Misure di dispersione. Introduzione. Statistica descrittiva. Distribuzioni di probabilità e funzioni di ripartizione. Indici di posizione

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1 UNIVERSITA DEL SALENTO CORSO DI LAUREA IN FISICA (a.a. 007/008) Corso d Laboratoro II (Prof. Antono D INNOCENZO) ESERCITAZIONE DI STATISTICA * Lo scopo d questa eserctazone è quello d comncare ad utlzzare l software MATLAB ad un lvello d base per le applcazon statstche. Il package statstco d MATLAB s trova nella cartella \toolbox\stats; per avere una lsta d tutte le funzon dsponbl basta dgtare help stats. Introduzone Tpcamente MATLAB nterpreta una matrce X d dat come una sere d colonne, dove cascuna colonna corrsponde ad un espermento, o gruppo, e le osservazon fatte n cascun espermento sono rportate nella colonna. Il numero d esperment effettuat corrsponde al numero delle colonne. Il numero d osservazon n cascun espermento è l numero delle rghe. Ad es., se msuro la lunghezza d 0 bullon, camponandol dalla stessa scatola n tre gorn dstnt, ho 3 esperment ognuno con 0 osservazon. Statstca descrttva Le funzonaltà d statstca descrttva d nostro nteresse rguardano: - msure d tendenza centrale: meda, medana,..., - msure d dspersone: varanza, devaz. standard,..., - raggruppamento de dat, - anals e stma emprca della dstrbuzone de dat:quantl e descrzone grafca Indc d poszone Le msure d localzzazone de dat comprendono: geomean meda geometrca harmmean meda armonca mean meda artmetca medan medana trmmean meda trmmed (rpulta) * La presente guda è stata realzzata dal responsable del corso con la collaborazone del Dott. F. Paladn del Dpartmento d Fsca dell Unverstà del Salento. Nella stesura de var punt trattat oltre alla possbltà d error d trascrzone de comand possono comparre anche nesattezze nelle procedure della cu segnalazone antcpatamente l docente responsable rngraza. La meda artmetca è la stma pù utlzzata e semplce della "poszone" della dstrbuzone de dat, ed è la mglor stma della meda se la dstrbuzone d orgne è gaussana, ma error d acquszone, outlers o anomale possono faclmente e rrmedablmente alterare la stma del centro della dstrbuzone. Questo nconvenente rguarda anche la meda geometca e armonca, che però sono utl quando la dstrbuzone è lognormale o fortemente asmmetrca. La medana e la meda trmmed sono msure pù robuste ne confront degl oulers. La medana (50esmo percentle) camba solo d poco anche se vene aggunta una grande perturbazone a un qualunque dato. La meda trmmed gnora una pccola percentuale de dat con valor massm e mnm, rspetto al totale, per po calcolare la meda artmetca de dat rmast. Msure d dspersone Le msure d dspersone ndcano quanto dat sono addensat o s dscostano da una msura d poszone (e.g. meda artmetca). Le funzon d MATLAB sono: qr ntervallo nterquartle IQR, mad devazone meda assoluta MAD, range ntervallo, std devazone standard (std), var varanza. Il range è la dfferenza tra l massmo ed l mnmo valore del campone, è la pù semplce msura d dspersone, ma è anche la pù sensble alla presenza d dat anomal. La devazone standard e la varanza sono le msure pù popolar della dspersone, e sono ottmal quando dat sono stat estratt da una dstrbuzone gaussana, n partcolare, la std è la mglor stma del parametro sgma. Né la std, né la varanza sono robuste ne confront de cosdett "outlers": un dato separato dall'nseme del campone può alterare entrambe le msure d una quanttà arbtraramente grande. La devazone meda assoluta, MAD, è la meda della dfferenza assoluta tra dat e la meda; essa è sempre sensble agl outlers, ma vara meno della std n presenza d dat "anomal". L'ntervallo d nterquartle, IQR, è la dfferenza tra l 75esmo e l 5esmo percentle. Pochè solo l 50% de dat nfluenza la IQR (l prmo e l'ultmo 5%), essa è robusta rspetto agl outlers. Dstrbuzon d probabltà e funzon d rpartzone Le dstrbuzon d probabltà servono per descrvere rsultat d esperment quando rsultat sono soggett a varazon casual. La natura stessa dell'espermento determna quale dstrbuzone è pù approprata per modellzzare rsultat random. La trattazone probablstca non predce l rsultato d un sngolo espermento, ma fornsce: -la probabltà d avere un partcolare valore come rsultato se dat sono dscret - la probabltà che l rsultato cada n un certo ntervallo per dat contnu. Le funzon d dstrbuzone d probabltà (pdf) d MATLAB sono: Contnue d dat Contnue statstche Dscrete Beta (betapdf) Ch quadro (chpdf) Bnomale (bnopdf) Esponenzale (exppdf) Ch quadro non centrale (ncxpdf) Unforme dscreta (undpdf) Gamma (gampdf) F (fpdf) Geometrca (geopdf)

2 Lognormal (lognpdf) F non centrale (ncfpdf) Hypergeometrca (hygepdf) Normale (normpdf) t d Student(tpdf) Bnomale negatva (nbnpdf) Raylegh (raylpdf) t d student non centrale (nctpdf) Possonana (posspdf) Unforme (unfpdf) Webull (webpdf) Se la dstrbuzone è dscreta la pdf è la probabltà d osservare un partcolare valore. Se la dstrbuzone è contnua la pdf rappresenta la denstà d probabltà de dat, e non la probabltà, che per ogn partcolare sngolo valore è nulla. In questo caso s deve consderare la probabltà che l dato cada n un partcolare ntervallo, da calcolare come ntegrale della pdf sull'ntervallo d nteresse. Per cascuna pdf MATLAB fornsce le seguent funzon: Dstrbuzone della denstà d probabltà (pdf) Dstrbuzone comulatva della denstà d probabltà (cdf) Funzone nversa della cdf Generatore d numer pseudocasual Varanza e meda parametrche La dstrbuzone della denstà d probabltà calcola la probabltà relatva a cascun valore de dat se quest sono dscret, e calcola la denstà d probabltà se dat varano con contnutà (pdf_.m, le funzon che calcolano le dverse pdf sono rportate tra parentes nella tabella). La cdf d una pdf, defnta per una v.a. contnua come: vene chamata con comand normcdf, betacdf,... Con la funzone cdf s può calcolare la probabltà assocata a un qualunque ntervallo de dat. Le funzon nverse delle cdf accettano come argomento n ngresso un valore d probabltà p, e fornscono n uscta l valore d x tale che la probabltà d osservare valor mnor o ugual ad x è propro p, ovvero la x tale che l'ntegrale della pdf da -nf a x è uguale a p. I comand sono normnv, betanv.... Cascuna pdf ha una forma funzonale nella quale compaono parametr che la caratterzzano. A partre dal campone, s può effettuare una stma d massma verosmglanza de parametr (MLE Maxmum lkelhood estmaton): s potzza che l set d dat segua una certa dstrbuzone (eg. gaussana, esponenzale,...) e s rcavano "mglor" valor de parametr per descrvere dat, untamente al loro ntervallo d confdenza. Vedamo ora come costrure l grafco d una funzone denstà d probabltà. Prendamo ad esempo la dstrbuzone t d Student, a cu corrsponde la funzone tpdf. Dall'help (help tpdf) apprendamo che la funzone prende due argoment: >>y = tpdf(x,nu) un vettore d ascsse x e grad d lbertà nu, e resttusce un vettore y che contene valor della pdf n corrspondenza delle ascsse. Dobbamo qund n prmo luogo costrure un vettore d ascsse. Se voglamo vedere l grafco della funzone d denstà tra -5 e 5, l comando >>x=[-5:0.:5]'; produce una progressone artmetca d ragone 0. che parte da -5 e termna a 5. I valor della pdf d una dstrbuzone t d Student con 3 grad d lbertà s otterranno qund dgtando ad es.: >>x=[-5:0.:5]'; >>yt=tpdf(x,3); A questo punto possamo costrure l grafco: >>plot(x,yt) Se s aggungono ulteror argoment, s può controllare l'aspetto del grafco: plot(x,yt,'r.') produce un grafco a punt d colore rosso. Una lsta completa delle opzon s può ottenere dgtando help plot. Un grafco a punt o a barre può essere utle nel caso d dstrbuzon dscrete, vsto che n questo caso la probabltà è defnta solo n corrspondenza d valor nter delle ascsse. Dsegnamo ora, utlzzando la stessa grgla d ascsse, la funzone d denstà d una dstrbuzone normale standardzzata: >>x=[-5:0.:5]'; >>yn=normpdf(x,0,); >>plot(x,yn) Se s desdera vsualzzare pù grafc sovrappost, s utlzza l comando hold; ad esempo nserte le seguent struzon: >> x=[-5:0.:5]'; >>hold on; >>yt=tpdf(x,3); >>yn=normpdf(x,0,); >>plot(x,yn,'g'); >>plot(x,yt,'r'); >>hold off; Numer casual MATLAB possede un generatore d numer (matrc) pseudocasual unform (rand) e normal standardzzat (randn); gl argoment che quest generator rchedono sono l numero d rghe e colonne desderat. Ad esempo, per avere un vettore colonna d dec numer casual unform s dgta rand(,). Il computer è una macchna determnstca e non è n grado d produrre numer veramente" casual. Nel package stats sono noltre compres ulteror generator. Se voglamo un campone d 0 osservazon da una dstrbuzone esponenzale con meda.8, dgtamo: >>r=exprnd(.8,0,); 3 4

3 Se voglamo un campone d 0 osservazon da una dstrbuzone normale con meda 0 e devaz. standard, dgtamo: >>r=randn(0,); Una analoga struzone consente d ottenere l set d osservazon rchesto: >>r=normrnd(0,,0,); Istogramma e cdf emprca Una volta generat de numer casual r=, s può vsualzzare l rsultato costruendone l'stogramma: hst(r). Se s desdera specfcare l numero d ntervall che l'stogramma deve utlzzare, lo s può nserre come secondo argomento:hst(r,0). Un secondo modo per vsualzzare le propretà emprche d un campone è quello d dsegnare la cdf emprca: cdfplot(r). >> r=exprnd(.8,0,); >> hst(r) >> cdfplot(r) Applcazon PREMESSA: Prma d nzare a trattare le vare applcazon che vengono d seguto proposte, un consglo (o meglo un mperatvo categorco) per tutt. Ognqualvolta ncontrate un nuovo comando, prma d procedere alla applcazone, dgtate l help relatvo al comando ncontrato e mpadrontev delle vare opzon che lo rguardano. Per ogn argomento trattato fate una stampa de rsultat dell applcazone e degl eventual grafc che vengono creat. Il tutto costturà l materale della vostra eserctazone d statstca che presenterete al docente responsable del corso una settmana prma dell esame. Le applcazon contrassegnate dal smbolo # sono da consderare facoltatve. ) Varabl aleatore Comncamo mparando ad usare MATLAB per calcolare le probabltà e le funzon d rpartzone d v.a. dscrete qual la bnomale e la possonana. Sa k una v.a. dscreta con dstrbuzone d Posson d parametro lambda= ultma cfra del vostro gorno d nascta (se questo numero è uguale a zero aggungetegl ). Calcolate: a) la probabltà P(k=3) b) P(k= 3) c) P(=k<5) d) P(k=5) La probabltà della v.a. possonana k d parametro lambda vene valutata dgtando l comando posspdf(k,lambda) mentre la funzone d rpartzone l comando posscdf(k,lambda). Pertanto per rspondere rspettvamente alle precedent queston dgtate: >>lambda= ; >>Pa=posspdf(3,lambda) >>Pb=-posscdf(,lamda) >>Pc=posscdf(4,lambda)-posscdf(0,lambda) >>Pd=-posscdf(4,lambda) Rspondete ora alle stesse domande nel caso n cu la v.a. dscreta k segua una legge bnomale d parametr N e p. Fssate N=ultma cfra del vostro gorno d nascta (se questo numero è mnore o uguale a quattro aggungetegl l numero 5) e p=numero (arrotondato a due cfre decmal) che s ottene facendo l recproco dell ultma cfra del vostro gorno d nascta (se questo numero è uguale a zero o ad uno aggungetegl prma d farne l recproco) >>N=...; % nserte l valore ndcato >>p=..; % nserte l valore ndcato >>Pa=bnopdf(3,N,p) >>Pb=-bnocdf(,N,p) >>Pc=bnocdf(4,N,p)-bnocdf((0,N,p) >>Pd=-bnocdf(4,N,p) Possamo calcolare con un struzone sntetca la meda e la varanza per dat delle nostre dstrbuzon. Per la bnomale d parametr N e p possamo dgtare ad esempo: >>N=..; % nserte l valore utlzzato n precedenza >>p=..; % nserte l valore utlzzato n precedenza >>[mu, var]=bnostat(n,p) Possamo calcolare smultaneamente le coppe (mu,var) al varare d N. Per esempo: con l comando N=lnspace(,0,) vene generato un nseme d valor da a 0 egualmente spazat. >>p=.. >>N=lnspace(,0,); >>[mu, var]=bnostat(n,p) MATLAB fornsce n successone rspettvamente valor attes e le varanze per var cas. Per v.a. contnue valgono analoghe struzon. Per la v.a. normale d parametr mu e sgma avremo ad es.: >> x=[-:0.:]'; >>mu= ultma cfra del vostro gorno d nascta; 5 6

4 >>sgma=numero (arrotondato ad una cfra decmale) che s ottene facendo l recproco dell ultma cfra del vostro gorno d nascta (se questo numero è uguale a zero o ad uno aggungetegl prma d farne l recproco) >>p = normpdf(x,mu,sgma); %denstà d probabltà >>F = normcdf(x,mu,sgma); %funzone d rpartzone >>alpha=0.5; >>q = normnv(alpha,mu,sgma) % (quantle d ordne alpha) Per l'esponenzale d parametro lambda: >> x=[0:0.:5]'; >>lambda=.; % nserte l valore utlzzato precedentemente >>p = exppdf(x,/lambda) %denstà d probabltà >>F = expcdf(x,/lambda) %funzone d rpartzone >>alpha=0.75 >>q = expnv(alpha,/lambda) % (quantle d ordne alpha) Per la v.a. unforme contnua sull'ntervallo (a,b): >>a= ultma cfra del vostro gorno d nascta; >>b= ultma cfra del vostro gorno d nascta + 4; >>p= unfpdf(x,a,b) %denstà d probabltà >>F= unfcdf(x,a,b) %funzone d rpartzone >>alpha=0.90 >>q= unfnv(alpha,a,b) % (quantle d ordne alpha) ) Generazone d numer casual e vsualzzazone de dat Creamoc nnanztutto un nseme d dat su qual lavorare usando l comando rand. U = rand(n,m) genera una matrce U(n*m) d varabl pseudoaleatore ndpendent e unform n (0,), mentre u = rand(n,) fornsce un vettore colonna d lunghezza n. Prmo passo: generate ad esempo un set d numer random unformemente dstrbut tra zero ed uno e al prompt d MATLAB nel Command Wndow date le seguent struzon: >>n=0seguto dall ultma cfra del vostro gorno d nascta se questo numero è par, altrment gl aggungete ); >>data= rand(n,); Secondo passo: Costruamo due vettor d lunghezza n/, l prmo dcamo data- costtuto dagl element d data d posto dspar e l secondo dcamo data- da quell d posto par: >>data=data(::n); >>data=data(::n); A questo punto plottamo data n funzone d data col comando: >>plot(data,data,'o') Se punt sono unformemente dstrbut sul quadrato [0,]*[0,] allora possamo pensare che non c sa correlazone fra var element del vettore data. Generazone d altre varabl dverse dalla unforme: come detto MATLAB le fornsce nella propra lbrera statstca, tutte partono dal generare numer ndpendent unform (0,) po trasformat. Ad es. bnornd, unfrnd, normrnd, possrnd...(vedere rspettv help per conoscere le modaltà d generazone de dat pseudocasual). Dgtate: >>rand('state',sum(0*clock)) % predsponamo l seme del generatore >>n=seguto dall ultma cfra del vostro gorno d nascta se questo numero è par, altrment gl aggungete ); >>data= normrnd(0,,n,); >>data=data(::n); >>data=data(::n); >>plot(data,data,'o') %Se voglamo nserre una grgla sul grafco aggungeremo l comando grd on. %Lo stesso tpo d grafco può essere ottenuto col comando scatter: >>scatter(data,data, 'o') >>grd on Con n numer pseudocasual unformemente dstrbut tra 0 ed possamo creare ad esempo un nseme d n numer nter con valor compres tra 0 e 9: >>rand('state',sum(0*clock)) % predsponamo l seme del generatore >>n=0seguto dall ultma cfra del vostro gorno d nascta; >>data=rand(n,); >>datnt=fx(*data); %Creamo ora un vettore delle frequenze assolute e un vettore delle frequenze relatve d cascuna %cfra (da 0 a 9): >>fass=hst(datnt); >>frel=fass/n; %Grafco della dstrbuzone delle frequenze assolute: >>nterv=[mn(datnt):max(datnt)]'; % s traspone(') perché fass è un vettore colonna >>plot(nterv,fass) % grafco >>bar(nterv,fass) % dagramma a barre %Calcolamo ora le frequenze cumulatve e plottamo l grafco: >>Fass()=fass() >>for =:length(nterv) Fass()=Fass(-)+fass(); end >>plot(nterv,fass) %Calcolamo valor d skewness e d curtos della nostra dstrbuzone d dat: >>sk=skewness(datnt) >>k=kurtoss(datnt) %dsegnare la denstà cumulatve emprca col comando: >>cdfplot(datnt) 7 8

5 3) Verfca emprca della legge de grand numer # La legge (debole) de grand numer dce che data una successone d varabl casual x a meda fnta, la meda camponara delle osservazon converge n probabltà al valore della meda teorca mu. Una verfca emprca d questa legge consste nel generare n numer pseudocasual, calcolarne la meda camponara xmedo=(x +x +x 3+..x n)/n e vedere con un plot come l valor medo camponaro osclla attorno a mu con le oscllazon che dmnuscono al crescere d n. Generamo una successone d varabl unformemente dstrbute tra 0 ed e con valore atteso mu=/: >>rand('state',sum(0*clock)); >>for =:0 xmedo()=sum(rand(,))/; end >>plot(xmedo, '.') Provate anche con =00 e con =000 ma non andate oltre perchè MATLAB con un gran numero d terazon dventa molto lento. 4) Teorema del lmte centrale # Verfchamo spermentalmente l teorema del lmte centrale della statstca. Sommamo nzalmente nv=50 varabl ndpendent con dstrbuzone unforme ottenute per un numero np=000 prove e confrontamo la frequenza relatva della dstrbuzone della loro somma con la prevsone teorca, vale a dre con una gaussana d meda e varanza note dalla teora. Aumentamo successvamente l numero d varabl portandolo a nv=0 e nv=500 e valutamo grafcamente l lmte asntotco della dstrbuzone emprca alla gaussana. >>rand('state',sum(0*clock)) >> np=000; >> nv=50; >> y=rand(nv,np); >> sy=sum(y); >> meda=nv*.5; >> varanza=nv*/; >> x=[-5*sqrt(varanza):.5:5*sqrt(varanza)]+meda; >> freq=hst(sy,x)/np/.5; >> dst=/sqrt(*p*varanza)*exp(-(x-meda).^/(*varanza)); >> fgure >> hold on; >> bar(x,freq) >> plot(x,dst,'r') Rpetete la procedura ponendo nv=0 e successvamente nv=500. 5) Intervall d confdenza per la meda della popolazone a) Intervallo d confdenza per la meda d una popolazone con varanza nota: 9 >>rand('state',sum(0*clock)) >>mu= 0; >>sgma=; >>n = seguto dall ultma cfra del vostro gorno d nascta); >>x = normrnd (mu, sgma, n, ); >>ntconf= 0.95; >>xmedo = mean (x) >>qn =normnv ((+ntconf)/, 0, ) >>deltan= qn*sgma/sqrt(n) >>ntervallo = [xmedo-deltan xmedo+deltan] Rprovate la precedente procedura rspettvamente con n=seguto dall ultma cfra del vostro gorno d nascta e con=0seguto dall ultma cfra del vostro gorno d nascta e notate come dmnusce l'ampezza dell'ntervallo al varare d n. b) Intervallo d confdenza per la meda d una popolazone con varanza ncognta: >>rand('state',sum(0*clock)) >>mu= 0; >>sgma=; >>n = seguto dall ultma cfra del vostro gorno d nascta); >>x = normrnd (mu, sgma, n, ); >>ntconf= 0.95; >>xmedo = mean (x) >>s=std(x) >>qt =tnv ((+ntconf)/, n-) >>deltat= qt*s/sqrt(n) >>ntervallo = [xmedo-deltat xmedo+deltat] Rprovate anche n questo caso la precedente procedura con n=seguto dall ultma cfra del vostro gorno d nascta) e con=0seguto dall ultma cfra del vostro gorno d nascta) e notate come dmnusce l'ampezza dell'ntervallo al varare d n. 5) Test d potes sulla meda con varanza nota Consderate l seguente esempo: Una dtta sta commercalzzando un nuovo prodotto ed e' nteressata a conoscere l'altezza d tale manufatto. S suppone che tale altezza sa normalmente dstrbuta con devazone standard nota e par a 0 mm. Dsponendo de seguent dat (n mm) rguardo all'altezza d N=40 prodott scelt a caso: l azenda ntende effettuare l seguente test d potes sulla meda:

6 H 0 (potes nulla):la meda e' uguale a 88 mm. H (potes alternatva):la meda e' dversa da 80 mm. ) Utlzzando soltanto prm n(<=n) dat del campone e come statstca la meda camponara, trovare la regone d accettazone per l'potes nulla ad un lvello d sgnfcatvta' del 5% e trarre una conclusone sull'potes fatta ) Confrontare rsultat al punto ) con quell ottenut con un lvello d sgnfcatvta' dell'% 3) Confrontare rsultat al punto ) con quell ottenut utlzzando tutt gl N=40 dat del campone. Impostamo l problema con MATLAB: Punto ) >>sgma = 0; >>Dat =[ ]; >>mu = 88; % Ipotes nulla >>n =seguto dall ultma cfra del vostro gorno d nascta; >>xmedo = mean(dat(:n)); >>alpha = 0.05; % alpha = P(d rgettare l'potes nulla anche se è vera) >>b= -alpha/; >>qb= normnv(b,0,); >>delta = qb * sgma / sqrt(n); >>mupu = xmedo+ delta; >>mumeno = xmedo- delta; >>Test = mu > mumeno & mu < mupu % Test = potes accettata, Test = 0 potes rfutata Punto ) Per rspondere a questo punto occorre rpetere la successone d struzon precedente nserendo l opportuno valore d alpha. Punto 3) S tratta anche n questo caso d rpetere la procedura del punto ) ponendo n=40 ed alpha= ) Un eserctazone un po pù laborosa (ma non meno nteressante) Generate un campone d 360 numer nter d una cfra estratt a caso da una dstrbuzone unforme e dsponetel n 40 grupp d 9 cfre. Per generare con MATLAB una tale tabella attenetev alle seguent struzon: >>n=360; >>rand('state',sum(0*clock)); >>N=fx(*rand(n,)); >>hst(n) % per avere una vsone d nseme della dstrbuzone del vostro campone d cfre >>fprntf('%3.0f %3.0f %3.0f %3.0f %3.0f %3.0f %3.0f %3.0f %3.0f \n',n) %mantenete gl spaz vuot ndcat tra grupp d cfre da vsualzzare sullo schermo). Dopo l ultma struzone apparrà nella vdeata del Command Wndow d MATLAB una successone d numer casual nter d una cfra dspost n quaranta rghe d 9 element spazat opportunamente per l elaborazone successva. Selezonate qund col tasto destro del mouse nel Command Wndow d MATLAB la successone d cfre che compare sullo schermo e copatela su un documento Word. Avrete così la vostra tabella personalzzata sulla quale lavorare. Il valore atteso e la varanza d una varable casuale n, che assume valor nter da zero a nove con equprobabltà (p=/), sono rspettvamente: n = E [ n] = σ / = 4.5 = E[ n E[ n]] = ( n E[ n]) / = 8.5 = Selezonate nzalmente dalla vostra tabella un sottonseme d K=90 numer d una cfra. La cosa mglore è prendere una successone d numer consecutv per evtare d nflure sulla loro selezone. Dopo aver sstemato dat n una tabella d frequenza del tpo: Frequenza Cfra Freq. ass. F calcolate, utlzzando MATLAB, l valor medo camponaro e la varanza camponara = s = F( n n) K Freq. rel. f n = = Per evtare d rportare sngolarmente nella struzone dat=[.] tutte le 90 cfre selezonate, rtornate con l cursore del Command Wndow d MATLAB sulla successone d 360 cfre e aggungete manualmente alla fne d ogn rga (eccetto l ultma) tre puntn ( ) per ndcare che l struzone contnua al rgo successvo, dopodchè selezonate tutte le rghe nteressate e nsertele = n F F

7 nelle parentes dell struzone dat=[.]. Per calcolare la meda e la varanza utlzzate po le opportune struzon MATLAB (mean(dat) e var(dat)). Non sarebbe sorprendente se per l vostro campone d dmensone lmtata d element trovaste che la meda e la varanza s dscostano da valor attes. C aspettamo tuttava che l accordo mglor con campon d K=80 e 360 element rspettvamente. Valutate la meda e la varanza emprche anche per quest campon e confrontatele con valor attes. Consderate ora grupp d tre cfre della vostra tabella d 360 numer nter e valutate qual è la frequenza del numero m= ultma cfra del vostro gorno d nascta, n cascun gruppo d tre cfre (grupp n numero totale d ). Coè quant grupp d tre cfre non contengono nessun m, quant ne contengono uno, quant ne contengono due, quant ne contengono tre? La varable casuale ndvduata da quattro valor n=0,,,3 d frequenza consderat, è descrtta da una dstrbuzone teorca d tpo bnomale N n N n PN, p ( n) = p ( p) con N=3 p=/ n Calcolate, utlzzando MATLAB, le probabltà per valor d n=0,,,3 e 4 consderando una dstrbuzone possonana con parametro lambda=0.9. Naturalmente non c s deve attendere un accordo troppo elevato tra frequenze relatve e probabltà perché N=9 è molto dstante da N=8 e p=/ non è un valore d probabltà troppo pccolo, ma comunque l confronto con la nostra dstrbuzone d frequenza camponara resta nteressante. Verfcate con un test del chquadro al lvello d sgnfcatvtà del 5% l attendbltà dell adattamento della possonana al vostro campone d frequenze. e con parametr d poszone e d larghezza rspettvamente dat da: E [ n] = N p = 3 = 0.3 σ = E[ n E[ n]] = N p ( p) = 3 9 = 7 0 = 0.7 Dopo aver regstrato le frequenze spermental n una tabella del tpo: varable n Frequenza 0 3 assoluta relatva valutate l valor medo e la varanza camponar della varable n. Come s confrontano valor d frequenza relatva con valor d probabltà della dstrbuzone teorca? Utlzzate MATLAB per rcavare quest ultm valor. Verfcate l attendbltà dell potes sulle frequenze, applcando (eventualmente con l uso d MATLAB) un test del chquadro al lvello d sgnfcatvtà del 5%. Prendete ora n consderazone grupp d nove cfre nella tabella d d 360 numer a caso a vostra dsposzone (40 grupp n totale). Effettuate un calcolo della dstrbuzone delle frequenze della cfra m (usata n precedenza) ne grupp d nove cfre, consderando solo valor d n=0,,,3 e 4. Costrute una tabella smle alla precedente e confrontate anche n questo caso, applcando ancora un test del chquadro al lvello d sgnfcatvtà del 5%, valor d frequenza relatva con rspettv valor d probabltà (valutat utlzzando MATLAB) della corrspondente dstrbuzone teorca bnomale (stavolta con N=9 e p=/) Consderate nfne l approssmazone d Posson per la dstrbuzone d frequenza delle cfre ne grupp d nove numer estratt a caso. S ha N=9 e p=/, per cu lambda = N p =