Laboratorio di Fisica I Anno Accademico

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1 Laboratorio di Fisica I Anno Accademico Relazione terza esperienza di Laboratorio Giorgio Campione Misura del periodo di oscillazione e della costante elastica della molla di un oscillatore armonico semplice Scopo: Misurazione del periodo di oscillazione, data una massa fissa, di un sistema massa-molla (oscillatore armonico), attraverso il metodo grafico ed analitico; Determinazione della costante k della molla, data la misurazione del periodo di oscillazione per masse diverse, attraverso il metodo grafico ed analitico; Strumenti e materiali utilizzati: Cronometro digitale centesimale con δ lettura = 0,01s; Oscillatore armonico semplice; Campioni di massa fissa; Conoscenze necessarie al corretto eseguimento dell esperimento: Conoscenza del modello dell oscillatore armonico; Regole base della propagazione dell errore; Rette di massima e minima pendenza e rette di massima e minima intercetta per determinare graficamente una misura. Conoscenza delle nozioni di frequenza d oscillazione relativa ed assoluta, densità di frequenza, media e deviazione standard; Conoscenza dei metodi di rappresentazione grafica principali quali: istogramma, grafici in scala lineare e log-log;

2 Svolgimento: I Parte Il periodo di un sistema massa molla si calcola come T = π m k per cui, in laboratorio, per misurare il periodo, ho adoperato un campione a massa fissa di 50g la cui incertezza sulla massa è trascurabile dato che l errore sul tempo d oscillazione misurato sarà sicuramente maggiore di quest ultima. Ho quindi preso due set di dati, di 0 misurazioni ciascuno, del tempo di 10 oscillazioni così da ridurre gli errori casuali introdotti dall operatore come quello dovuto al tempo di reazione. Ho riportato i dati in tabella in ordine crescente per facilitarne la lettura TABELLA 1.0 Set1(s) 6,85 6,87 6,90 6,91 6,94 6,96 6,97 7,00 7,0 n i(1) Set(s) 6,85 6,87 6,88 6,90 6,91 6,93 6,94 6,97 7,00 7,0 n i() NB: n i indica il numero di volte in cui il valore si è presentato durante le misurazioni Ho calcolato la frequenza relativa come e la densità di frequenza come F i = n i n f i = F i i Dove i indica la grandezza dell intervallo per la quale si vuole misurare la densità di frequenza (nel mio caso i = 0,04s). Ho poi costruito gli istogrammi dei set di dati rappresentandoli con la stessa scala in modo da poter essere confrontati

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4 Successivamente ho raccolto tutti i dati in un unico istogramma dal quale è possibile trovare il valore medio di 10 oscillazioni e la deviazione standard. A partire dai dati così ottenuti ho calcolato analiticamente e graficamente media e deviazione standard per ciascun set di dati. Per il calcolo analitico mi sono avvalso delle seguenti formule n T 10 = 1 n T i i=0 σ T10 = 1 n 1 (T i T ) 10 n i=1 Per la determinazione grafica ho considerato: La media come quel valore che lascia il 50% dei dati sia alla sua destra che alla sua sinistra; La deviazione standard come metà della larghezza dell istogramma a metà della sua altezza massima. Ho riportato i dati ottenuti nella tabella 1.1

5 Tabella 1.1 T (s) 10 σ T10 (s) T (s) 10 dal grafico σ T10 (s) dal grafico Set 1 6,9 0,05 6,9 0,06 Set 6,94 0,05 6,95 0,06 Set TOT 6,93 0,05 6,94 0,08 Successivamente ho calcolato la deviazione standard della media del periodo, rispetto al set totale, per determinare la componente casuale dell errore relativo a 10 periodi attraverso la formula σ T10 = σ T 10 n = 0,01s e, per determinare l errore complessivo, bisogna sommare all errore casuale l errore strumentale che possiamo considerare quindi risulta δ strumetale = 0,01s δ T10 = σ T10 + δ strumentale = 0,0s Per cui il valore del periodo di 10 oscillazioni risulta essere T 10 = (6,93 ± 0,0)s Per determinare il periodo relativo alla singola oscillazione basta considerare un decimo di T 10 ed il suo errore come un decimo di δ T10 II Parte T = (0,693 ± 0,00)s Ho misurato il periodo di 10 oscillazioni del sistema massa-molla con 4 masse diverse, rispettivamente 10g, 40g, 60g, 65g (0 volte ciascuno), ed ho raccolto i dati nella tabella 1. includendo quelli della massa da 50g (rispetto al set totale) visti nella prima parte.

6 TABELLA 1. T 1010g (s) 3,15 3,16 3,18 3,19 3,1 3, 3,5 n i10g T 1040g (s) 6,3 6,5 6,8 6,31 6,34 6,35 6,37 6,38 n i40g T 1050g (s) 6,85 6,87 6,88 6,90 6,91 6,93 6,94 6,96 6,97 7,00 7,0 n i50g T 1060g (s) 7,56 7,57 7,59 7,60 7,6 7,63 7,66 7,68 n i60g T 1065g (s) 7,90 7,91 7,93 7,94 7,97 8,00 8,03 8,10 n i65g NB: gli n sono tutti uguali a 0 fatta eccezione per la massa da 50g che ha n=40 Ho poi calcolato (per ciascuna massa) periodo, deviazione standard ed errore assoluto sul periodo, che sono stati ricavati nel modo descritto nella prima parte, ed ho raccolto i dati nella tabella seguente includendo quelli relativi alla massa da 50g. TABELLA 1.3 m(g) T(s) δ T (s) σ T10 (s) 10 0,30 0,00 0, ,631 0,00 0, ,693 0, ,76 0,00 0, ,795 0,00 0,05

7 Ho poi calcolato la frequenza angolare del sistema massa-molla, per ciascuna massa, come l inverso del periodo ω = π T ed il suo errore assoluto come propagazione dell errore del periodo attraverso la seguente formula δ ω = π T δ T Ho dunque raccolto i risultati nella tabella seguente (per le stesse ragioni espresse nella prima parte della relazione ho considerato trascurabile l errore sulle masse) TABELLA 1.4 m(g) ω( rad s ) δ ω( rad s ) 10 19,63 0,1 40 9,96 0, ,07 0, ,4 0,0 65 7,90 0,0 Successivamente ho costruito un grafico in scala log-log per ricavare la costante elastica della molla data la relazione ω = k m che può anche essere scritta come ω = k m 1

8 Applicando il logaritmo decimale ad ambo i membri risulta log ω = 1 log k 1 log m Ponendo si ottiene log ω = Ω, 1 log k = K, log m = M Ω = 1 M + K Ci si aspetta dunque una retta di pendenza 1 e con intercetta K. Per verificare ciò mi sono servito rispettivamente del metodo delle rette di massima e minima pendenza e di massima e minima intercetta. Sono stati considerati i punti ai due estremi per calcolare la massima e la minima pendenza. Ho deciso di escludere la frequenza angolare del punto con massa 50g in quanto non viene incluso nel passaggio delle rette. I coefficienti angolari risultano quindi essere m max = 0,48 m min = 0,49 Dai cui mi ricavo m best e δ m, rispettivamente come semisomma e semidispersione

9 m best = m max + m min = 0,485 δ m = m max m min = 0,005 Il valore del coefficiente angolare risulta prossimo a 1 ed è stato quindi possibile procedere al calcolo di k attraverso il metodo delle rette di massima e minima intercetta. Ho letto la frequenza angolare in corrispondenza della massa da 10g (utilizzo la funzione screen-reader del programma del grafico) per determinare le intercette che risultano essere Ricordiamo che ω max = 19,51 ω min = 19,57 ω = k m per cui da cui risulta k = (ω m) = ω m

10 k max = 3830 g s k min = 3806 g s Da questi ricavo k best ed δ k come semisomma e semidispersione k best = k max + k min δ k = k max k min La migliore stima di k risulta quindi essere = 3818 g s = 1 g s k = (3,818 ± 0,01) N m Un altro metodo per il calcolo della costante elastica della molla è quello della linearizzazione. Basta porre per rendere la funzione di tipo lineare z = 1 ω k = ω m m = k z Mi trovo z ed il suo errore, come propagazione dell errore di ω, per ogni massa e riporto i dati in tabella TABELLA 1.5 m(g) ω( rad s ) δ ω( rad s ) z(s ) δ z (s ) 10 19,63 0,1 0,0059 0, ,96 0,03 0, , ,4 0,0 0, , ,90 0,0 0, ,00008

11 Ho poi riportato i dati in un grafico in cui traccio le rette di massima e minima pendenza. Non impongo il passaggio per l origine in quanto non è possibile trascurare la massa effettiva della molla m 0 3, dove m 0 è la massa della molla. In questo modo l equazione della retta diventa m = k z m 0 3 Le rette sono state ricavate a partire dai punti con z = 0 e z = 0,017 Ottengo dunque k max = 4104 g s k min = 4068 g s Da cui ricavo k best e δ k rispettivamente come semisomma e semidispersione k best = k max + k min = 4086 g s quindi risulta δ best = k max k min = 18 g s k = (4,086 ± 0,018) N m

12 Conclusioni: Ho riportato i k ricavati attraverso i due metodi precedentemente descritti, con errori relativi ed assoluti, in tabella per facilitarne il confronto. TABELLA 1.6 Metodo k( N m ) δ k( N m ) ε k(%) scala logaritmica 3,818 0,011 0,3% linearizzazione 4,086 0,018 0,4% Come si può vedere i due valori di k risultano consistenti, ma ε k (%) trovato col primo metodo è minore rispetto a quello trovato col secondo metodo. Concludo quindi che il metodo del grafico logaritmico è più preciso.