Conducibilità elettrica nei metalli, teoria classica di Drude

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1 Conducibilità elettrica nei metalli, teoria classica di Drude Gli elettroni in un metallo sono particelle classiche, libere di muoversi Sotto un campo elettrico E, gli elettroni sono accelerati da una forza F = e E per un tempo medio τ, prima di essere diffusi da un qualche processo (ad esempio: urto con i nuclei o con altri elettroni) e perdere memoria della velocità precedente. Gli elettroni acquistano una velocità media di deriva v d = eτ m E, in aggiunta al moto termico disordinato. Formalmente possiamo scrivere l equazione del moto seguente: m v d (t + dt) = ( 1 dt ) ( m v d (t) + F τ dt) = m d v d dt = e E m v d τ (1) (si trascurano infinitesimi di ordine superiore). Nello stato stazionario, d v d dt = 0 da cui v d = eτ me. Per n = N/V elettroni per unità di volume, la densità di corrente (carica per unità di superficie) risultante è j = ne v d = ne2 τ m E.

2 Legge di Ohm Definiamo la conducibilità σ da j = σ E. Nel modello di Drude, σ = ne 2 τ/m. E una proprietà intrinseca del materiale e dipende da n e da τ, il quale a sua volta dipende dalla probabilità di diffusione. Definiamo anche la resistività ρ = 1/σ. Consideriamo un filo cilindrico conduttore di lunghezza d e sezione S. La corrente lungo il filo è I = Sj. La differenza di potenziale ai capi vale V = Ed. Da qui: V = RI, con R = d/(σs) = ρd/s. Tale relazione empirica è nota come Legge di Ohm ed è seguita da quasi tutti i materiali sotto campi elettrici non altissimi. La resistività tende ad un limite finito a basse temperature (a parte il caso particolare dei superconduttori!), che dipende dalla qualità del campione: presenza di difetti reticolari, di impurezze, etc.. Aumenta di solito linearmente con la temperatura. Un confronto con le misure di resistività ci dà dei valori tipici per la vita media τ nell ordine di s a temperatura ambiente per i metalli comuni. Si definisce cammino libero medio l = vτ la distanza media percorsa dall elettrone prima di essere diffuso (v è la velocità media, diversa da v d definita prima).

3 Conducibilità termica I metalli hanno un elevata capacità di condurre calore: la loro conducibilità termica è 1-2 ordini di grandezza maggiore che per un isolante. Il contributo degli elettroni liberi domina quindi sul contributo delle vibrazioni reticolari. Il flusso di energia termica Q è proporzionale al gradiente di temperatura: Q = K T, dove K è la conducibilità termica. Modello classico per il trasporto del calore (caso 1D): gli elettroni viaggiano liberamente per un tempo medio τ percorrendo in media l = v x τ. Chiamiamo c v il calore specifico per volume unitario del gas di elettroni. In un certo punto x, un flusso j x = 1 2 nv x di elettroni trasporta energia E + = c v (T + T ), dove T dt dx v xτ, dal lato caldo; come sopra per il lato freddo, con E = c v T c v dt dx v xτ. La differenza fra i due flussi di energia termica dà il flusso totale: Q = 1 2 nv x(e + E ) = nc v v 2 xτ dt dx. La generalizzazione a 3 dimensioni dà K = 1 3 nc vv 2 τ.

4 Legge di Wiedemann e Franz Vale la seguente legge empirica di Wiedemann e Franz, che lega i coefficienti di conducibilità termica K ed elettrica σ: K σt = L con L circa costante. Il risultato classico: L = 3k2 B = W Ω K 2 (notate che non dipende né 2e 2 da n né da τ) è in discreto accordo con i dati sperimentali: i valori misurati sono nell intervallo L = (2 3) 10 8 W Ω K 2. Il risultato per K tuttavia assume che c v = 3 2 k B, costante, e che sia valida l equipartizione dell energia: 1 2 mv2 = 3 2 k BT. Entrambe le assunzioni, valide per un gas classico, non lo sono per il gas di elettroni. Se però usiamo la velocità di Fermi v F come velocità degli elettroni e il risultato quantistico per il calore specifico: c v = π2 k B 2 T = π2 kb 2 T F 2 T ɛ F, ɛ F = v2 F 2m, troviamo per L un valore simile: L = π2 kb 2 3e 2 accordo con gli esperimenti. = W Ω K 2, in ottimo

5 Effetto Hall In presenza di un campo elettrico E e magnetico B ortogonali (nel seguito: E = îex, B = ˆkB z ), si osserva una differenza di potenziale (d.d.p) elettrico nella direzione ortogonale ad E e B, facilmente misurabile (effetto Hall). Il modello classico è molto semplice: scriviamo l equazione del moto, Eq.(??), come m d v dt = e ( E + v B ) m v τ In condizioni stazionarie, d v dt = 0, da cui v x = eτ m E x eτ m B zv y v y = eτ m E y + eτ m B zv x

6 Coefficiente di Hall Imponendo v y = 0 troviamo il valore del campo elettrico trasverso E y = B z v x e v x = eτ m E x, da cui E y = eτ m B ze x. Infine, j x = nev x = ne2 τ m E x. Si definisce il coefficiente di Hall R H = E y j x B z. Per il modello di Drude, R H = 1 ne. Il coefficiente di Hall dipende solo dalla densità dei portatori di carica e dal loro segno (da notare che la resistività invece non distingue fra cariche positive e negative) I risultati sperimentali sono abbastanza prossimi ai risultati del modello di Drude... ma certi metalli si comportano come se la carica trasportata fosse positiva! Per spiegare tale fenomeno, occorre andare oltre l approssimazione di elettroni liberi, considerare la struttura a bande di un cristallo, introdurre il concetto di lacuna.

7 Teoria quantistica La teoria di Drude ha molti punti deboli e funziona un po per caso, ma l idea alla base resta valida anche in una trattazione quantistica. Conviene ragionare in termini di pacchetti d onda, ovvero sovrapposizioni di onde piane (complete della dipendenza temporale): ψ( r, t) = c( k)e i( k r ω( k)t) d 3 k, ω( k) = ɛ( k) = k2 2m dove la funzione c( k) è centrata attorno ad un certo k 0, il pacchetto d onda risultante è centrato (in spazio reale) attorno ad un certo r 0. L evoluzione temporale di un pacchetto d onda è determinata dall equazioni di Schrödinger dipendente dal tempo. Sotto opportune assunzioni 1 valgono le equazioni del moto semiclassiche: d k dt = e ( E + v( k) B ), d r dt = v( k) = ω( k) = k m dove per semplicità di notazione k 0 k, r 0 r: equazioni simili a quelle di una particella in r di quantità di moto p = k che si sposta con velocità v = p/m. 1 estensione del pacchetto d onda grande rispetto al parametro reticolare, piccolo rispetto alla lunghezza d onda dei campi

8 Conduzione del gas di elettroni Possiamo quindi pensare che in presenza di un campo elettrico: la sfera di Fermi degli stati occupati (ovvero gli elettroni, rappresentati da un pacchetto d onda centrato attorno ad ogni k) si sposta in direzione del campo elettrico... ma con probabilità 1/τ, ovvero dopo un tempo medio τ, intervengono processi di diffusione, dovuti a collisioni con vibrazioni reticolari, difetti, con altri elettroni, etc. I processi di diffusione però non possono spedire un elettrone in uno stato già occupato (per il principio di Pauli), né in uno stato di energia molto diversa da quella prima della collisione: possono solo spedire gli elettroni da un lato della sfera di Fermi verso l altro lato, come nell esempio unidimensionale in figura

9 Conduzione del gas di elettroni II Per effetto delle collisioni, la sfera di Fermi trasla di una quantità molto piccola nella direzione del campo elettrico applicato. Solo gli elettroni alla superficie di Fermi sono coinvolti. In figura, l occupazione della sfera di Fermi, a T finita, rappresentata in modo schematico (e molto esagerato) per un modello unidimensionale, in assenza e in presenza di campo elettrico Si può calcolare la conducibilità dalla corrente indotta, che è data dalla seguente espressione: j = occ. ( e v( k)) d3 k 4π 3 Dato che solo una piccola regione nello spazio k alla superficie di Fermi, di volume δ 3 k (vedi figura) contribuisce alla densità di corrente, l integrale può essere stimato e porta al risultato di Drude

10 Conduzione di calore, cammino libero medio La conducibilità termica nel caso quantistico si ottiene con considerazioni analoghe. Il risultato è lo stesso che nel caso classico: K = 1 3 nc vv 2 τ, dove il calore specifico c v è quello del gas di elettroni: c v = π2 k B 2 T = π2 kb 2 T F 2 T ɛ F, ɛ F = v2 F 2m, e la velocità media v è la velocità di Fermi v F = k F /m, in quanto i soli elettroni che trasportano calore (o corrente elettrica) sono quelli alla superficie di Fermi. Da notare che il cammino libero medio l = vτ va pure calcolato usando v F come velocità degli elettroni. Con τ e v F 10 6 m/s otteniamo l 10 nm. Quando il cammino libero medio eccede le dimensioni del campione, come in certi dispositivi elettronici basati su nanostrutture, l elettrone non fa in tempo a essere diffuso e il trasporto di corrente è detto balistico.