h, f(x 0 +h)) tangente f (x 0 ) O P α x 0 x 0 +h h x t Il coefficiente angolare della retta secante PQ è espresso dalla formula: m PQ = y Q y P da cui, sostituendo le x Q x P coordinate di P e di Q: m PQ = f (x + h) f (x ) 0 0 = f (x + h) f (x ) 0 0 x 0 + h x 0 h Questa espressione è detta rapporto incrementale in quanto il denominatore h indica l incremento attribuito alla variabile indipendente x quando si passa da x 0 a x 0 +h e il numeratore indica il corrispondente incremento subìto dalla variabile dipendente y (che di solito si indica con Δf o Δy). Il rapporto incrementale è indicato con Δf/Δx oppure Δy/Δx.
15 Calcolo infinitesimale: la derivata prima tangente γ A questo punto per trovare il coefficiente angolare della retta tangente t nel punto P supponiamo che il punto Q si avvicini indefinitamente a P lungo il grafico. In questo modo le due intersezioni fra la retta secante PQ e il grafico vengono a coincidere nel punto P, dunque la secante tende ad assumere la posizione limite di tangente. Analiticamente questa condizione si verifica se h tende a zero. In questo caso il coefficiente angolare m P della tangente in P diventa uguale al limite per h che tende a zero del rapporto incrementale: m P = lim h 0 f (x 0 + h) f (x 0 ) h Il numero m P così trovato è proprio la derivata prima della funzione y=f(x) per x=x 0! Riepilogando, la derivata prima della funzione y=f(x) per x=x 0 resta definita come il limite, se esiste, del rapporto incrementale al tendere a zero dell incremento della variabile indipendente: f (x f '(x 0 ) = lim 0 + h) f (x 0 ) h 0 h Dal punto di vista geometrico, essa rappresenta quindi il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione y=f(x) nel punto di ascissa x 0.
16 La funzione derivata prima e le regole di derivazione di funzioni polinomiali f '(x 0 ) = lim h 0 f (x 0 + h) f (x 0 ) h f '(x 0 ), y' x0, dy, D[ f (x)] dx x =x0 x =x0 Nella pratica, per evitare di dover calcolare ogni volta il limite del rapporto incrementale, si utilizzano delle regole di derivazione delle funzioni fondamentali, che sono regole studiate per ricavare la funzione derivata prima y =f (x) [dalla quale si ottiene poi la derivata in un punto x 0 semplicemente sostituendo il valore x 0 alla x nell espressione della y =f (x)] di funzioni semplici e utilizzate poi al fine di facilitare la derivazione di funzioni di maggiore complessità. Vediamo per il momento le regole di derivazione delle funzioni algebriche polinomiali:, a = cost., D(ax) = a Esempi: y = 2x 1 y' = 2 y = 3x 2 2x + 5 y' = 6x 2 y = 2 3 x 3 + 6x 2 2x +1 y' = 2x 2 +12x 2
17 Calcolo della derivata prima in un punto Come già detto, per calcolare poi la derivata in un punto, basta sostituire al posto della variabile indipendente il valore desiderato ed eseguire i conti. Ad esempio: y = 3x 2 2x + 5 y' = 6x 2 y' x0 =3 = 6(3) 2 = 18 2 = 16...che non è altro che il valore del coefficiente angolare della retta tangente alla funzione y=3x 2 2x+5 (che rappresenta una parabola) nel punto di ascissa x 0 =3. y parabola y = 3x 2 2x + 5 P(3,26) retta tangente in P y y 0 = m(x x 0 ) y 26 = 16(x 3) y = 16x 22 m = 16 x
18 La velocità istantanea è la derivata dello spostamento A questo punto è semplice rendersi conto che la velocità istantanea definita in precedenza non è nient altro che la derivata prima dello spazio rispetto al tempo: v(t) = lim Δt 0 Δx Δt = dx dt Esempio: La posizione x(t) (curva oraria) di una particella che si muove sull asse x è data dall espressione: x(t) = t 2.1t 3 dove x è espresso in metri e t in secondi. Qual è la velocità della particella al tempo t=3.5s? Sapendo che la velocità istantanea è la derivata prima rispetto al tempo della funzione posizione x(t), possiamo scrivere: v(t) =...che per t=3.5s diventa: dx dt = d dt ( t 2.1t 3 ) v(t) = (3)(2.1)t 2 v(3.5s) = 9.2 (6.3)(3.5) 2 = 68 m s dove il segno meno indica che la particella si muove nel senso delle x decrescenti.
19 Accelerazione media Quando la velocità di un corpo varia si dice che esso è sottoposto ad una accelerazione (o che sta accelerando). L accelerazione media si calcola come rapporto tra la variazione di velocità (v 2 v 1 ) e l intervallo di tempo (t 2 t 1 ) impiegato per farla variare: a = v 2 v 1 = Δv t 2 t 1 Δt unità di misura: metri al secondo quadrato (m/s 2 ) Esempio Un auto, partendo da ferma, accelera su una strada diritta fino a 75 km/h in 5.0 s. Qual è la sua accelerazione media? a = v 2 v 1 t 2 t 1 = 75km /h 0km /h 5.0s = 15 km /h s 1000m 1km 1h 3600s = 4.2m /s2
20 Accelerazione istantanea L accelerazione istantanea (o semplicemente accelerazione) è la rapidità di variazione della velocità in un certo istante ed è matematicamente rappresentata dalla derivata prima della velocità rispetto al tempo: a(t) = lim Δt 0 Δv Δt = Geometricamente rappresenta dunque la pendenza della curva v(t) in quel punto. dv dt Combinando questa equazione con quella che descrive la velocità istantanea per una particella avremo: a(t) = dv dt = d dt dx dt = d 2 x dt 2 che ci dice che l accelerazione della particella in un certo istante è la cosiddetta derivata seconda (ossia la derivata della derivata prima) della sua posizione rispetto al tempo.
21 Esempio. Consideriamo il moto della cabina di un ascensore che è inizialmente ferma, poi si muove verso l alto (considerato come verso positivo) e infine si arresta. Cerchiamo di tracciare la curva della velocità v(t) in funzione del tempo. IDEA CHIAVE 1: ricavare la velocità in qualsiasi istante dalla pendenza della curva x(t) in quell istante Punti a e d: pendenza e velocità sono entrambe nulle quando la cabina è ferma Intervallo bc: la pendenza è costante e non nulla, quindi la cabina si muove a velocità costante e la pendenza di x(t) è: v bc = Δx Δt = 24m 4.0m 8.0s 3.0s = +4.0m /s Intervalli ab e cd: la pendenza cambia ad ogni istante e così anche la velocità x(t) v(t) IDEA CHIAVE 2: ricavare l accelerazione in qualsiasi istante dalla pendenza della curva v(t) in quell istante Notiamo che quando v(t) è costante la pendenza di v(t) è nulla e quindi l accelerazione è zero; invece, quando la pendenza è costante e non nulla, anche l accelerazione è costante e non nulla e mantiene il segno della pendenza: a ab = Δv Δt = 4m /s 0m /s 3.0s 1.0s = +2.0m /s 2 a cd = Δv Δt = 0m /s 4m /s 9.0s 8.0s = 4.0m /s 2 a(t)
22 Due quesiti sull accelerazione Se l accelerazione di un corpo è zero, significa che anche la sua velocità è zero? Se la velocità di un corpo è zero, significa che anche la sua accelerazione è zero?
23 Accelerazione negativa Esempio Un automobile si sta muovendo verso destra (direzione asse x positivo) lungo un autostrada rettilinea. A un certo istante il conducente pigia sul freno. Se la velocità al momento in cui il guidatore inizia ad azionare i freni è v 1 =15.0 m/s, e ci mette 5.0 s a rallentare fino alla velocità v 2 =5.0 m/s, quale è stata l accelerazione media dell auto? a = v 2 v 1 t 2 t 1 = 5.0m /s 15.0m /s 5.0s = 2.0m /s 2 Come spostamento e velocità, anche l accelerazione è una grandezza vettoriale, il cui modulo concide con l accelerazione scalare. Anche in questo caso il segno algebrico rappresenta il verso lungo l asse x: un segno negativo indica quindi una accelerazione diretta nel verso negativo dell asse. E questo un esempio di decelerazione.
24 Esempio Decelerazione Decelerazione non significa necessariamente accelerazione negativa, come nell esempio precedente. Se infatti l auto di prima si muove stavolta verso sinistra lungo l asse x, rallentando essa avrà una accelerazione positiva: a = v 2 v 1 t 2 t 1 = 5.0m /s ( 15.0m /s) 5.0s = +2.0m /s 2 Parleremo quindi di decelerazione tutte e sole quelle volte in cui il modulo della velocità diminuisce nel tempo e quindi il vettore della velocità e quello dell accelerazione puntano in direzioni opposte.
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