Compito di Fisica 1 Ingegneria elettrica e gestionale Soluzioni fila A

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1 Compito di Fisica Ingegneria elettrica e gestionale Soluzioni fila A Massimo Vassalli 9 Aprile 008 NB: dal momento che i dati numerici degli esercizi non sono comuni a tutti i compiti, i risultati sono dati in forma analitica, senza la sostituzione dei valori numerici.

2 Esercizio. Domanda A La seconda cardinale rispetto al centro C della sfera permette di scrivere fr F x = 0 dove f è l attrito che è possibile ricavare dalla prima cardinale parallela al piano inclinato: f + F = mg sin α moltiplicando per R la seconda equazione e sottraendo la prima si ottiene pertanto: F (R + x) = mgr sin α = F = R mg sin α R + x ed in particolare. Domanda B F 0 = mg sin α Nelle condizioni descritte la ruota si muove di rotolamento puro e pertanto l attrito, statico, deve soddisfare: f µn () determiniamo quindi l attrito dalla prima cardinale parallela al piano mẍ = f + F 0 mg sin α = f mg sin α () e dalla seconda rispetto al centro della sfera I C θ = F 0 R fr = R mg sin α fr tenendo conto che ẍ = R θ, moltiplicando la prima per Ic m sottraendo si ottiene: e la seconda per R, 0 = I C m f I Cg sin α + fr R mg sin α [ ] IC m + R f = I Cg sin α + R mg sin α e pertanto, sostituendo anche il valore di I C = mr ed invertendo: f = 9 mg sin α + 9 mg sin α = f = mg sin α

3 per rispondere alla domanda determiniamo la reazione vincolare N usando la prima cardinale in direzione ortogonale alla guida: N mg cos α = 0 = N = mg cos α la diviene mg sin α µmg cos α ed infine il valore minimo di attrito necessario a mantenere il rotolamento puro è µ = tan α. Domanda C Riprendiamo l equazione della domanda precedente e sostituiamoci il valore dell attrito trovato nella risposta alla domanda precedente: a cm = ẍ = f m g sin α = a cm = ẍ = g sin α Il centro di massa si muove di moto uniformemente accelerato con accelerazione a cm e pertanto la velocità è data da: v cm = v 0 + a cm t = g sin αt e pertanto sostituendo in questa equazione t = t 0 cercato. = s si trova il risultato Esercizio. Domanda A Per risolvere la prima domanda consideriamo la seconda cardinale per la statica ripetto al punto O. Dato che il centro di massa della sbarretta dista L L = L dal punto O si ha: m P g L Mg L mg L, semplificando m p = M + m. Domanda B L accelerazione angolare si trova scrivendo la seconda cardinale per la dinamica rispetto al punto O, tenendo conto che ci sono due forze che agiscono, il peso della sbarretta e quello della massa in B: L I O θ = Mg cos φ + mg L cos φ = g L [M + 4m] cos φ

4 calcoliamo quindi I O = I SB O + m ( L) e determiniamo il momento d inerzia della sbarretta rispetto ad O con il teorema di Hutgens-Steiner:, infine:. Domanda C I SB O = I cm + Md = ML + M ( L I O = 9 ML ml = L (M + 4m) 9 θ = g L [M + 4m] cos φ I O = g cos φ ) = 9 ML Durante l urto il momento angolare rispetto ad O si conserva e pertanto, se dopo l urto il sistema è fermo (momento angolare nullo), la somma dei momenti angolari del blocchetto e del sistema sbarretta + pallina in B deve essere nullo anche prima dell urto, ovvero: mv 0 L = I Oω 0 = v 0 = I O ml ω 0 per determinare la velocità angolare del sistema in posizione verticale è possibile usare la conservazione dell energia, tenendo conto che il sistema parte da fermo in posizione orizzontale:, sostituendo ovvero v 0 = Esercizio. Domanda A I Oω 0 = Mg L + mg L I O ω0 = L (M + 4m)g v 0 = I O ml L (M + 4m) g I O I (M + 4m) (M + 4m) O m L g = 7m gl Per determinare l altezza massima possiamo considerare il teorema delle forze vive, ovvero il fatto che l avariazione dell energia cinetica è data dal lavoro delle forze agenti sul sistema, il peso P e l attrito f: K f K i = L P + L f 4

5 in cui K f = 0, il lavoro della forza peso è la variazione di energia potenziale cambiata di segno, L P = (V f V i ) (poniamo V i = 0) ed il lavoro dell attrito è dato da L f = fx in quanto l attrito è dinamico (costante) e si oppone allo spostamento (segno -). Pertanto si ha: mẋ = mgh fx in cui h è proprio l altezza massima e x sin α = h. Per esplicitare l attrito teniamo conto del che f = µ 0 N e possiamo determinare N dalla condizione di equilibrio in direzione ortogonale al piano: N = mg cos α ed infine mv 0 = mgh + µ 0 mg cos α h sin α gh [ + µ 0 cot α] = v 0 = h = v0 g [ + µ 0 cot α]. Domanda B Nel caso della seconda domanda, dal momento che il punto di contatto tra disco e piano è istantaneamente fermo (rotolamento puro) l attrito non fa lavoro e l energia si conserva: K i = Mgh dal momento che l energia cinetica iniziale è la stessa che aveva il blocchetto dell esercizio precedente, si ottiene: h = v 0 g e si noti che il risultato della domanda precedente per µ 0 = 0 da proprio questo risultato.. Domanda C 5