Integrali doppi. f(x, y) dx dy, dove R = [0, 1] [0, 3] e. 2xy y x 2 x 3 + x 2 y y > x 2. (x + sin y) dx dy, dove Q = [ 1, 1] [ 1, 1].

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1 . Calcolare. Calcolare. Calcolare. Calcolare R T Integrali doppi f(, d d, dove R = [, ] [, ] e f(, = + > d d, dove T è il triangolo di vertici (,, (,, (,. ( + sin d d, dove = [, ] [, ]. di vertici (,, (,, (,, (,. 5. Calcolare 6. Calcolare 7. Calcolare T ( ( sin( + ( tan d d, dove è il quadrato sin( d d, dove T è il triangolo di vertici (,, (,, (,. ( e d d sin d d 8. Cambiare l ordine di integrazione nel seguente integrale iterato: ( f(, d d 9. Calcolare, }. ( d d, dove = {(, R :,, +. eterminare il baricentro dell insieme = {(, R : +, }.. Calcolare }.. Calcolare d d, dove = {(, R :, d d, dove = {(, R : <,, > }.

2 . Calcolare il volume del tetraedro di vertici (,,, (,,, (,,.. Calcolare d d, dove = {(, R : + }. 5. Calcolare il volume del solido che giace sotto il paraboloide z = + e sopra la regione delimitata dalle curve = e =. 6. Calcolare ( tan + + d d, dove = {(, R : + }. 7. Con opportuni ragionamenti, dimostrare che è nullo l integrale doppio sin( cos(+( d d, dove è il quadrato di vertici (,, (,, (,, (,. 8. Calcolare, + }. 9. Calcolare, + π }. ( d d, dove = {(, R : + ( cos( d d, dove = {(, R : >. Calcolare }. d d, dove = {(, R : +, < <. Calcolare }.. Calcolare, }. + d d, dove = {(, R : +, + d d, dove = {(, R : ( +. Operando un opportuno cambiamento di variabili calcolare dove = {(, R : < + <, < < }.. Operando un opportuno cambiamento di variabili calcolare dove = {(, R : + }. d d, e + d d,

3 5. Calcolare l area della regione dei punti del piano del terzo quadrante, compresi tra le rette = e = e le iperboli = e =. 6. Operando un opportuno cambiamneto di coordinate calcolare ( cos d d, dove = {(, R : < + <, >, > } Calcolare l area dell ellisse E = {(, R : a +, a >, b > }. b 8. Operando un opportuno cambiamento di variabili calcolare d d, dove = {(, R : + < }. 9. Calcolare il volume dell ellissoide E = {(,, z R : a + b + z c, a >, b >, c > }.. Calcolare + d d, dove = {(, R : +, + +, }. *. Calcolare + d d, dove = {(, R : + 6, ( + + ( + 8}.. Calcolare. Calcolare (,, (,. ( d d, dove = {(, R :, }. d d, dove è il parallelogramma di vertici (,, (,,. isegnare il dominio di integrazione e scambiare l ordine di integrazione del ( seguente integrale doppio, calcolarne poi il valore : + d d + ( + d 5. Calcolare }. d. sin( + d d, dove = {(, R :,

4 6. Calcolare d d, dove = {(, R : + }. 7. Calcolare, +, }. + d d, dove = {(, R : + 8. Calcolare il volume del cilindroide a generatrici verticali determinato dalla funzione f(, = avente per base il trapezio T compreso tra le rette + =, =, =, =. Eseguire l integrazione sia in coordinate cartesiane che in coordinate polari. 9. Calcolare l area del dominio di R : = {(, R : >, ln <, ln < }.. Si calcoli il volume del cilindroide a generatrici parallele all asse z, delimitato dal piano z = e dalla parte di superficie di equazione z = ( che si proietta in = {(, : +, }.. Si calcoli il volume del cilindroide a generatrici parallele all asse z, delimitato dal piano z = e dalla parte di superficie di equazione z = log( che si proietta in = {(, :, }.. Calcolare l area della regione piana compresa nel primo quadrante e limitata dalle curve =, = 8, = 5, = 5.. Calcolare l area del dominio di R : = {(, R :,, ( + }.. Calcolare il volume del solido V = {(,, z R : z +, +, + }. Soluzioni... R T f(, d d = ( ( + d d + ( d d = 6 8 d d =, infatti T è simmetrico rispetto all asse e la funzione integranda è antisimmetrica rispetto a tale asse, cioè f(, = f(,.

5 . ( + sin d d = d d + sin d d =, infatti è simmet- rico rispetto all asse e all asse, la funzione f(, = è antisimmetrica rispetto all asse, la funzione g(, = sin è antisimmetrica rispetto all asse.. ( sin( + ( tan d d =, infatti il dominio è simmetrico rispetto alla retta = e la funzione integranda f(, = sin( + tan ( è antisimmetrica rispetto a tale retta, cioè f( + c, = f( c,. ( 5. sin( d d = sin( d d = cos sin T ( ( 6. e d d = e d d = (e ( ( 7. sin d d = sin d ( ( 8. f(, d d = f(, d d + + f(, d d 9. ( d d = ( d d =. Si ha che = per simmetria, ȳ = (.. d d = d d = ( ( ( d d π d = ( cos d d 6 6 = 8 π ( d + ( d d = 5 6 ( d+ d d = ( log. Il piano passante per i punti dati ha equazione: z =. Sia T il triangolo nel piano, di vertici (, e (, ; V = ( d d = T ( ( d d = 6 5

6 . L integrale dato rappresenta il volume della semisfera di raggio, dunque vale π. 5. V = ( + d d = 6. Per simmetria ( ( + d ( tan + + d d = d = 6 5 d d = π = 8π 7. Il dominio è simmetrico rispetto alla retta = ; la funzione integranda f(, = sin( cos( + ( è dispari rispetto a tale retta, infatti si ha che f(, + = f(,, dunque l integrale è nullo. 8 ( d d = d d d d = ( π = 6 π ρ sin θ dθ dρ = 9 ( 9. cos( d d = ( π π ρ cos ρ dθ... π π dρ == π ρ cos ρ dρ = π ( π d d = ρ sin θ cos θ dθ dρ = log cos( + d d = ( 5 + d d = π ρ cos θ sin θ dθ dρ = 7 π 8 + d d = ρ sin θ dρ dθ, dove = {(ρ, θ : ( π cos θ π θ π, ρ cos θ}. ρ sin θ dρ dθ = ρ sin θ dρ dθ = π N. B. ( + ρ cos θ cos θ ; ρ sin θ ; cos θ e sin θ π θ π. Poniamo: u = +, v = u, da cui = + v, = uv. Lo Jacobiano + v u di tale trasformazione vale: ( + v. Sia = {(u, v : < u <, < v < }; d d = + v + v u u uv ( + v du dv = log log 6

7 . isegniamo : nel I quadrante si ha che + ; nel II quadrante, nel III + ; nel IV ; dunque è il quadrato di vertici (,, (,, (,, (,. Poniamo: u = +, v =, da cui = u v, = u + v. Lo Jacobiano di tale trasformazione vale. Sia = {(u, v : < u <, < v < }; e + d d = e u du dv = e e 5. A( = d d. Poniamo u =, v = u, da cui = v, = uv. Lo Jacobiano di tale trasformazione vale v (N. B. v = >. Sia = {(u, v : < u <, < v < }; A( = v du dv = log 6. Poniamo u =, v = +, da cui = v u, = u + v. Lo Jacobiano di tale trasformazione vale. Si ha che: < + < < v < ; > v u > ; > u + v >. Sia = {(u, v : < v <, v < u < v}; sin cos ( + 7. A(E = d d = cos u v du dv = E abρ. Sia Ẽ = {(ρ, θ : < ρ <, < θ < π}; πab ( v v cos u v du dv = d d. Poniamo = aρ cos θ, = bρ sin θ; lo Jacobiano vale d d = abρ dρ dθ = 8. Poniamo: = ρ cos θ, = ρ sin θ; lo Jacobiano di tale trasformazione vale ρ. Sia = {(ρ, θ : < ρ <, < θ < π}; d d = 8 ρ sin θ dρ dθ = π 9. Sia f(, = c a b. V (E = f(, d d, dove = {(, R : a + }. Poniamo: = aρ cos θ, = bρ sin θ; lo Jacobiano b di tale trasformazione vale abρ. Sia = {(ρ, θ : < ρ <, < θ < π}; f(, d d = abc ρ ρ dρ dθ = πabc, dunqe V (E = πabc 7 E Ẽ

8 . Riscriviamo le condizioni che definiscono in funzione delle coordinate polari: + 6 in coordinate polari diventa ρ, e cioè ρ ; + + diventa ρ + ρ(cos θ sin θ, cioé ρ (sin θ cos θ. La condizione, in coordinate polari diventa: π θ π. π 6 + d d = π π ( (sin θ cosθ ρ(sin θ cos θ ρ dρ dθ =. è l intersezione del cerchio C di centro (, e raggio e del cerchio C di centro (, e raggio 8; C passa per i punti: (,, (, e (,. Riscriviamo le condizioni che definiscono in funzione delle coordinate polari: + 6 in coordinate polari diventa ρ 6, e cioè ρ ; ( + + ( + 8 diventa ρ + ρ(cos θ + sin θ, e cioé ρ + (cos θ + sin θ. L ultima disequazione ha soluzione solo se (cos θ+sin θ, infatti la somma di due quantità positive non può essere negativa. [ La disequazione cos θ+sin θ si risolve graficamente e si trova θ π, 7 ] π. uest ultimo risultato si poteva anche vedere dal disegno di, infatti la retta = è tangente alla circonferenza C in (, essendo perpendicolare al raggio, e quindi tutti i punti di hanno anomalia che come minimo vale π ( se ci si muove lungo la circonferenza in senso orario verso l origine i punti corrispondenti hanno anomalia che si avvicina arbitrariamente a π e come massimo vale 7 π (in realtà si tratta di estremo superiore e inferiore. Guardando il disegno di si vede che se θ [π, ] ( ] π, si ha che ρ, mentre se θ π, π, o se [ θ π, 7 π, si ha che ρ (cos θ + sin θ. d d = + ( π ( π (cos θ+sin θ π ρ ρ dρ dθ + π ρ ρ dρ dθ = π +. (Si è sfruttata la simmetria del dominio e della funzione integranda rispetto alla bisettrice.. è simmetrico rispetto alla bisettrice, e f(, = f(,, dunque l integrale è nullo.. d d = ( + d d =. 8

9 . = {(, R :, }, ( + d d = log. d d = + 5. = {(, R : }, e simmetrico rispetto all origine, f(, = f(,, allora l integrale è nullo. 6. = {(, R : }, = d d = 7. = {(ρ, θ R : + sin θ ρ, π θ π }, π ρ cos θ dρ dθ = π. + sin θ ( d d d = + 8. In coordinate cartesiane: T + d d = d d = + arctan d = 8 π. In coordinate polari: T = {(ρ, θ R : cos θ ρ cos θ, θ π T }, ( π + d d = cos θ ρ cos θ dρ dθ = cos θ π cos θ cos θ dθ = 8 π. 9. = {(, R : < < e, + ln < < + ln }. L area di e ( e + ln ( è uguale a : d d = d d = e. + ln e e. V = dd = ( dd ( dd, dove = {(, : + }, = {(, : + > }. Scriviamo come unione di E e F, dove E = {(, : }, F = {(, : < }; allora ( dd = ( E dd+ ( dd. uesti ultimi si calcolano in coordinate polari: F π ( cos θ dd = sin θ ρ ( ρ dρdθ = 5 ; ( E π 9 F d

10 π dd = sin θ ρ ( ρ dρ dθ = ; ( dd = π cos θ sin θ ρ ( ρ dρ dθ = uindi V = ( = V = log( dd = log(dd log(dd, dove = {(, : }, = {(, : < }. V = log(d d log(d d = ( log Si pone u =, v =, si ha che u v u v = = v, quindi la matrice Jacobiana ha per determinante 8 5 v. L area richiesta vale dv du = 5 v log.. L area di è dd. Passando alle coordinate polari, si trova che area( = ρdρdθ, dove = {(ρ, θ : cos θ, sin θ, ρ 6 ρ cos θ sin θ} = {(ρ, θ : θ π ( π, ρ sin θ cos θ}. uindi area( = sin θ cos θ ρdρ dθ = π cos θ sin θdθ = π 8. V = π sin (θdθ = π sin tdt = [ t sin t cos t ( + dd, dove = {(, R : +, + }. In coordinate polari, = {(ρ, θ : π θ π, ρ cos θ}, ( π cos θ. V = ρ dρ dθ = π ( cos θ dθ. Sia I = cos θdθ, risolvendo per parti si trova che I = sin θ cos θ+ sin θ cos θdθ = sin θ cos θ+ cos θdθ I, da cui I = (sin θ cos θ + cos θdθ; infine si ricava V = π. ] π =