Esame di Ricerca Operativa del 19/01/2016

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1 Esame di Ricerca Operativa del 9/0/06 (Cognome) (Nome) (Matricola) Esercizio. Una banca offre ai suoi clienti diversi tipi di prestito: mutuo casa, credito auto, credito famiglia, che rendono un interesse annuo rispettivamente del %, 8% e %. La banca ha a disposizione 0 milioni di euro e deve erogare i prestiti in modo che: il mutuo casa rappresenti almeno il 0% di tutti i prestiti erogati; il credito auto non superi il 0% di tutti i prestiti erogati; il tasso di interesse medio su tutti i prestiti non superi il 6.%. La banca vuole determinare quanti euro erogare per ogni tipo di prestito in modo da massimizzare il suo profitto. variabili decisionali: modello: Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare: max x + x x 0 x + x x +x 6 x x 0 x + x Base Soluzione di base Ammissibile Degenere {, } x = {, } y = Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso primale per il problema dell esercizio. iterazione {,6} iterazione Base x y Indice Rapporti Indice uscente entrante

2 Esercizio. Si consideri il seguente problema di programmazione lineare intera: min 9 x +x 9 x +x 60 x +8x x 0 x 0 x,x Z a) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. sol. ottima del rilassamento = v I (P )= b) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo arrotondando la soluzione ottima del rilassamento. sol. ammissibile = v S (P )= c) Calcolare un taglio di Gomory. r = taglio: Esercizio. Si consideri il problema di trovare il ciclo hamiltoniano di costo minimo su una rete di città, le cui distanze reciproche sono indicate in tabella: città a) Trovare una valutazione inferiore del valore ottimo calcolando il albero di costo minimo. albero: v I (P )= b) Trovare una valutazione superiore applicando l algoritmo del nodo più vicino a partire dal nodo. ciclo: v S (P )= c) Applicare il metodo del Branch and Bound, utilizzando il albero di costo minimo come rilassamento di ogni sottoproblema ed istanziando, nell ordine, le variabili x, x, x.

3 Esercizio 6. Completare la seguente tabella considerando il problema di flusso di costo minimo sulla seguente rete (su ogni nodo è indicato il bilancio e su ogni arco sono indicati, nell ordine, il costo e la capacità). (6,) (,6) (6,) 6 (0,) (8,8) (8,) (,) (0,6) (,8) Archi di T Archi di U Soluzione di base Ammissibile Degenere (,) (,) (,6) (,6) (,6) (,) (,) x = (,) (,) (,) (,6) (,6) (,) (,6) π =(0, Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso su reti per il problema dell esercizio 6. (0,6) iterazione iterazione ArchidiT (,) (,) (,) (,) (,6) Archi di U (,) (,6) x π Arco entrante ϑ +, ϑ Arco uscente 6 0

4 Esercizio 8. a) Applicare l algoritmo di Dijkstra per trovare l albero dei cammini minimi di radice sulla seguente rete. 6 8 nodo visitato iter iter iter iter iter iter 6 iter π p π p π p π p π p π p π p nodo nodo nodo nodo nodo 6 nodo insieme Q b) Applicare l algoritmo di Ford-Fulkerson (con la procedura di Edmonds-Karp per la ricerca del cammino aumentante) per trovare il flusso massimo tra il nodo ed il nodo sulla seguente rete cammino aumentante δ x v Taglio di capacità minima: N s = N t =

5 SOLUZIONI Esercizio. Variabili decisionali: x = milioni di euro erogati per il mutuo casa x = milioni di euro erogati per il credito auto x = milioni di euro erogati per il credito famiglia Modello: Esercizio. Esercizio. max 0.0 x x +0.0 x x + x + x 0 x 0.(x + x + x ) x 0.(x + x + x ) 0.0 x x +0.0 x 0.06 (x + x + x ) x,x,x 0 Base Soluzione di base Ammissibile Degenere {, } x =(0, ) SI NO ( ) {, } y =,, 0, 0, 0, 0 Base x y Indice Rapporti Indice uscente entrante SI NO iterazione {, 6} (0, ) (0, 0,, 0, 0, ) 6, iterazione {, } (, 0) Esercizio. ( ) a) sol. ottima del rilassamento =, 0 b) sol. ammissibile = (, 0) v S (P )= c) r = x +x r = 9x +x (, 0, ), 0, 0, 0 v I (P )= Esercizio. a) albero: (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) v I (P )=0 b)ciclo: v S (P )=6 c) 0,6 P x =0 x = 6,6 P, 0,6 P, x =0 x =, P, 0, P, il albero di costo minimo è il ciclo, aggiorno v S (P )= x =0 x =, P, P,8

6 Esercizio 6. Archi di T Archi di U Soluzione di base Ammissibile Degenere (,) (,) (,6) (,6) (,6) (,) (,) x =(0, 6, 0,, 0,,, 8,, ) NO SI (,) (,) (,) (,6) (,6) (,) (,6) π =(0,, 8,,, ) NO NO Esercizio. Esercizio 8. a) b) iterazione iterazione Archi di T (,) (,) (,) (,) (,6) (,) (,) (,) (,) (,6) Archi di U (,) (,6) (,) (,6) x (, 0,,, 0, 6,,,, 0) (,, 0,, 0, 6,,,, 0) π (0,,, 0, 8, 0) (0,,,, 0, ) Arco entrante (,) (,) ϑ +, ϑ 8, 6, Arco uscente (,) (,) iter iter iter iter iter iter 6 iter π p π p π p π p π p π p π p nodo visitato 6 nodo nodo nodo + nodo nodo nodo insieme Q,,,,, 6, cammino aumentante δ x v --- (,0,0,,0,0,0,,0,0) (9,0,,,0,0,,,0,) (9,,,,,0,,,0,) Taglio di capacità minima: N s = {} N t = {,,,, 6, }

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